十二律

十二律，是古代中國音樂的音律。律，本來是用來定音的竹管，古人用十二個不同長度的律管，吹出十二個高度不同的標準音，以確定樂音的高低，故這十二個標準音也就叫做十二律。

從低到高依次為：

黃鐘－大呂－太簇－夾鐘－姑洗－中呂－蕤賓－林鐘－夷則－南呂－無射－應鐘。

太簇，又作太蔟、太族、大族、大蔟、泰簇、泰族，蔟，音促、cù、ㄘㄨˋ；中呂，又作仲呂；姑洗，洗，音險、xiǎn、ㄒㄧㄢˇ；無射，又作亡射，亡音吳、wú、ㄨˊ，射，音葉、yè、ㄧㄝˋ。

十二律分為陰陽兩類，奇數六律為陽律，叫做六律；偶數六律為陰律，稱為六呂，合稱律呂。一般所說的六律包括陰陽各六的十二律。

[编辑] 三分損益法

在司馬遷的《史記》「律書第三」中寫到：「……九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。」

意思是取一根用來定音的竹管，長為81單位，定為「宮音」的音高。然後，我們將其長去掉三分之一，也就是將81乘上2/3，就得到54單位，定為「徵音」。將徵音的竹管長度增加原來的三分之一，即將54乘上4/3，得到72單位，定為「商音」。再去掉三分之一（三分損），72乘2/3，得48單位，為「羽音」。再增加三分之一（三分益），48乘4/3，得64單位，為「角音」。而這宮、商、角、徵、羽五種音高，就稱為中國的五音。

中國音樂中用來定音律的「三分損益法」，與古希臘「畢氏學派」中的「五度相生律」的方法相同。

[编辑] 三分損益與十二律的相關物理

在聲學中，聲音的高低（如西洋音樂中的唱名Do、Re、Mi、Fa……）指的是與物體振動的頻率。當我們取一簡單物體用來定音高時（如竹管、絲弦），則它的頻率與其長度是成反比的關係。如果物體的材質固定，長度愈長，聲音愈低。

除此之外，當長度減為一半時，頻率將變為原先的兩倍；長度增成為原先的兩倍時，頻率成為原先的一半。我們將這種互為二倍數的特殊比例，定義為彼此互為「八度音」。所以「三分損」（長度變為原先的2/3）與「三分益」（長度變為原先的4/3），彼此之間正是一個「八度音」的關係（4/3 是 2/3 的兩倍）。由此，我們便可以從九九八十一的長度出發，試算前述藉由「三分損益」求得的長度，所得到的十二律：

黃鐘：81；
林鐘（由黃鐘三分損而來）：81 * 2/3 = 54；
太簇（由林鐘三分益而來）：54 * 4/3 = 72；
南呂（由太簇三分損而來）：72 * 2/3 = 48；
姑洗（由南呂三分益而來）：48 * 4/3 = 64；
應鐘（由姑洗三分損而來）：64 * 2/3 = 42.6667；

蕤賓（由應鐘三分益而來）：42.6667 * 4/3 = 56.8889；
大呂（由蕤賓三分益而來）：56.8889 * 4/3 = 75.8519；
夷則（由大呂三分損而來）：75.8519 * 2/3 = 50.5679；
夾鐘（由夷則三分益而來）：50.5679 * 4/3 = 67.4239；
無射（由夾鐘三分損而來）：67.4239 * 2/3 = 44.9492；
仲呂（由無射三分益而來）：44.9492 * 4/3 = 59.9323；

清黃鐘（黃鐘的高八度音，由仲呂三分損而來）：59.9323 * 2/3 = 39.9549。

我們注意到最後一個「清黃鐘」的長度39.9546，與直接取「黃鐘」長度的一半 40.5 仍有一段小小的差距，這就是「黃鐘不能還原」的問題。因為在連乘十二次 2/3 或 4/3 後，最後的值不可能達到原始的 1/2。

另外，若在定律時不斷地使用三分損益的操作，最後一定會出現除不盡的小數，使得在實際製作時容易產生誤差。然而在現實上，準確度（Percision）與精確度（Accuracy）絕對有其極限，所以經過十二次的三分損益之後，已經可以構成一個（不甚完美）的音階循環。這也是為何中西音樂理論中，都不約而同地發展出以「12音階」為主流的原因。之後才會出現如純律、十二平均律等不同的改進或修正方法。

從上面所計算出來的結果，我們對照《史記．律書》中的文字，便可發現當中的抄錄錯誤。宋代沈括的《夢溪筆談》，便記載了《律書》當中出現「七分」之類的文字，當為「十分」的誤寫。因此原文中的黃鐘「八寸七分一」為「八寸十分一、81分」才合理。以下列出古音十二律與史記的文字記載比較，並附上與西方「參考音名」與「十二平均律的誤差」計算。

古音十二律	史記文字	三分損益	史記數字	西方音名	十二平均律	三分損益與十二平均律偏差（%）
黃鐘	八寸七分一	81	81（更正後）	F	81	-
林鐘	五寸十分四	54	54	C	54.0610	0.11
太簇	七寸十分二	72	72	G	72.1628	0.23
南呂	四寸十分八	48	48	D	48.1629	0.34
姑洗	六寸十分四	64	64	A	64.2898	0.45
應鐘	四寸二分三分二	42.6667	42.6667	E	42.9083	0.56
蕤賓	五寸六分三分二	56.8889	56.6667	B	57.2757	0.68
大呂	七寸五分三分二	75.8519	75.6667	F#	76.4538	0.79
夷則	五寸三分二	50.5679	50.6667	C#	51.0268	0.90
夾鐘	六寸七分三分一	67.4239	67.3333	G#	68.1126	1.01
無射	四寸四分三分二	44.9492	44.6667	D#	45.4597	1.12
仲呂	五寸九分三分二	59.9323	59.6667	A#	60.6814	1.23