تلاش

آلات

دیگر زبانیں

مختلط عدد

اردو اصطلاح	English term
مختلط عدد اصل عدد	complex number real number

کسی عدد کو اپنے آپ سے ضرب دے کر اس کا مربع نکالا جا سکتا ہے۔ مثلاً $\ 7\times 7 = 49$ ۔ اسی طرح کسی عدد کا جزر المربع بھی نکالا جا سکتا ہے، مثلاً $\sqrt{49}=7$ ۔ اسی طرح $\sqrt{1}=1$ ، چونکہ $\ 1 \times 1 =1$ ، مگر $\sqrt{-1}=?$ ۔ یعنی ایک منفی عدد کا جزر المربع کیا ہو؟ اس کا حل نکالنے کیلئے ریاضی دانوں نے "فرضی عدد" بتائے ہیں۔ اس کیلئے $\ -1 \,$ کے جزر المربع کو ایک خاص علامت $\ \iota$ دی گئی ہے، یعنی $\sqrt{-1}=\iota$ ۔ اسی طرح $\sqrt{-49}=7\iota$ ۔ ایسے عدد جن کے ساتھ $\ \iota$ لکھا جاتا ہے، "فرضی عدد" کہلاتے ہیں، مثلاً $\ 7\iota\,$ ۔ اسی طرح عام اعداد کو "اصلی عدد" کہا جاتا ہے، مثلاً 7۔ ایسا عدد جو "اصلی عدد" اور "فرضی عدد" کے مجموعہ سے بنے، کو "مختلط عدد" کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر $\ 6+7\iota\,$ اور $\ 6-7\iota\,$ مختلط عدد ہیں۔ مختلط اعداد پر جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے حسابی عمل کیے جا سکتے ہیں. دو مختلط اعداد $\ a+b\iota$ اور $\ c+d\iota$ کی جمع اور تفریق:

$\ (a + b \iota) + (c + d \iota) = (a+c) + (b+d)\iota \,$

$\ (a + b \iota) - (c + d \iota) = (a-c) + (b-d)\iota \,$

اسی طرح ضرب اور تقسیم، الجبرا کے عام اصولوں کے مطابق (یاد رہے کہ، $\ \iota^2=-1$ )

$\ (a + b \iota) (c + d \iota) = (ac-bd) + (ad+bc)\iota \,$

$\frac{a + b \iota} {c + d \iota} = \frac{(a + b \iota) (c - d \iota)} {(c + d \iota) (c - d \iota)} = \frac{(ac+bd) }{c^2+d^2}+ \frac{(bc-ad) \iota }{c^2+d^2} \,$ چونکہ مختلط اعداد پر جمع، تفریق، ضرب، اور تقسیم کے عمل کیے جا سکتے ہیں، اس لیے مختلط اعداد ایک مختلط میدان بناتے ہیں، جسے $\mathbb{C}\,$ کی علامت سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

[ترمیم] مستطیل اور قطبی صورت

مختلط عدد $\ a+b \iota$ کو مستطیل مستوی میں اس طرح دکھایا جاتا ہے، اصلی عدد افقی جانب اور فرضی عدد عمودی جانب۔ یعنی مستطیل مستوی میں کوئی بھی نکتہ ایک مختلط عدد سمجھا جا سکتا ہے۔ پلین کے مبدا سے اس نکتہ کو جوڑنے والی لکیر کو اکثر سمتیہ کہتے ہیں۔ اس لکیر کی لمبائی $\ r$ ہے اور اس کا دائیں افقی جانب سے زاویہ $\theta\,$ ہے۔ ان پیمائیشوں کے درمیان رشتہ داری فیثاغورث کے اصول استعمال کرتے ہوئے یوں بیان کی جا سکتی ہے:

$r = \sqrt{ a^2 + b^2} \; ,\;\;\; \theta=\tan^{-1}\left( \frac{b}{a} \right)$

$\ a=r \cos(\theta)\;,\;\;\; b=r \sin(\theta)$

ہم $r \angle{\theta}$ کو مختلط عدد کی قطبی صورت کہتے ہیں، جبکہ $\ a+ b \iota$ کو مستطیل صورت۔

اب $\ \exp(x) \,$ کے سلسلہ کے استعمال سے یہ آسانی سے ثابت کیا جا سکتا ہے کہ

$\ e^{\iota\theta} = \cos(\theta) + \iota \sin(\theta)$

اس کے استعمال سے ہم مختلط عدد کی مستطیل اور قطبی صورت کے رشتہ کو مساوات کی شکل میں یوں لکھ سکتے ہیں:

$\ a + \iota b = r \cos(\theta) + \iota r \sin(\theta) = r (\cos(\theta) + \iota \sin(\theta) ) = r e^{\iota \theta}$

یعنی $\ a + b \iota = r \exp(\iota \theta) \,$

قطبی صورت میں مختلط عدد کی ضرب اور تقسیم نسبتاً زیادہ آسان ہے:

$\ (r_1 \exp(\iota \theta_1)) (r_2 \exp(\iota \theta_2)) = r_1 r_2 \exp(\iota (\theta_1+\theta_2))$

$\frac{r_1 \exp(\iota \theta_1)}{r_2 \exp(\iota \theta_2)} = \left( \frac{r_1}{ r_2} \right) \exp(\iota (\theta_1 -\theta_2))$

مختلط عدد $\ z=a+\iota b = r e^{\iota \theta}$ اور مختلط عدد $\ \bar{z}=a-\iota b = r e^{-\iota \theta}$ کو ایک دوسرے کا conjugate کہا جاتا ہے۔ غور کرو کہ ان دونوں کی لمبائی برابر ہے اور یہ افقی طرف سے ایک دوسرے کا عکس ہیں۔

مختلط عدد $\ z= r e^{\iota \theta}$ کی لمبائی کو عموماً $\ |z|= r$ لکھا جاتا ہے اور اس کے زاویہ کو $\ arg(z)= \theta$ لکھا جاتا ہے۔

[ترمیم] عدد ایک $1$ کے جزر

مساوات $\ x^n-1$ کے $\ n$ جزر یوں لکھے جا سکتے ہیں: $x= \sqrt[n]{1} = \exp(\iota \pi 2 k/n) \, ,\, k=0,\cdots,n-1$ مساوات میں $\ x$ کی قدر ڈال کر بآسانی یہ تسلی کی جا سکتی ہے کہ یہ مساوات کے جزر ہیں۔ غور کرو کہ یہ جزر مبدا کے گرد ایک دائرے پر واقع ہیں، جس دائرہ کا نصف قطر ایک (1) ہے۔ تصویر میں $\ n=10$ کیلئے دس جزر دکھائے گئے ہیں۔