Aksjomaty Kołmogorowa

Aksjomaty Kołmogorowa to zbiór aksjomatów leżących u podstaw teorii prawdopodobieństwa. Ich twórcą jest rosyjski matematyk Andriej Kołmogorow.

Prawdopodobieństwo zdarzenia E (oznaczane jako P(E)) jest jest okroślone na pewnym σ-ciele podzbiorów zbioru przestrzeni Ω wszystkich zdarzeń elementarnych w taki sposób, że musi spełniać wszystkie aksjomaty Kołmogorowa.

Spis treści

[edytuj] Aksjomaty Kołmogorowa

[edytuj] Pierwszy aksjomat

Dla każdego zbioru E należącego do σ-ciała zachodzi:

$0 \le P(E)$

Oznacza to, że prawdopodobieństwo zdarzenia E jest liczbą rzeczywistą większą lub równą 0. (Oprócz tego z aksjomatów można wyprowadzić również nierówność $P(E)\le 1$ .)

[edytuj] Drugi aksjomat (aksjomat unormowania)

$P(\Omega) = 1\,$

czyli prawdopodobieństwo, że wystąpi jakieś zdarzenie elementarne w przestrzeni wynosi 1. Innymi słowy: prawdopodobieństwo jest miarą skończoną.

Ten aksjomat jest często pomijany w błędnych obliczeniach: jeśli nie możemy określić zbioru Ω, nie jesteśmy też w stanie zdefiniować prawdopodobieństwa na tym zbiorze.

[edytuj] Trzeci aksjomat (aksjomat przeliczalnej addytywności)

Dla każdego przeliczalnego (skończonego lub nieskończonego) ciągu parami wykluczających się (rozłącznych) zdarzeń E₁, E₂, ... zachodzi równość:

$P(E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup ...) = \sum_{i} P(E_i)$

To znaczy: prawdopodobieństwo zdarzenia, które jest sumą rozłącznych zdarzeń, obliczamy jako sumę prawdopodobieństw tych zdarzeń. Tę własność nazywamy też σ-addytywnością. Jeśli zdarzenia składowe nie są rozłączne, tzn. jest możliwe równoczesne zajście dwu lub więcej spośród zdarzeń E₁, E₂..., ten związek nie zachodzi.

[edytuj] Źródło

Krysicki, Bartos, Dyczka, Królikowska, Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, str. 16