Elementarne macierze transformacji

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu w sekcji Dopracować
Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Zasugerowano, aby ten artykuł (lub sekcję) zintegrować z artykułem macierz przekształcenia liniowego. (dyskusja)

Elementarne macierze transformacji to macierze opisujące zależność pomiędzy współrzędnymi wskazanego punktu przed i po transformacji. Przez transformację rozumiemy w tym przypadku translację (czyli przesunięcię) oraz rotację (czyli obrót). Macierze te mają znaczenie na przykład w grafice komputerowej.

Najczęściej mają one o jeden rząd więcej niż wymiar wektora współrzędnych, a dokładniej mają rząd równy wymiarowi współrzędnych jednorodnych. Podzielić je można na dwie grupy, które zostały przedstawione poniżej^[1].

[edytuj] Elementarne macierze translacji

W tym przypadku trzy przesunięcia mogą zostać zapisane jako jedna macierz, ponieważ różnią się tylko ostatnią kolumną. $Tran( a, b, c ) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ , gdzie:

a, b, c - przesunięcie wzdłuż osi X, Y oraz Z

Można także rozbić tą macierz na 3 osobne: $T r a n X (a)$ , $T r a n Y (b)$ oraz $T r a n Z (c)$ .

[edytuj] Elementarne macierze rotacji

Obroty przedstawiane są w różny sposób, dlatego też elementarne macierze rotacji muszą być przedstawiane oddzielnie.

Dla osi X: $RotX(\alpha)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

Dla osi Y: $RotY(\beta)= \begin{bmatrix} \cos\beta & 0 & \sin\beta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

Dla osi Z: $RotZ(\gamma)= \begin{bmatrix} \cos\gamma & -\sin\gamma & 0 & 0 \\ \sin\gamma & \cos\gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

[edytuj] Składanie macierzy rotacji

Gdy są dane dwie macierze przekształceń:

Rot⁰₁ - macierz przekształcająca zerowy układ współrzędnych w układ o indeksie pierwszym.
Rot¹₂ - macierz przekształcająca układ pierwszy w układ drugi.

Obydwie macierze można złożyć w jedną macierz przekształcającą układ zerowy w układ drugi.
Rot⁰₂=Rot⁰₁*Rot¹₂

Macierze te oraz ich iloczyn należy do specjalnej grupy euklidesowej SE(3).