Izomorfizm

Spis treści

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) – wzajemnie jednoznaczne przekształcenie jednego uniwersum w inne zachowujące jego strukturę i/lub operacje, np. zbiory, funkcje, relacje itp.

[edytuj] Definicja w algebrze

W konkretnych obiektach algebry uniwersalnej (takich jak grupy, pierścienie, moduły itp.) izomorfizmem nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie $f$ takie, że $f$ i jego odwrotność $f - 1$ są homomorfizmami.

[edytuj] Definicja w teorii kategorii

Morfizm $f\colon X \to Y$ nazywa się izomorfizmem, jeżeli istnieje morfizm $g\colon Y \to X$ taki, że $f \circ g = \operatorname{id}_Y$ oraz $g \circ f = \operatorname{id}_X$ .

Jeżeli morfizm posiada lewą i prawą odwrotność i są one równe, to $f$ jest izomorfizmem, zaś $g$ nazywane jest po prostu odwrotnością $f$ . Morfizm odwrotny do danego, jeżeli istnieje, jest dokładnie jeden. Odwrotność $g$ jest także izomorficzna z odwrotnością $f$ . O dwóch obiektach między którymi istnieje izomorfizm mówi się, iż są izomorficzne lub równoważne.

Przykłady:

W Set izomorfizmami są bijekcje.
W Grp izomorfizmami są izomorfizmy grup.
W Vec izomorfizmami są izomorfizmy przestrzeni.
W Top izomorfizmami są homeomorfizmy.
W Met izomorfizmami są izometrie.
W Pos izomorfizmami są izomorfizmy porządków.

[edytuj] Przykłady

Zobacz więcej w osobnych artykułach: homomorfizmy grup, homomorfizmy pierścieni.

Izomorfizm z grupy $(A,\circ)$ w grupę $(B,\bullet)$ to funkcja wzajemnie jednoznaczna $f: A \to B$ zachowująca działanie grupowe, czyli taka, że $\forall_{a, b \in A}\; f(a \circ b)=f(a) \bullet f(b)$ .
Izomorfizm z ciała $(K,\circ, +)$ w ciało $(L,\bullet, \Diamond)$ to bijekcja $g: K \to L$ taka, że $\forall_{a, b \in K}\; g(a \circ b)=g(a) \bullet g(b) \and g(a + b)=g(a) \;\Diamond\; g(b)$ .
Izomorfizm z częściowego porządku $(P, < )$ w częściowy porządek $(Q, \triangleleft)$ to funkcja wzajemnie jednoznaczna $h: P \to Q: \forall_{a, b \in P}\; a < b \iff h(a) \triangleleft h(b)$ .

[edytuj] Izomorfizm jako relacja

O strukturach $\mathcal A$ i $\mathcal B$ powiemy, że są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm z $\mathcal A$ w $\mathcal B$ . Można więc również mówić o izomorfizmie w znaczeniu nie przekształcenia, lecz relacji równoważności. W różnych działach matematyki często nie odróżnia się obiektów uznawanych za izomorficzne.