Delta Diraca

Wykres funkcji delta Diraca. Schematyczna reprezentacja funkcji Diraca dla x₀ = 0. Linia ze strzałką jest zwykle używana do umownego zaznaczenia delty Diraca. Wysokość strzałki symbolizuje wartość stałej przemnożonej przez funkcję.

Delta Diraca – dystrybucja, czyli operator liniowy działający na pewnej przestrzeni funkcyjnej zdefiniowany jako:

$\delta(f)=\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x) \, dx = f(0)$

Obiekt ten wprowadził brytyjski fizyk teoretyczny Paul Dirac. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości; jest przydatnym narzędziem w fizyce kwantowej, elektronice, mechanice i analizie matematycznej, gdzie w szczególności jest ona oryginałem dla transformaty Laplace'a $F (s) = 1$ i pochodną funkcji skokowej Heaviside'a.

Spis treści

[edytuj] Reprezentacje

[edytuj] Funkcja impulsowa

Funkcja schodkowa Heaviside'a. Zastosowano "konwencję połowy maksimum", z x₀ = 0

Delta Diraca (albo funkcja impulsowa) δ to, mówiąc intuicyjnie, obiekt matematyczny o następujących własnościach: $δ(x) = 0$ , gdy $x$ różne od zera albo plus nieskończoność, gdy $x$ równe zero i dodatkowo wartość całki wynosi:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\delta (x)dx} = 1.$

Mimo sugestywnej i użytecznej notacji $δ(x)$ należy podkreślić, że nie jest to funkcja o dziedzinie w liczbach rzeczywistych. Matematycznie określamy deltę Diraca jako miarę albo jako dystrybucję, czyli funkcjonał liniowy określony na odpowiedniej przestrzeni funkcyjnej.

Delta Diraca jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w statyce - do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili t=0, o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym 1.

[edytuj] Granica funkcji

Deltę Diraca można reprezentować jako granicę funkcji $\mathbb R^2 \ni (t,h)\mapsto f(t,h)\in \mathbb R$ :

$\delta (t)=\lim_{h\to 0}f(t,h)$

gdzie $f (t, h)$ może być wyrażona na wiele sposobów, np.:

$f(t,h)=\begin{cases} \frac{1}{h} & \mbox{dla }-h/2<t<h/2 \\ 0 & \mbox{dla } t\le -h/2 \mbox{ lub } t\ge h/2 \end{cases}$
$f(t,h)= \frac{1}{h\sqrt \pi}e^{ -t^2/h^2}$ ,
$f(t,h)= \frac{h/\pi}{t^2+h^2}$ .

[edytuj] Własności

Wprost z definicji delty Diraca, wynika wiele ważnych własności matematycznych. Najważniejsze to:

$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x - a ) \, dx = f(a)$ ,
$\int_{-\infty}^\infty \delta(x-a) \, \delta(x-b) \, dx = \delta(a-b)$ ,
$δ( - x) = δ(x)$ ,
$\delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta(x)$ ,
$\delta(x^{2} - a^{2}) = \frac{1}{2|a|} \left[ \delta(x-a) + \delta(x+a) \right]$ .