MSK

MSK (ang. Minimum Shift Keying) odmiana modulacji FSK fal elektromagnetycznych stosowana do przesyłu informacji w telekomunikacji. Jest to w praktyce modulacja CPFSK (ang. Continuous Phase FSK), czyli kluczowanie częstotliwości z ciągłą fazą. Charakteryzuje się dobrymi właściwościami energetycznymi.

W cyfrowej modulacji czestotliwościowej, wartościom "0" i "1" odpowiadają dwa sygnały o różnych częstotliwościach:

$S_{1}(t)=A\cos[\omega_{1}t+\phi(0)]\,$ (1a)
$S_{0}(t)=A\cos[\omega_{2}t+\phi(0)]\,$ (1b)

gdzie $φ(0)$ jest fazą początkową sygnału (dla $t = 0$ )

Dla modulacji MSK, możemy wyrazić wzór ogólny sygnału zmodulowanego:
$S(t)=A\cos[\omega_{0}t+\phi(t)]\,$ (2)
gdzie $\phi(t)=\phi(0)+at\,$ dla sygnału "1" oraz $\phi(t)=\phi(0)-at\,$ dla sygnału "0". We wzorze tym, zmienną $a$ , zwaną indeksem modulacji, definiujemy następująco:
$a={\pi \over T_{b}} h\,$ , co przy założeniu $h=T_{b}(f_{1}-f_{2})\,$ sprowadza się do postaci:
$a={\pi \over T_{b}} T_{b}(f_{1}-f_{2})={1 \over 2}(\omega_{1}-\omega_{2})\,$
Wtedy:
$\phi(t)=\phi(0) \pm {1 \over 2}(\omega_{1}-\omega_{2}) t$ (3)
Jeśli założymy $\omega_{0}={1 \over 2}(\omega_{1} - \omega_{2})$ oraz, dla uproszczenia, przyjmiemy fazę początkową równą 0, możemy sprowadzić zależność (2) do wzorów:
$S_{1}(t)=A\cos\left[{1 \over 2}(\omega_{1}+\omega_{2})t+{1 \over 2}(\omega_{1}-\omega_{2})t\right]=A\cos(\omega_{1}t)$
$S_{0}(t)=A\cos\left[{1 \over 2}(\omega_{1}+\omega_{2})t-{1 \over 2}(\omega_{1}-\omega_{2})t\right]=A\cos(\omega_{2}t)$

Aby zapewnić ortogonalność sygnałów reprezentujących "0" i "1", należy tak dobrać częstotliwości $f 1$ i $f 2$ , aby spełniały następujący warunek:
$\Delta fT_{b}=h={1 \over 2}$ , $n=1,2,3\dots$
Jak widać $n m i n = 1$ , więc najmniejsza różnica częstotliwości, to różnica o pół cyklu w jednym okresie $T b$ . Własnie taki przypadek zachodzi w modulacji MSK. Ostatecznie, możemy zapisać dla modulacji MSK:
$\phi(t)=\phi(0) \pm {\pi \over 2T_{b}}t$
$S(t)=A\cos\phi(t)\cos(\omega_{0}t)-A\sin\phi(t)\sin(\omega_{0}t)\,$
człon $\cos\phi(t)\,$ nazywamy składową synfazową i oznaczamy poprzez I(t), a człon $\sin\phi(t)\,$ - składową kwadraturową Q(t).

Fazę sygnału zmodulowanego możemy odczytać z tzw. wykresu kratowego fazy:

Poniżej, przykład wykorzystania wykresu kratowego:

Jak widać z wykresu kratowego, dla parzystych bitów faza początkowa wynosić może 0, $π$ lub $- π$ , wtedy:
$\phi(0)=0 \Rightarrow I(t)=\cos\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)$
$\phi(0)=\pi \vee \phi(0)=-\pi \Rightarrow I(t)=-\cos\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)$

Dla nieparzystych bitów, faza początkowa może wynosić $+ π / 2$ lub $- π / 2$ :
$\phi(T_{b})=+{\pi \over 2} \Rightarrow Q(t)=\sin\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)$
$\phi(T_{b})=-{\pi \over 2} \Rightarrow Q(t)=-\sin\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)$

Aby określić diagram konstalacji modulacji MSK, zapiszmy sygnał zmodulowany w postaci:
$S(t)=\sqrt{E_{b}}\Phi_{1}(t)-\sqrt{E_{b}}\Phi_{2}(t)$
we wzorze tym, $\Phi_{1}(t)=\sqrt{{2 \over T_{b}}}\cos\phi(t)\cos(\omega_{0}t)$ , $\Phi_{2}(t)=\sqrt{{2 \over T_{b}}}\sin\phi(t)\sin(\omega_{0}t)$

	$φ(0)$	znak $Φ 1$	$φ(T b)$	znak $Φ 2$	znak $- Φ 2$	Przesyłane bity
1	0	+	$π / 2$	+	-	1
2	$π$	-	$π / 2$	+	-	0
3	$π$	-	$- π / 2$	-	+	1
4	0	+	$- π / 2$	-	+	0

Na podstawie powyższej tabeli, utworzyć można diagram konstalacji dla modulacji MSK:

Modulację MSK cechuje dużo węższe widmo częstotliwościowe niż QPSK/BPSK. MSK jest więc znacznie oszczędniejsza energetycznie. Dzięki temu jest powszechnie stosowana w telekomunikacji (zwłaszcza GMSK).

Schemat modulatora MSK:

Sygnał na wejściu filtrów pasmowych:
$y(t)=\cos\omega_{0}t\cos\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)={1 \over 2}\cos\left[\left(\omega_{0}-{\pi \over 2T_{b}}\right)t\right]+{1 \over 2}\cos\left[\left(\omega_{0}+{\pi \over 2T_{b}}\right)t\right]$
$\Phi_{1}(t)={1 \over 2}\cos\left[\left(\omega_{0}+{\pi \over 2T_{b}}\right)t\right]+{1 \over 2}\cos\left[\left(\omega_{0}+{\pi \over 2T_{b}}\right)t\right]=\cos\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)\cos(\omega_{0}t)$
$\Phi_{1}(t)={1 \over 2}\cos\left[\left(\omega_{0}-{\pi \over 2T_{b}}\right)t\right]+{1 \over 2}\cos\left[\left(\omega_{0}+{\pi \over 2T_{b}}\right)t\right]=\sin\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)\sin(\omega_{0}t)$
$S(t)=m_{I}(t)\cos\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)\cos(\omega_{0}t)-m_{Q}(t)\sin\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)\sin(\omega_{0}t)$