Transformacja Fouriera

Transformacja Fouriera jest transformacją całkową w dziedzinie częstotliwości. Została nazwana na cześć Jean Baptiste Joseph Fouriera. Transformata jest wynikiem transformacji Fouriera (transformata jest funkcją, a transformacja operacją na funkcji, dającą w wyniku transformatę).

Transformata Fouriera opisana jest wzorem:

$\hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$ ,

gdzie

$\hat{f}(\omega)$ oznacza transformatę dla danej funkcji

$\omega = \frac{2\pi}{T} = {2\pi}f$ - pulsacją (proporcjonalną do częstotliwości)

$f (t)$ - funkcję w dziedzinie czasu

$i$ - jednostkę urojoną ( $i 2 = - 1$ ).

Spis treści

[edytuj] Własności transformaty Fouriera

funkcja f musi być klasy $L 1$ (być całkowalna w przedziale $(-\infty,\infty)$ )
$\hat{f}$ jest funkcją ciągłą
jeśli $g (t) = f (t - α)$ , to $\hat{g} (\omega) = \hat{f} (\omega) e ^{-i \alpha \omega}$
jeśli $\alpha \neq 0$ i $g (t) = f (t / α)$ , to $\hat{g}(\omega)=\alpha \hat{f}(\alpha \omega)$
$\widehat{f*g}=\sqrt{2 \pi} \hat{f}\hat{g}$ , gdzie operacja "*" oznacza splot funkcji f i g
jeśli funkcja f ma pochodną spełniającą warunek należenia do $L 1$ , to zachodzi $\hat{f'}(\omega) = i \omega \hat{f} (\omega)$

[edytuj] Odwrotna transformacja Fouriera

Odwrotna transformacja Fouriera jest podobna do prostej transformacji Fouriera i jest określona wzorem:

$f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (\omega)e^{i\omega t}d\omega$

[edytuj] Uwagi

Czynnik $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$ przed transformacją i transformacją odwrotną występuje umownie - zamiast takiej postaci może występować czynnik $\frac{1}{2 \pi}$ przed transformacją prostą, albo (częściej) przed transformacją odwrotną
Jeżeli jednak czynnik wynosi $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$ , wtedy transformacja i transformacja odwrotna są izometriami przestrzeni $L^2(\mathbb{R})$