Transformata Z

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: definicja jest trochę niejasna; ponadto czy definicja transformaty nie powinna mieć sumowania od -infty do infty? Wzór nazwany "transformata sumy" jest bardzo niejasny. Etc.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu w sekcji Dopracować
Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Transformata Z (transformata Laurenta) jest odpowiednikiem transformaty Laplace'a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.

Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu $f^\ast(t)$ jest nazywana funkcja

$Z[f^\ast(t)] = Z[f(kT)] = F(z)$

określona wzorem

$F(z) = \sum_{k=0}^{\infty} f(kT) z^{-k}$ ,

gdzie: $F (z)$ – transformata oryginału; $f (k T)$ – oryginał dyskretny; $k=1, 2, \ldots$ .

Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza, np. dla funkcji $f (k) = k!$ lub $f(k) = e^{ak^2} (a \not = 0)$ nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.

[edytuj] Właściwości

Liniowość:

Z [a f 1 (k T) + b f 2 (k T)] = a F 1 (z) + b F 2 (z)

Przesunięcie w dziedzinie czasu:

$Z[f(kT+mT) \cdot 1(kT)] = z^m \left[ F(z) - \sum_{n=0}^{m-1} f(nT) z^{-n} \right]$

gdzie $m$ – dowolna dodatnia liczba całkowita; $1(k T)$ – funkcja skokowa.

Transformata sumy:

$Z\left[\ \sum_{n=0}^{m-1}\ \right] = \frac{z}{z-1} F(z)$

Transformata różnicy

Z [f ((k + 1) T) - f (k T)] = (z - 1) F (z) - z f (0)

Transformata splotu

$f_{1}[n] * f_{2}[n]=f_{1}(0)\cdot f_{2}[n]+\cdots+f_{1}[k]\cdot f_{2}[n-k]+\cdots+f_{1}[n] \cdot f_{2}(0)=F_{1}(z) \cdot F_{2}(z)$

Twierdzenie o wartości początkowej:

$\lim_{k=0} f(kT) = \lim_{z=\infty} F(z)$

Twierdzenie o wartości końcowej:

$\lim_{k=\infty} f(kT) = \lim_{z=1} \frac{z-1}{z} F(z)$

[edytuj] Tabela transformat

	$x (n)$	transformata-Z, $X (z)$	obszar zbieżności
1	$\delta(n)\,$	$1\,$	$z \in \R\,$
2	$u(n)\,$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$\|z\| > 1\,$
3	$a^n u(n)\,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$\|z\| > \|a\|\,$
4	$n a^n u(n)\,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$\|z\| > \|a\|\,$
5	$-a^n u(-n-1)\,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$\|z\| < \|a\|\,$
6	$-n a^n u(-n-1)\,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$\|z\| < \|a\|\,$
7	$\cos(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$\|z\| >1\,$
8	$\sin(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$\|z\| >1\,$
9	$a^n \cos(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$\|z\| > \|a\|\,$
10	$a^n \sin(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$\|z\| > \|a\|\,$