Rekurencyjna metoda NK

Spis treści

[edytuj] Wstęp i oznaczenia

Algorytm ważonej rekurencyjnej metody najmniejszych kwadratów (WRMNK) został wyprowadzony dla obiektu typu ARX, którego postać przytacza się dla wygody:

$y(i) = z^{-k}\frac{ B(z^{-1}) }{ A(z^{-1}) }u(i)\ +\ \frac{ 1 }{ A(z^{-1}) } e(i)$

Zakłada się, że znany jest ciąg wejść obiektu $u(1), u(2), \ldots$ oraz ciąg wyjść obiektu $y(1), y(2), \ldots$ , natomiast sekwencja białego szumu modelującego zakłócenie sprowadzone na wyjście obiektu $e(1), e(2), \ldots$ jest nieznana.

Niech $\mathbf{\Theta}$ oznacza wektor nieznanych parametrów obiektu:

$\mathbf{\Theta} = \left\lbrack b_0\ b_1\ldots\ b_{dB}\ a_1\quad a_2\ldots\ a_{dA}\right\rbrack^T.$

Niech $\mathbf{\hat{\Theta}}(i)$ oznacza wektor zawierający oszacowania (estymaty) tych parametrów w chwili i, oraz niech $\boldsymbol{\varphi}(i-1)$ oznacza wektor zawierający próbki wejść i wyjść odpowiadające tym parametrom (zwany wektorem regresyjnym):

$\begin{matrix} \boldsymbol{\varphi}(i-1) & = & \left\lbrack u(i-k)\ u(i-k-1)\ldots\ u(i-k-dB)\right.\\ && \left. -y(i-1)\ -y(i-2)\ldots\ -y(i-dA) \right\rbrack ^T \end{matrix}$

Niech ponadto wskaźnik jakości będzie dany jako:

$J_N(\mathbf{\hat{\Theta}})=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \lambda^{N-i}\varepsilon^2(i) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \lambda^{N-i}\left ( y(i) - \mathbf{\hat{\Theta}}^T(i-1)\boldsymbol{\varphi}(i-1) \right )^2,$

gdzie $\lambda \in (0,1\rbrack$ zwany jest współczynnikiem ważenia lub zapominania, a $\varepsilon(i)$ zwany jest błędem predykcji jednokrokowej.

[edytuj] Algorytm WRMNK

Algorytmem, który minimalizuje tak zdefiniowany wskaźnik jakości, jest algorytm ważonej rekurencyjnej metody najmniejszych kwadratów, dany wzorem:

$\mathbf{\hat{\Theta}}(i) = \mathbf{\hat{\Theta}}(i-1) + \mathbf{k}(i) \varepsilon(i),$

gdzie $\mathbf{k}(i)$ zwany jest wektorem wzmocnienia, i liczony jest zgodnie z zależnością:

$\mathbf{k}(i) = \mathbf{P}(i) \cdot \boldsymbol{\varphi}(i-1).$

Użyta w powyższym wzorze macierz $\mathbf{P}(i)$ zwana jest macierzą kowariancji. Podstawową zależnością pozwalającą na rekurencyjne wyznaczania tej macierzy jest równanie:

$\mathbf{P}^{-1}(i) = \lambda \mathbf{P}^{-1}(i-1)+ \boldsymbol{\varphi}(i-1)\boldsymbol{\varphi}^T(i-1).$

Ponieważ jednak zastosowanie powyższego wzoru wiązałoby się z koniecznością odwracania macierzy, algorytm byłby niezwykle skomplikowany w implementacji i potencjalnie niestabilny numerycznie. Na szczęście udało się wyprowadzić zależność rekurencyjną pozwalającą na aktualizację macierzy kowariancji z pominięciem odwracania macierzy, która jest dana zależnością:

$\mathbf{P}(i)= \frac{1}{\lambda} \left\lbrack \mathbf{P}(i-1) - \frac{\mathbf{P}(i-1)\boldsymbol{\varphi}(i-1)\boldsymbol{\varphi}^T(i-1)\mathbf{P}(i-1)} {\lambda+ \boldsymbol{\varphi}^T(i-1)\mathbf{P}(i-1)\boldsymbol{\varphi}(i-1)} \right\rbrack$

[edytuj] Warunek początkowy

Warunek początkowy dla macierzy kowariancji dany jest wzorem:

$\mathbf{P}(0) = \beta \mathbf{I},$

gdzie $β$ jest pewną, dużą wartością dodatnią (np. 1000).

[edytuj] Uwagi

W przypadku, gdy $λ = 1$ o metodzie mówi się, że jest bez ważenia (czyli jest to RMNK). Tak sparametryzowana metoda nie nadaje się do identyfikacji obiektów niestacjonarnych (czyli takich, których parametry zmieniają się w czasie), gdyż w macierzy $\mathbf{P}$ pamiętana jest cała historia zmian wejścia i wyjścia obiektu. W przypadku identyfikacji obiektów niestacjonarnych zazwyczaj wartość parametru $λ$ ustala się na nieco mniejszą od jedności (na przykład 0,99).