Aksjomaty przeliczalności

Aksjomaty przeliczalności – własności przestrzeni topologicznych odróżniające przestrzenie, odpowiednio, przeliczalnego charakteru i wagi od innych przestrzeni. Własności te są topologiczne, tzn. niezmiennicze w klasie przestrzeni topologicznych. Dokładniej, jeśli pewna przestrzeń ma jedną z tych własności, to każda homeomorficzna z nią przestrzeń również. Nazwa aksjomat w tym przypadku ma charakter wyłącznie historyczny i nie powinna być rozumiana w sensie dosłownym.

[edytuj] Pierwszy aksjomat

[edytuj] Definicja

Przestrzeń topologiczna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności, gdy ma przeliczalną bazę otoczeń w każdym punkcie.

[edytuj] Przykład

Własność tę ma na przykład każda przestrzeń metryczna (przykładową bazą jest rodzina kul o środku w danym punkcie i promieniach wymiernych).

[edytuj] Drugi aksjomat

[edytuj] Definicja

Przestrzeń topologiczna spełnia drugi aksjomat przeliczalności, jeżeli ma przeliczalną bazę topologii.

[edytuj] Przykład

Przykładem takiej przestrzeni jest zbiór liczb rzeczywistych, w której przeliczalną bazę tworzy np. rodzina przedziałów otwartych o końcach wymiernych.

Ogólniej: każda przestrzeń metryczna ośrodkowa spełnia drugi aksjomat przeliczalności.

[edytuj] Własności

• Każda przestrzeÅ„ speÅ‚niajÄ…ca drugi aksjomat przeliczalnoÅ›ci jest oÅ›rodkowa.

[edytuj] Relacja między aksjomatami

• Jeżeli przestrzeÅ„ speÅ‚nia drugi aksjomat przeliczalnoÅ›ci, to speÅ‚nia również pierwszy.
• OczywiÅ›cie wynikanie w drugÄ… stronÄ™ nie zachodzi: dowolna przestrzeÅ„ topologiczna dyskretna speÅ‚nia pierwszy aksjomat przeliczalnoÅ›ci, ale tylko przeliczalne przestrzenie topologiczne dyskretne speÅ‚niajÄ… drugi aksjomat.

[edytuj] Literatura

1. Ryszard Engelking,: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1976. 

Ponieważ to hasÅ‚o  zwiÄ…zane z matematykÄ… ma formÄ™ zaledwie zalążkowÄ…, pomóż nam je rozbudować, o ile dysponujesz odpowiednimi źródÅ‚ami.
Prosimy, zapoznaj siÄ™ najpierw z zasadami oraz zaleceniami edytowania Wikipedii.