Stan kwantowy

Stan kwantowy jest to informacja o obiekcie kwantowym pozwalająca przewidzieć prawdopodobieństwa wyników wszystkich pomiarów jakie można na tym układzie wykonac. Stan kwantowy jest jednym z podstawowych pojęć mechaniki kwantowej.

Poniżej można znaleźć to co można było wiedzieć na temat stanów kwantowych w 1926 roku, kiedy np. jeszcze nie wiedziano że mechanika falowa i mechanika macierzowa to dwie równoważne postacie mechaniki kwantowej. Bardziej ogólne i współczesne podejście można znaleźć pod hasłami stan czysty i stan mieszany.

W przypadku równania Schrödingera stan kwantowy oznacza jedną z możliwych funkcji falowych opisujących obiekt kwantowy. Natomiast w mechanice macierzowej Heisenberga jest to nieskończony wektor. Dla danego stanu kwantowego opisującego położenie cząstki w przestrzeni można podać funkcję rozkładu prawdopodobieństwa, opisującą szansę spotkania obiektu kwantowego w danym punkcie przestrzeni.

Rozkłady prawdopodobieństwa związane z kilkoma stanami atomu wodoru.

Pojęcie stanu kwantowego po raz pierwszy wprowadzono, aby opisać zachowanie elektronów poruszających się wokół jądra atomu. W ujęciu mechaniki klasycznej i elektrodynamiki elektrony muszą spaść na jądro atomowe. Jednak atomy są trwałe. Zgodnie z zakazem Pauliego każdy elektron musi znajdować się w innym stanie kwantowym. Jego stan na powłokach elektronowych (orbitalach) opisują liczby kwantowe: główna liczba kwantowa $n$ , azymutalna liczba kwantowa $l$ (związana z wartością własną kwadratu operatora momentu pędu $L 2$ ), magnetyczna liczba kwantowa $m$ (związana z rzutem operatora momentu pędu na oś z, ( $L 3$ )) i rzut spinu na oś z ozmaczany jako s. Stan kwantowy $|n,l,m,s\rangle$ realizowany jest więc jako funkcja falowa $ψ n, l, m, s$ . Dla nierelatywistycznego atomu wodoru poziomy energetyczne związanego elektronu zależą tylko od głównej liczby kwantowej $n$ :

$E_{n}=-\frac{R}{n^2}.$

Elektrony o różnych pobocznych liczbach kwantowych $(l, m, s)$ mają tę samą energię - ten fakt nazywany degeneracją widma. Elektrony mogą przechodzić tylko pomiędzy poszczególnymi stanami kwantowymi, emitując lub pochłaniając kwanty światła. Zgodnie z teorią fotonową odpowiada to odpowiedniej częstotliwości fali. Widocznym efektem tego zjawiska są linie widmowe pierwiastków. Każdy atom danego pierwiastka pochłania lub emituje fale o określonych częstotliwościach, co pozwala na jego rozpoznanie na podstawie przepuszczonego lub wyemitowanego przez niego światła. Dzięki takiej własności materii możliwe jest dokładne określenie składu chemicznego świecącego obiektu, np odległej gwiazdy czy planety.

Stan kwantowy (stan czysty) reprezentowany jest przez wektor z abstrakcyjnej przestrzeni Hilberta $|\psi\rangle$ . W mechanice falowej Schrödingera jest to przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem - $L 2$ a mechanice macierzowej Heisenberga przestrzeń ciągów sumowalnych z kwadratem - $l 2$ . Bardziej ogólnie, stan kwantowy reprezentowany jest przez operator samospężony $ρ$ spełniający warunek

T r (ρ) = 1.

Tr(A) oznacza ślad operatora A:

$Tr(A)=\sum_{\psi}\langle\psi |A| \psi\rangle,$

gdzie sumowanie odbywa się po ortonornalnej bazie przestrzeni Hilberta.

W mechanice kwantowej wielkości fizyczne reprezentowane sa przez operatory samospężone A ( $A=A^{\dagger}$ ). Nazywamy je obserwablami. Wynik pomiaru wielkości fizycznej A zależy od stanu kwantowego w jakim znajduje się układ fizyczny i dany jest w przypadku stanów czystych przez

$\langle A\rangle=Tr(\rho A).$

Mamy do czynienia ze stanem czystym gdy

operator gęstości  $ρ$  można przedstawić jako pewien operator rzutowy

$\rho = P_\psi=|\psi\rangle \langle\psi|,$

wtedy wynik pomiaru to

$\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle.$

Gdy jeszcze stan $ψ$ jest stanem własnym operatora A do wartości własnej $a ψ$ to wynikiem pomiaru jest wartość własna operatora A

$\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle=a_{\psi}.$

W mechanice falowej Schrödingera stan czysty $|\psi\rangle$ reprezentowany jest przez funkcje falową $\psi(\vec{x},t)$ a wynik pomiaru wielkości fizycznej reprezentowanej przez operator A to

$\langle A\rangle=\int d^{3}x \psi^{*}(\vec{x},t)A \psi(\vec{x},t).$

Jeżeli operator ρ nie może być przedstawiony jako pewien operator rzutowy, to taki stan nazywamy stanem mieszanym. Możemy go wtedy przedstawić jako kombinację