Szukaj

narzędzia

W innych językach

Liczby naturalne

Liczby naturalne – liczby używane powszechnie do podawania liczności (na obiedzie były trzy osoby) i ustalania kolejności (był trzeci na liście). Pojęcie liczby naturalnej jest jednym z najstarszych pojęć jakie wytworzyła ludzkość. Chociaż jest ono znacznie prostsze od pojęcia liczby rzeczywistej, to formalnie zdefiniowanie nastąpiło znacznie później, bowiem liczby rzeczywiste zdefiniował w starożytności już Eudoksos z Knidos, (ok. 408 p.n.e – ok. 355 p.n.e), (a nowocześnie Dedekind, także Georg Cantor), natomiast liczby naturalne formalnie zdefiniował, ponad dwa milenia później, dopiero Giuseppe Peano.

Badaniem własności liczb naturalnych zajmuje się arytmetyka i teoria liczb, a ogólniej – algebra.

Historycznie, liczba 0 pojawiła się o wiele później niż 1, 2, 3, ... (i w tym sensie nie jest "naturalna"). Mimo to, w matematyce nie ma jednoznacznie ustalonej konwencji, czy liczby naturalne to 0, 1, 2, ..., czy też 1, 2, 3, ...

Spis treści

[edytuj] Używane oznaczenia

Obie wersje posiadają ścisłe formalne definicje. Dla każdej z tych dwóch wersji pojęcia liczb naturalnych stosuje się często zarówno oznaczenie $\mathbb{N}$ , jak i $\mathbb{Z}_{+}$ , rzadziej inne.^[1]

Oznaczanie zbioru liczb naturalnych (t.j. całkowitych dodatnich) lub całkowitych nieujemnych specjalnym symbolem w monografiach poświęconych teorii liczb stało się umiarkowanie popularnym relatywnie niedawno. Dawniej, i często również dziś, pisano o zbiorach liczb całkowitych dodatnich lub zbiorach liczb całkowitych nieujemnych, a symbolu zbioru liczb naturalnych nie wprowadzano.^[2]

W elementarnej i analitycznej teorii liczb określenie "liczby naturalne" oznacza dodatnie liczby całkowite. W algebraicznej teorii liczb występują pierścienie, a więc pierścień liczb całkowitych wymiernych Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}, a o liczbach naturalnych w zasadzie się nie mówi. W wielu monografiach nie występuje ani symbol N, ani Z⁺, ani żaden inny, oznaczający zbiór liczb naturalnych. Bierze się to z nikłych teoriomnogościowych wymagań teorii liczb – tak nikłych, że w wielu monografiach z teorii liczb nie występuje symbol „ $\in$ ” (należenia do zbioru), wobec czego symbol zbioru liczb naturalnych nie był wykorzystywany.

Warto również zauważyć, że w teorii mnogości zbiór liczb naturalnych jest oznaczany symbolem ω (lub $ω 0$ ) a przyjmowaną definicją jest sformułowana poniżej definicja von Neumanna (zatem $\omega=\{0,1,2,\ldots\}$ ).

Inną stosowaną formą rozróżnienia jest $\mathbb{N}_{0}=\{0,1,\ldots\}$ i $\mathbb{N}^{*}=\{1,2,\ldots\}$ .

[edytuj] Historia

Liczby naturalne (bez zera) początkowo były stosowane wyłącznie do określania liczebności obiektów.

Pierwszy krok dla wyabstrahowania liczb naturalnych to stworzenie systemu ich zapisu. Przykładowo w Babilonii stosowano cyfry o wartościach od 1 do 10, zaś o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10 aż do miliona.

Znacznie później pojawiło się zero jako oddzielna wartość. Już w siódmym wieku p.n.e. Babilończycy stosowali zero jako cyfrę w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie jako liczba. W cywilizacji Majów zero istniało jako liczba już w I w. p.n.e. (być może już w IV wieku p.n.e. u wchłoniętych przez Majów Olmeków), ale Majowie nie rozprzestrzenili tej idei poza Amerykę Środkową.

W 130 zera używał Klaudiusz Ptolemeusz. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, który stworzył je w 628. Zero stosowano w średniowieczu, ale nie miało ono swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich - stosowano łacińskie słowo nullae.

Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się greckim filozofom: Pitagorasowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej.

[edytuj] Określenie formalne

[edytuj] Postulaty Peano

Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych, choć proste, zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki (tzw. postulaty lub aksjomaty Peano), które musi spełniać dowolna konstrukcja zbioru liczb naturalnych:

0 jest liczbą naturalną;
Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany $S (a)$ ;
0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej;
Różne liczby naturalne mają różne następniki: $a \not = b \Rightarrow S(a) \not = S(b)$ ;
Jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

Z ostatniej własności wynika, że każda liczba naturalna albo jest zerem albo następnikiem pewnej liczby naturalnej.

Gdyby w powyższej wersji aksjomatyki Peano zamienić 0 przez dowolny inny symbol (różny od S), to zmiana byłaby czysto formalna, nic istotnie nie zmieniłoby się. W szczególności można zamiast 0 napisać 1. Zauważmy, że aksjomaty Peano nic nie mówią o operacjach arytmetycznych takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, itd, ani też nie wspominają uporządkowania (relacji ≤). Definiują tylko operację następnika, S. Pozostałe pojęcia trzeba dopiero zdefiniować w terminach S. Okazuje się to możliwe. Poniżej, dwa warunki definiują dodawanie, dla którego 0 gra rolę elementu neutralnego (pierwszy warunek w definicji: $a+0=a\;$ ). Gdyby jednak warunek ten zastąpić przez: $a+0=S(a)\;$ , to znaczenie 0 byłoby inne, mianowicie 0 zachowywałoby się względem tak zdefiniowanego dodawania jak liczba jeden, i wtedy zwyczajowo stosujemy symbol 1, a nie 0.

Dodawanie definiujemy jako operację spełniającą następujące warunki:

$a+0=a\;$
$a+S(b)=S(a)+b\;$

To wystarczy do wyliczenia sumy liczb np. obliczając $2 + 2$ (dwa oznacza skrótowy zapis liczby S(S(0))), kolejno otrzymujemy:

2+2
2+S(1) bo 2 jest następnikiem 1
S(2)+1 z definicji
3+1 następnik 2 oznaczamy symbolem 3
3+S(0) 1 jest następnikiem 0
S(3)+0=S(3) z definicji
S(3)=4 następnik 3 oznaczamy symbolem 4

Podobnie definiujemy mnożenie jako operację spełniającą warunki:

a*0=0
a*S(b)=(a*b)+a

W wersji liczb naturalnych wykluczającej 0, pierwszy aksjomat mnożenia (a*0=0) byłby zastąpiony przez warunek: a*1 = a.

Powyższe postulaty mówią jakie własności mają liczby naturalne, z definicji. W ramach teorii mnogości zbiór liczb naturalnych, spełniający aksjomaty Peano, można skonstruować na wiele sposobów. Szczególnie popularna jest konstrukcja von Neumanna (patrz niżej).

[edytuj] Model von Neumanna

Jest to przykład eleganckiej konstrukcji zbioru liczb naturalnych w ramach teorii mnogości, podanej przez amerykańskiego matematyka John von Neumanna - nie jedynej, ale jednej z ważniejszych:

Niech X - zbiór induktywny.

Niech $P := \{Y \subset X: Y\text{ -- induktywny}\}$ . Przecięcie $\mathbb{N} := \cap P$ jest zbiorem induktywnym (dowód przy aksjomacie nieskończoności), zawartym w każdym innym induktywnym:

rzeczywiście, niech Z - zbiór induktywny. To $\mathbb{N} \cap Z$ też jest zbiorem induktywnym (jako przecięcie zbiorów induktywnych), zawartym w $X\,$ , a więc zawierającym $\mathbb{N}$ , a więc równym $\mathbb{N}$ – co kończy dowód.

Korzystając z faktu induktywności $\mathbb{N}$ :

$\empty \in \mathbb{N}$ - oznaczamy jako 0;
$S(\empty) = \{\empty\}$ - oznaczamy jako 1;
$S(\{\empty\}) = \{\empty ,\{\empty\}\}$ - oznaczamy jako 2;

i tak dalej.

Tak skonstruowany zbiór liczb naturalnych spełnia aksjomaty Peano.

Tak więc w modelu von Neumanna (i na ogół w teorii mnogości) za każdą liczbę naturalną uważamy zbiór składający się ze wszystkich poprzednich liczb naturalnych, np. 2 = {0,1}, 5 = {0,1,2,3,4} itd.

[edytuj] Podstawowe własności

Dla dowolnych liczb naturalnych $m, n$ :

$m < n \Rightarrow m \leq n$ ;
$\neg(n < n)$ ;
$m \leq n \wedge \neg(m = n) \Rightarrow m<n$ ;
$S(m) = S(n) \Rightarrow m = n$ ;
$n \leq k \leq S(n) \Rightarrow k=n \vee k=S(n)$ ;
$m = n \vee n < m \vee m < n$ .

W każdym z poniższych zbiorów można wyróżnić podzbiór, który jest izomorficzny ze zbiorem liczb naturalnych:

To znaczy: pewne podzbiory tych zbiorów, z oddziedziczonymi działaniami dodawania i mnożenia, spełniają aksjomaty Peano.

Przypisy

↑ Niestandardowe oznaczenia występują na przykład w klasycznej monografii "Enumerative Combinatorics", w której autor, Richard P. Stanley, zbiór dodatnich liczb całkowitych oznacza przez P (od angielskiego "positive"), oraz nieujemnych – przez N.
↑ Na przykład w "The Riemann Zeta-Function, Theory and Applications", Aleksandara Ivića (© 1985):

NOTATION

k,l,m,n natural numbers (positive integers)

albo w "O Rozkładach Liczb Wymiernych na Ułamki Proste", Sierpińskiego:

... o naturalnym (czyli całkowitym dodatnim) mianowniku, a więc liczby postaci 1/n, gdzie n = 1, 2, 3, ...

Podobnie zaczyna się paragraf z notacją w monografii Winogradowa "Metoda Trygonometrycznych Sum w Teorii Liczb, bo od zdania

..., n oznacza dodatnią liczbę całkowitą, większą od 1, i

ν = 1/n

(słowo dodatnią wystąpiło powyżej chyba dla podkreślenia).