Wikipedysta:Stotr/brudnopisA

Krata rozdzielcza (krata dystrybutywna) –

[edytuj] Zanurzanie krat (Birkhoffa) w algebrach Boole'a

• Zbiór B (algebry Boole'a) z relacją ≤ jest kratą rozdzielczą (dystrybutywną); operacje   i   są odpowiednimi operacjami kresu górnego i kresu dolnego. Ponadto jest to krata z 0 i 1, będącymi odpowiednio elementem najmniejszym i największym.

Krata zanurza się izomorficznie w algebrze Boole'a wtedy i tylko wtedy gdy jest rozdzielcza. Co więcej, gdy ma element najmniejszy lub największy lub oba (byle różne), to istnieje zanurzenie, które te elementy przeprowadza odpowiednio na 0 i 1 algebry Boole'a.

Ograniczmy się odtąd w tym fragmencie do krat rozdzielczych L z 0 i 1, jako odpowiednio najmniejszym i największym elementem kraty, oraz do homomorfizmów krat, które zachowują 0 i 1. Istnieje wtedy pewna algebra Boole'a βL oraz zanurzenie izomorficzne

β : L → βL

uniwersalne (maksymalne) w następującym sensie:

(*) dla dowolnego homomorfizmu krat  h : L → B,  kraty L w algebrę Boole'a B, istnieje dokładnie jeden homomorfizm  g : L → B  taki, że:

Takie uniwersalne zanurzenie jest jedyne z dokładnością do izomorfizmu zanurzeń: jeżeli b : L → bL też jest uniwersalnym zanurzeniem, to istnieje dokładnie jeden izomorfizm algebr Boole'a i : βL → bL taki, że  .

Zanurzenie uniwersalne β można skonstruować następująco: niech

Ł := Hom(L, {0, 1})

będzie zbiorem wszystkich homomorfizmów krat, kraty L w kratę {0, 1}. Potęga kartezjańska

C := {0, 1} ^Ł

dopuszcza kanoniczną strukturę algebry Boole'a. Zdefiniujmy homomorfizm krat

Β : L → C           (grecka duża beta "Β")

za pomocą wzoru:

(Β(x))(h)  :=  h(x)

dla każdego  h ε Ł oraz x ε L. Niech teraz βL będzie najmniejszą podalgebrą Boole'a w C, która zawiera obraz Β(L), oraz niech β : L → βL odwzorowuje elementy L tak samo jak Β:

β(x)  :=  Β(x)       dla każdego   x ε L;

koniec konstrukcji. Jej poprawność opiera się na zdolności rozdzielania dowolnych dwóch elementów x ≠ y kraty rozdzielczej L przez homomorfizmy krat – istnieje homomorfizm h : L → {0, 1} dla ktorego h(x) ≠ h(y).

[edytuj] Słownik topologiczno-kratowy

Powyżej rzucała się w oczy analogia z sytuacją w topologii ogólnej. Ujmuje tę analogię poniższa tabela. Dla prostoty, rozpatrujmy kraty z zaznaczonymi elementami 0 i 1 (0 ≠ 1), oraz homomorfizmy, które zachowują 0 i 1. Zanurzenie izmorficzne kraty w algebrę Boole'a nazywamy gęstym, gdy obraz kraty generuje całą algebrę (dochodzi operacją dopełnienia, nieobecna w kracie, która bierze udział w generowaniu).