冲激响应

在信号与系统科学中，冲激响应一般是指线性系统在输入为单位冲激函数时的输出（响应）。对于连续时间系统来说，冲激响应一般用函数 $h (t;τ)$ 来表示，相对应的输入信号，也就是单位冲激函数满足狄拉克δ函数的形式，其函数定义如下：

$\delta(t) = \begin{cases} \infty, & t = 0 \\ 0, & t \ne 0 \end{cases}$

并且，在从负无穷到正无穷区间内积分为1：

$\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1$

在输入为狄拉克δ函数时，系统的冲激响应 $h (t)$ 包含了系统的所有信息。所以对于任意输入信号 $x (t)$ ，可以用连续域卷积的方法得出所对应的输出 $y (t)$ 。也就是：

$y(t)=\int_{-\infty}^\infty x(\tau)h(t-\tau) \, d\tau$

对于离散时间系统来说，冲激响应一般用序列 $h [n]$ 来表示，相对应的离散输入信号，也就是单位冲激函数满足克罗内克尔δ的形式，在信号与系统科学中可以定义函数如下：

$\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}$

同样道理，在输入为 $δ[n]$ 时，离散系统的冲激响应 $h [n]$ 包含了系统的所有信息。所以对于任意输入信号 $x [n]$ ，可以用离散域卷积（求和）的方法得出所对应的输出信号 $y [n]$ 。也就是：

$y[n]= \sum_{k=0}^\infty x[k] h[n-k]$

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