ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (Special Relativity) (ไม่ใช่ทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ) ถูกเสนอขึ้นในปี ค.ศ. 1905 โดยอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ในบทความของเขา "เกี่ยวกับพลศาสตร์ไฟฟ้าของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่ (On the Electrodynamics of Moving Bodies) " สามศตวรรษก่อนหน้านั้น หลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอกล่าวไว้ว่า การเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ทั้งหมดเป็นการสัมพัทธ์ และไม่มีสถานะของการหยุดนิ่งสัมบูรณ์และนิยามได้ คนที่อยู่บนดาดฟ้าเรือคิดว่าตนอยู่นิ่ง แต่คนที่สังเกตบนชายฝั่งกลับบอกว่า ชายบนเรือกำลังเคลื่อนที่ ทฤษฏีของไอน์สไตน์รวมหลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอเข้ากับสมมติฐานที่ว่า ผู้สังเกตทุกคนจะวัดอัตราเร็วของแสงได้เท่ากันเสมอ ไม่ว่าสภาวะการเคลื่อนที่เชิงเส้นด้วยความเร็วคงที่ของพวกเขาจะเป็นอย่างไร

ทฤษฏีนี้มีข้อสรุปอันน่าประหลาดใจหลายอย่างซึ่งขัดกับสามัญสำนึก แต่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการทดลอง ทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษล้มล้างแนวคิดของสเปซสัมบูรณ์และเวลาสัมบูรณ์ของนิวตันโดยการยืนยันว่า ระยะทางและเวลาขึ้นอยู่กับผู้สังเกต และเวลากับสเปซนั้นถูกรับรู้ต่างกันไปขึ้นอยู่กับผู้สังเกต มันนำมาซึ่งหลักการสมมูลของสสารและพลังงาน ซึ่งสามารถแสดงเป็นสมการชื่อดัง E=mc2 เมื่อ c คืออัตราเร็วของแสง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสอดคล้องกับกลศาสตร์นิวตันในสำนึกทั่วไปและในการทดลองเมื่อความเร็วของสิ่งต่าง ๆ น้อยมากเมื่อเทียบกับอัตราเร็วแสง

ทฤษฎีนี้เรียกว่า "พิเศษ" เนื่องจากมันประยุกต์หลักสัมพัทธภาพกับกรอบอ้างอิงเฉื่อยเท่านั้น ไอน์สไตน์พัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปโดยประยุกต์หลักสัมพัทธภาพให้ใช้ทั่วไป กล่าวคือ ใช้ได้กับทุกกรอบอ้างอิง และทฤษฎีดังกล่าวยังรวมผลของความโน้มถ่วง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษไม่ได้รวมผลของความโน้มถ่วง แต่มันสามารถจัดการกับความเร่งได้

ถึงแม้ว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพจะทำใหเกิดการสัมพัทธ์กันของปริมาณบางอย่าง เช่น เวลาซึ่งเรามักคิดว่าเป็นปริมาณสัมบูรณ์เนื่องจากประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน ถึงกระนั้นมันก็มีปริมาณบางอย่างที่เป็นปริมาณสัมบูรณ์ทั้ง ๆ ที่เราคิดว่ามันน่าจะเป็นปริมาณสัมพัทธ์ กล่าวให้ชัดคือว่า อัตราเร็วของแสงจะเท่ากันสำหรับทุกผู้สังเกต แม้ว่าพวกเขาจะเคลื่อนที่สัมพัทธ์กันก็ตาม ทฤษฎีสัมพัทธภาพแสดงให้เห็นว่า c ไม่ใช่แค่ความเร็วของปรากฏการณ์ที่เรียกว่า -- แสง -- เท่านั้น แต่ยังเป็นค่าพื้นฐานที่เชื่อมสเปซกับเวลาเข้าด้วยกัน กล่าวโดยเจาะจงคือว่า ทฤษฎีสัมพัทธภาพยืนยันว่าไม่มีวัตถุใดเคลื่อนที่เร็วเท่ากับแสงได้

สำหรับประวัติและความเคลื่อนไหว ดูที่หัวข้อ: ประวัติของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ


เนื้อหา

[แก้] สมมติฐาน

บทความหลัก: สมมติฐานของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

  1. สมมติฐานข้อแรก - หลักสัมพัทธภาพอย่างพิเศษ - กฎทางฟิสิกส์ย่อมเหมือนกันในทุกกรอบอ้างอิงเฉื่อย กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ไม่มีกรอบอ้างอิงพิเศษใด ๆ
  2. สมมติฐานข้อที่สอง - ความไม่แปรเปลี่ยนของ c - อัตราเร็วของแสงในสุญญากาศเป็นค่าคงที่สากล (c) ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับการเคลื่อนที่ของแหล่งกำเนิดแสงนั้น

พลังของทฤษฎีไอน์สไตน์เกิดขึ้นจากวิธีที่เขาได้มาซึ่งผลลัพธ์อันน่าตื่นตระหนกและดูจะไม่น่าถูกต้องจากข้อสมมุติง่าย ๆ สองอย่างซึ่งค้นพบจากการสังเกต ผู้สังเกตพยายามวัดอัตราเร็วของแสงที่แผ่ออกมา พบว่าได้คำตอบเท่าเดิมไม่ว่าผู้สังเกตหรือองค์ประกอบของระบบวัดจะเคลื่อนที่อย่างไร

[แก้] ความบกพร่องของกรอบอ้างอิงสัมบูรณ์

หลักสัมพัทธภาพ ซึ่งกล่าวว่าไม่มีกรอบอ้างอิงที่อยู่กับที่ นั้นสืบเนื่องมาจากกาลิเลโอ และถูกรวมเข้ากันฟิสิกส์ของนิวตัน อย่างไรก็ตาม ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 การมีอยู่ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าทำให้นักฟิสิกส์เสนอแนวคิดว่า เอกภพเต็มไปด้วยสารที่รู้จักในนาม "อีเทอร์" ซึ่งทำตัวเป็นตัวกลางยามที่การสั่นของคลื่นเคลื่อนไป อีเทอร์ถูกตั้งขึ้นเพื่อการมีกรอบอ้างอิงสัมบูรณ์ต้านกับหลักที่ว่าอัตราเร็วของกรอบอ้างอิงใด ๆ สามารถวัดได้ กล่าวอีกอย่างคือ อีเทอร์เป็นสิ่งเดียวที่ถูกตรึงหรือไม่เคลื่อนที่ในเอกภพ อีเทอร์ถูกสมมุติให้มีคุณสมบัติอันอัศจรรย์: มันยืดหยุ่นพอที่จะรองรับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า และคลื่นนั้นต้องสามารถมีการกระทำกับสสาร ในขณะที่ตัวอีเทอร์เองต้องไม่มีความต้านทานในการเคลื่อนที่สำหรับวัตถุที่ทะลุผ่านมันไป ผลการทดลองต่าง ๆ รวมทั้งการทดลองของไมเคิลสันและเมอร์เลย์ ชี้ให้เห็นว่าโลก 'อยู่กับที่' -- ซึ่งเป็นอะไรที่ยากจะอธิบายได้ เพราะโลกอยู่ในวงโคจรรอบดวงอาทิตย์ ผลลัพธ์อันสละสลวยของไอน์สไตน์ล้มล้างแนวคิดเรื่องอีเทอร์และการอยู่นิ่งสัมบูรณ์ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษถูกเขียนขึ้นไม่ใช่แค่ถือว่ากรอบอ้างอิงเฉพาะใด ๆ นั้นพิเศษ แต่ว่าในสัมพัทธภาพ กรอบหนึ่ง ๆ ต้องสังเกตพบกฎทางฟิสิกส์แบบเดียวกันโดยไม่ขึ้นอยู่กับความเร็วของผู้สังเกต กล่าวให้ชัดคือ อัตราเร็วของแสงในสุญญากาศต้องวัดได้ c เสมอ แม้ว่าจะวัดโดยระบบต่าง ๆ ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่าง ๆ (แต่คงที่)

[แก้] ผลสรุป

บทความหลัก: ผลสรุปของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

ไอน์สไตน์ได้กล่าวไว้ว่าผลที่ตามมาของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสามารถหาได้จากการพิจารณาการแปลงแบบลอเรนซ์ การแปลงเหล่านี้ รวมทั้งทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษ นำไปสู่การทำนายลักษณะกายภาพที่ต่างไปจากกลศาสตร์นิวตันเมื่อความเร็วสัมพัทธ์มีค่าเทียบเคียงอัตราเร็วแสง อัตราเร็วแสงนั้นมากกว่าทุกสิ่งที่มนุษย์เคยประสบ จนทำให้ผลบางอย่างซึ่งทำนายจากหลักการสัมพัทธ์นั้นจะขัดกับสัญชาตญาณตั้งแต่แรก:

  • การยืดออกของเวลา - เวลาที่ล่วงไประหว่างเหตุการณ์สองอย่างนั้นไม่แปรเปลี่ยนจากผู้สังเกตหนึ่งไปยังผู้สังเกตหนึ่ง แต่มันขึ้นอยู่กับความเร็วสัมพัทธ์ของกรอบอ้างอิงของผู้สังเกต (ตัวอย่างเช่น ปัญหา twin paradox ซึ่งพูดถึงฝาแฝดซึ่งคนหนึ่งบินไปกับยานอวกาศซึ่งเคลื่อนที่ไปด้วยความเร็วใกล้แสง แล้วกลับมาพบว่าแฝดของเขาที่อยู่บนโลกมีอายุมากกว่า)
  • สัมพัทธภาพของความพร้อมกัน - เหตุการณ์สองอย่างเกิดขึ้นในที่ที่ต่างกันสองแห่งอย่างพร้อมกันสำหรับผู้สังเกตหนึ่ง อาจไม่พร้อมกันสำหรับผู้สังเกตคนอื่น (ความบกพร่องของความพร้อมกันสัมบูรณ์)
  • การหดสั้นเชิงลอเรนซ์ - มิติ (เช่น ความยาว) ของวัตถุเมื่อวัดโดยผู้สังเกตคนหนึ่งอาจเล็กลงกว่าผลการวัดของผู้สังเกตอีกคนหนึ่ง (ตัวอย่างเช่น ladder paradox เกี่ยวข้องกับบันไดยาวซึ่งเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วใกล้แสงและเข้าเก็บในห้องซึ่งเล็กกว่า)
  • การรวมความเร็ว - ความเร็ว (และอัตราเร็ว) ไม่ได้ 'รวม' กันง่าย ๆ ยกตัวอย่างเข่นถ้าจรวดลำหนึ่งกำลังเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว ⅔ ของอัตราเร็วแสงสัมพัทธ์กับผู้สังเกตคนหนึ่ง แล้วจรวดก็ปล่อยมิซไซล์ที่มีอัตราเร็วเท่ากับ ⅔ ของอัตราเร็วแสงสัมพัทธ์กับจรวด มิซไซล์ไม่ได้มีอัตราเร็วมากกว่าอัตราเร็วแสงสัมพัทธ์กับผู้สังเกต (ในตัวอย่างนี้ ผู้สังเกตจะเห็นมิซไซล์วิ่งไปด้วยอัตราเร็ว 12/13 ของอัตราเร็วแสง)
  • ความเฉื่อยกับโมเมนตัม - เมื่อความเร็วของวัตถุเข้าใกล้อัตราเร็วแสง วัตถุจะเร่งได้ยากขึ้นและยากขึ้นเรื่อย ๆ
  • การสมมูลของมวลและพลังงาน, E=mc2 - มวลและพลังงานสามารถแปลงกลับกันไปมา และมีบทบาทเทียบเท่ากัน (ตัวอย่างเช่น แรงโน้มถ่วงของแอปเปิลที่กำลังหล่น ส่วนหนึ่งเกิดจากพลังงานจลน์ของอนุภาคย่อยซึ่งประกอบเป็นแอปเปิลขึ้นมา)

[แก้] กรอบอ้างอิง ระบบพิกัด และการแปลงแบบลอเรนซ์

บทความเต็ม: การแปลงแบบลอเรนซ์

Diagram 1. Changing views of spacetime along the world line of a rapidly accelerating observer.In this animation, the vertical direction indicates time and the horizontal direction indicates distance, the dashed line is the spacetime trajectory ("world line") of the observer. The lower quarter of the diagram shows the events that are visible to the observer, and the upper quarter shows the light cone- those that will be able to see the observer. The small dots are arbitrary events in spacetime. The slope of the world line (deviation from being vertical) gives the relative velocity to the observer. Note how the view of spacetime changes when the observer accelerates.
Diagram 1. Changing views of spacetime along the world line of a rapidly accelerating observer.

In this animation, the vertical direction indicates time and the horizontal direction indicates distance, the dashed line is the spacetime trajectory ("world line") of the observer. The lower quarter of the diagram shows the events that are visible to the observer, and the upper quarter shows the light cone- those that will be able to see the observer. The small dots are arbitrary events in spacetime.

The slope of the world line (deviation from being vertical) gives the relative velocity to the observer. Note how the view of spacetime changes when the observer accelerates.

ทฤษฎีสัมพัทธภาพขึ้นอยู่กับ "กรอบอ้างอิง" กรอบอ้างอิงคือจุดในสเปซที่อยู่นิ่ง หรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ จากตำแหน่งซึ่งสามารถวัดได้ตามแกน 3 แกน นอกจากนี้ กรอบอ้างดิงยังมีนาฬิกาซึ่งกำลังเคลื่อนที่ไปกับกรอบอ้างอิงซึ่งใช้ในการวัดเวลาของเหตุการณ์

เหตุการณ์ คือสิ่งที่เกิดขึ้นโดยสามารถระบุเป็นเวลาและตำแหน่งเดี่ยว ๆ ในสเปซสัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิง: นั่นคือ "จุด" ในสเปซ-เวลา เนื่องจากอัตราเร็วแสงมีค่าคงที่ในแต่ละกรอบอ้างอิงและทุก ๆ กรอบ พัลส์ของแสงจึงสามารถใช้วัดระยะทางได้อย่างแม่นยำและกลับมาเมื่อครั้งที่เหตุการณ์เกิดขึ้นไปยังนาฬิกา ถึงแม้ว่าแสงจะใช้เวลากลับมาหานาฬิกาหลังจากที่เหตุการณ์ได้เกิดขึ้นแล้วก็ตาม

ยกตัวอย่างเช่น การระเบิดของประทัดสามารถเป็น "เหตุการณ์" ได้ เราสามารถระบุเหตุการณ์ได้อย่างสมบูรณ์ด้วยใช้พิกัด สเปซ-เวลา 4 มิติ: เวลาที่เหตุการณ์เกิดขึ้น และตำแหน่ง 3 มิติจากตำแหน่งอ้างอิง เรียกกรอบอ้างอิงนี้ว่า S

ในทฤษฎัสัมพัทธภาพ เรามักต้องการคำนวณตำแหน่งของจุดจากตำแหน่งอ้างอิงอีกอันหนึ่งI

สมมุติเรามีกรอบอ้างอิงที่สอง คือ S' ซึ่งมีแกนพิกัดและนาฬิกาวางตัวทับกันกับระบบของ S ที่เวลาเป็นศูนย์ แต่กรอบอ้างอิงที่สองกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ v\, เทียบกับกรอบอ้างอิง S ไปตามแกน x\,

เนื่องจากไม่มีกรอบอ้างอิงสัมบูรณ์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ แนวคิดเรื่อง 'การเคลื่อนที่' จึงไม่ได้มีอยู่อย่างชัดเจน จากที่ทุกสิ่งย่อมเคลื่อนที่เทียบกับกรอบอ้างอิงอื่นเสมอ แทนที่โดย กรอบสองกรอบใด ๆ ที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเท่ากัน ในทิศทางเดียวกันจะเรียกว่า การเคลื่อนที่ร่วม ดังนั้น S และ S' จึงไม่ได้เป็นการเคลื่อนที่ร่วมกัน

กำหนดให้ เหตุการณ์ เกิดขึ้นในพิกัดสเปซ-เวลา (t, x, y, z) \, ในระบบ S และในพิกัด (t', x', y', z') \, ในระบบ S' จากนั้นการแปลงแบบลอเรนซ์ระบุว่าพิกัดทั้งสองสัมพันธ์กันดังนี้:

t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)
x' = \gamma (x - v t) \,
y' = y\,
z' = z\,

เมื่อ \gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} เรียกว่า Lorentz factor และ c คือ อัตราเร็วแสง ในสุญญากาศ

พิกัด y\, และ z\, ไม่ได้รับผล แต่แกน x\, และ t\, นั้นผสานกันในสูตรการแปลง โดยการแปลงนี้สามารถเข้าใจได้ด้วย การหมุนแบบไฮเพอร์โบลิก

ปริมาณซึ่งไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงแบบลอเรนซ์รู้จักกันในนาม Lorentz scalar.

[แก้] ความพร้อมกัน

จากสมการที่หนึ่งของการแปลงแบบลอเรนซ์ในเทอมผลต่างของพิกัด จะได้

\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^{2}} \right)

เห็นได้ชัดว่าเหตุการณ์สองย่างที่พร้อมกันในกรอบอ้างอิง S (คือ \Delta t = 0\,) นั้นไม่จำเป็นต้องเกิดขึ้นพร้อมกันในอีกกรอบอ้างอิงหนึ่ง คือ กรอบอ้างอิง S' (คือ \Delta t' = 0\,). จนกว่าเหตุการณ์เหล่าจะเกิดขึ้นที่เดิมในกรอบอ้างอิง S (คือ \Delta x = 0\,) เหตุการณ์ถึงจะพร้อมกันในอีกกรอบอ้างอิง คือ กรอบอ้างอิง S'

[แก้] การยืดออกของเวลา และการหดสั้นของความยาว

จากการเขียนการแปลงแบบลอเรนซ์และอินเวอร์สในเทอมผลต่างของพิกัด เราจะได้

\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^{2}} \right)
\Delta x' = \gamma (\Delta x - v \Delta t) \,

และ

\Delta t = \gamma \left(\Delta t' + \frac{v \Delta x'}{c^{2}} \right)
\Delta x = \gamma (\Delta x' + v \Delta t') \,

สมมุติว่าเรามีนาฬิกาซึ่งอยู่นิ่งในกรอบอ้างอิง S เสียงติ๊กของนาฬิกาถัดกันวัดโดยที่ Δx = 0 ถ้าเราต้องการรู้ความสัมพัทธ์ระหว่างเวลาระหว่างเสียงติ๊ก ซึ่งวัดโดยระบบอ้างอิงทังสอง เราสามารถใช้สมการแรกและพบว่า

\Delta t' = \gamma \Delta t \,

นี่แสดงให้เห็นว่า ช่วงเวลา Δt' ระหว่างเสียงนาฬิกาสองติ๊กที่วัดในกรอบอ้างอิงซึ่ง 'เคลื่อนที่' S' นั้นโตกว่าช่วงเวลาΔt ระหว่างเสียงนาฬิกาสองติ๊กที่วัดในกรอบอ้างอิงในกรอบที่หยุดนิ่งเทียบกับนาฬิกานั้น ปรากฏการณ์ดังกล่าวเรียกว่า การยืดออกของเวลา. (ข้อสังเกต: การวัดเวลาระหว่างสองเหตุการณ์ใด ๆ จะต้องวัดที่ตำแหน่งในสเปซเดิมเสมอเทียบกับกรอบอ้างอิงนั้น ๆ คือ Δx = 0 ในกรอบอ้างอิง S หรือ Δx' = 0 ในกรอบอ้างอิง S' :ผู้แปล)

เช่นเดียวกัน สมมุติเรามีไม้วัดวางนิ่งอยู่ในกรอบอ้างอิง S ในระบบนี้ ความยาวของไม้สามารถเขียนเป็น Δx ถ้าเราต้องการหาความยาวของไม้นี้โดยวัดในกรอบอ้างอิงซึ่ง 'เคลื่อนที่' S' เราต้องมั่นใจว่าวัดระยะ x' ที่ตำแหน่งปลายไม้อย่างพร้อมกันในกรอบอ้างอิง S' หรือพูดอีกอย่างก็คือ การวัดต้องให้ Δt' = 0ซึ่งเราสามารถรวมหลักการนี้เข้ากับสมการที่สี่เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่างความยาว Δx กับ Δx' ได้เป็น:

\Delta x' = \frac{\Delta x}{\gamma}

นี่แสดงว่าความยาว Δx' ของไม้ซึ่งวัดในกรอบอ้างอิงซึ่ง 'เคลื่อนที่' S' สั้นกว่าความยาว Δx ในกรอบที่อยู่นิ่งเทียบกับตัวไม้เอง ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า การหดสั้นของความยาว หรือ การหดสั้นแบบลอเรนซ์ (ข้อสังเกต: การวัดความยาวระหว่างสองตำแหน่งในสเปซจะต้องวัดที่เวลาเดียวกันเสมอเทียบกับกรอบอ้างอิงนั้น ๆ คือ Δt = 0 ในกรอบอ้างอิง S หรือ Δt' = 0 ในกรอบอ้างอิง S' :ผู้แปล)


ผลการยืดหดเหล่านี้ไม่ใช่เพียงภาพปรากฏเท่านั้น แต่มันสัมพันธ์อย่างชัดเจนกับวิธีในการวัดช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ 'ร่วมตำแหน่ง' และระยะทางระหว่างเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างพร้อมกัน

ดูเพิ่ม twin paradox

[แก้] Casuality และการห้ามวัตถุเคลื่อนที่เร็วกว่าแสง

Diagram 2. light cone
Diagram 2. light cone

ในแผนภาพที่ 2 ช่วง AB เรียกว่า 'time-like' กล่าวคือ มีกรอบอ้างอิงซึ่งมีเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เกิดขึ้นในตำแหน่งเดียวกันในสเปซ แต่แยกกันเนื่องจากการเกิดขึ้นในเวลาที่ต่างกันเท่านั้น ถ้า A เกิดก่อน B ในกรอบอ้างอิงนั้น A ย่อมเกิดขึ้นก่อน B ในทุก ๆ กรอบอ้างอิง จึงเป็นไปได้ในเชิงสมมติฐานว่า สสาร (หรือข้อมูล) จะสามารถเคลื่อนที่จาก A ไป B และมีความสัมพันธ์อย่างมีเหตุผล (โดย A เป็นเหตุ และ B เป็นผล)

ช่วง AC ในแผนภาพเรียกว่า 'space-like'; กล่าวคือ มีกรอบอ้างอิงซึ่งเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ C เกิดขึ้นพร้อมกัน เว้นแต่ว่าอยู่คนละตำแหน่งในสเปซ อย่างไรก็ตามยังมีบางกรอบซึ่ง A เกิดก่อน C (ดังรูป) และบางกรอบซึ่ง C เกิดก่อน A ถ้าความสัมพันธ์แบบเหตุและผลนั้นเป็นไปได้ระหว่างเหตุการณ์ A และ C พาราดอกซ์ทางตรรกะ (logical paradoxes) จะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น ถ้า A เป็นเหตุ และ C เป็นผล ก็จะมีบางกรอบอ้างอิงที่ทำให้ผลมาก่อนเหตุ วิธีหนึ่งที่จะมองคือว่า ถ้ามีเทคโนโลยีที่ยอมให้มีการเคลื่อนที่เร็วกว่าแสง มันก็จะทำตัวเป็นไทม์แมชชีน (time machine) ดังนั้นผลสรุปอย่างหนึ่งของทฤษฎีสสสัมพัทธภาพพิเศษคือว่า (โดยถือว่า causality เป็นหลักการทางตรรกะอย่างหนึ่ง) ไม่มีข้อมูลหรือวัตถุใดสามารถเคลื่อนที่ได้เร็วกว่าแสง อย่างไรก็ตาม สถานการณ์ทางตรรกะไม่ชัดเจนนักในกรณีของทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไป ดังนั้นจึงเป็นคำถามปลายเปิดว่ามี fundamental principle ซึ่งรักษาหลัก causality (และรักษาหลักการเคลื่อนที่เร็วกว่าแสง) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปหรือไม่

[แก้] การรวมความเร็ว

ดูบทความหลักที่ สูตรการรวมความเร็ว

ถ้าผู้สังเกตในกรอบอ้างอิง S เห็นวัตถุหนึ่งเคลื่อนที่ไปตามแนวแกน x ด้วยความเร็ว w ผู้สังเกตในกรอบ S' จะเห็นว่าวัตถุดังกล่าวมีความเร็ว w' โดยที่

w'=\frac{w-v}{1-wv/c^2}.

สมการนี้สามารถหาได้จากการแปลงสเปซและเวลาข้างต้น ระลึกไว้ว่าถ้าวัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วแสงในกรอบอ้างอิง S (นั่นคือ w = c) วัตถุนั้นก็จะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วแสงในกรอบอ้างอิง S' เช่นกัน ถ้าทั้ง w และ v เล็กมากเมื่อเทียบกับอัตราเร็วแสง เราก็จะสามารถใช้การแปลงความเร็วแบบกาลิเลียนในแบบสัญชาตญาณของเรา คือ w' = w − v.

[แก้] มวล โมเมนตัม และพลังงาน

ดูบทความหลักที่ การอนุรักษ์มวลในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ
ดูบทความหลักที่ การอนุรักษ์พลังงาน ฟิสิกส์ยุคใหม่

นอกจากการปรับเปลี่ยนแนวคิดเกี่ยวกับสเปซและเวลาแล้ว ทฤษฎีสัมพัทธภาพยังบังคับให้เราต้องกลับมาพิจารณาแนวคิดของ มวล โมเมนตัม และ พลังงาน ทั้งหมดนี้มีความสำคัญต่อโครงสร้างใน กลศาสตร์นิวตัน ทฤษฎีสัมพัทธภาพแสดงให้เห็นว่า อันที่จริงแล้ว แนวคิดเหล่านั้นมีแง่มุมที่ต่างกันมากสำหรับปริมาณทางกายภาพเดียวกันเหมือนกับที่มันแสดงว่าสเปซกับเวลามีความเชื่อมโยงกัน

มีหลายวิธี (ที่เทียบเท่ากัน) ที่จะนิยามโมเมนตัมและพลังงานใน SR (หมายถึง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ :ผู้แปล) วิธีหนึ่งคือใช้ กฎการอนุรักษ์ ถ้ากฎเหล่านี้ยังคงใช้ได้ใน SR พวกมันย่อมเป็นจริงในทุกกรอบอ้างอิงที่เป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม ถ้าเราทำ การทดลองในความคิด อย่างง่ายโดยใช้การนิยามแบบนิวตันของโมเมนตัมและพลังงาน เราจะเห็นว่าปริมาณเหล่านั้นไม่อนุรักษ์ใน SR เราสามารถกู้แนวคิดของการอนุรักษ์กลับมาโดยทำการปรับนิยามเพื่อให้เข้ากับความเร็วเชิงสัมพัทธภาพ และนี่คือนิยามใหม่ซึ่งแก้ไขแล้วสำหรับโมเมนตัมและพลังงานใน SR

ให้วัตถุมี มวลไม่แปรเปลี่ยน m0 เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v พลังงานและโมเมตัมจะเป็น (และถูกสั่งให้เป็น)

E = \gamma m_0 c^2 \,\!
\vec p = \gamma m_0 \vec v \,\!

เมื่อ γ ( Lorentz factor) มาจาก

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \,\!

และ c คืออัตราเร็วแสง เทอม γ ปรากฏอยู่บ่อย ๆ ในทฤษฏีสัมพัทธภาพ และมันมาจาก สมการการแปลงแบบลอเรนซ์.

พลังงานและโมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพมีความสัมพันธ์กันตามสูตร

E^2 - (p c) ^2 = (m_0 c^2) ^2 \,\!

ซึ่งเรียกว่าเป็น สมการพลังงาน-โมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพ (relativistic energy-momentum equation)

สำหรับความเร็วที่น้อยกว่าของแสงมาก ค่า γ สามารถประมาณได้โดยใช้ Taylor series expansion และจะพบว่า

E \approx m_0 c^2 + \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} m_0 v^2 \,\!
\vec p \approx m_0 \vec v \,\!

ถ้าไม่มีเทอมแรกในสูตรพลังงาน (จะกล่าวถึงภายหลัง) สูตรเหล่านี้จะสอดคล้องอย่างชัดเจนกับนิยามมาตรฐานของ พลังงานจลน์ และโมเมนตัมแบบนิวตัน นี่เป็นการแสดงว่าทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษต้องสอดคล้องกับกลศาสตร์นิวตันที่ความเร็วต่ำ

เมื่อดูที่สูตรสำหรับพลังงานข้างต้น เราจะเห็นว่าวัตถุ เมื่ออยู่นิ่ง (v = 0 and γ = 1) จะมีพลังงานที่ไม่เท่ากับศูนย์เหลืออยู่ คือ

E = m_0 c^2 \,\!

พลังงานนี้เรียกว่า พลังงานนิ่ง (rest energy) พลังงานนิ่งไม่ได้เป็นสาเหตุของความขัดแย้งกับทฤษฎีแบบนิวตันเพราะว่ามันเป็นค่าคงที่ และเป็นความแตกต่างในแง่พลังงานซึ่งมีความหมายอย่างยิ่ง ตราบเท่าที่ยังพิจารณาพลังงานจลน์

เมื่อนำสูตรนี้พิจารณาค่า เราจะพบว่าในทฤษฎีสัมพัทธภาพ มวลเป็นเพียงแค่พลังงานรูปแบบหนึ่ง ในปี ค.ศ. 1927 ไอน์สไตน์ได้ตั้งข้อสังเกตเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษไว้ว่า

ภายใต้ทฤษฎีนี้ มวลนั้นไม่ใช่ปริมาณใหม่อะไร แต่เป็นเพียงปริมาณที่ขึ้นอยู่กับ (และจริง ๆ แล้ว คือ เหมือนกับ) พลังงาน [1]

สูตรนี้มีความสำคัญเมื่อมีคนวัดมวลนิวคลิไอของอะตอมต่าง ๆ และโดยการดูผลต่างของมวลเหล่านั้น ก็สามารถทำนายได้ว่านิวคลีไอใดมีพลังงานที่เก็บไว้จนสามารถเกิด ปฏิกิริยานิวเคลียร์ ได้ รวมทั้งข้อมูลซึ่งมีประโยชน์อย่างยิ่งในการพัฒนา ระเบิดนิวเคลียร์ ผลกระทบของสมการนี้ต่อผู้คนใน ศตวรรษที่ 20 ทำให้มันเป็นหนึ่งในสมการที่มีชื่อเสียงที่สุดในสาขาวิทยาศาสตร์ทั้งหมด

[แก้] มวลเชิงสัมพัทธภาพ

ในวิชาฟิสิกส์เบื้องต้นและหนังสือเก่า ๆ เกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพบางครั้งจะนิยามคำว่า มวลเชิงสัมพัทธภาพ ซึ่งเพิ่มขึ้นเมื่อความเร็วของวัตถุเพิ่มขึ้น ตามการตีความทางเรขาคณิตของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ มักจะไม่ชอบนิยามนี้ และคำว่า 'มวล' ถูกสงวนไว้สำหรับว่าคำว่า 'มวลนิ่ง' และไม่ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง กล่าวคือ มัน ไม่แปรเปลี่ยน

จากการใช้นิยามของมวลเชิงสัมพัทธภาพ มวลวัตถุสามารถแปรเปลี่ยนได้ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิงเฉื่อยของผู้สังเกตเช่นเดียวกับปริมาณอื่น ๆ เช่น ความยาว การนิยามปริมาณหนึ่ง ๆ บางครั้งมี ประโยชน์ ในการช่วยให้คำนวณง่ายขึ้นโดยจำกัดมันกับกรอบอ้างอิง ยกตัวอย่างเช่น ในการพิจารณาวัตถุซึ่งมีมวลไม่แปรเปลี่ยน m0 ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วค่าหนึ่งสัมพัทธ์กับกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตคนหนึ่ง ผู้สังเกตคนนั้นจะนิยาม มวลเชิงสัมพัทธภาพ ของวัตถุเท่ากับ

m = \gamma m_0\!

"มวลเชิงสัมพัทธภาพ" ไม่ควรสับสนกับนิยามของ "longitudinal" และ "transverse mass" ที่ถูกใช้ในช่วงปี ค.ศ. 1900 และที่ตั้งอยู่บนการประยุกต์ที่ขัดแย้งกันของกฎนิวตัน คือใช้ F=ma สำหรับมวลแปรค่าได้ ในขณะที่มวลเชิงสัมพัทธภาพสัมพันธ์กับมวลเชิงไดนามิกของนิวตัน โดยที่ p=mv และ F=dp/dt.

ควรระลึกไว้เช่นกันว่า วัตถุ ไม่ ได้มีมวลมากขึ้นในกรอบอ้างอิง แท้ (คือ กรอบอ้างอิงที่เห็นวัตถุหยุดนิ่ง :ผู้แปล) เพราะมวลเชิงสัมพัทธภาพจะแตกต่างกันไปสำหรับผู้สังเกตในกรอบต่าง ๆ กัน มวลที่อิสระจากกรอบ เท่านั้น จึงจะเป็นมวลไม่แปรเปลี่ยน เมื่อใช้มวลเชิงสัมพัทธภาพ กรอบอ้างอิงที่ใช้ต้องระบุให้ชัดเจนหากมันไม่ชัดเจนหรือแสดงออกมา มันเป็นไปโดยไม่ได้กล่าวว่า การเพิ่มขึ้นในมวลเชิงสัมพัทธภาพไม่ได้มาจากจำนวนอะตอมที่เพิ่มขึ้นในวัตถุ แต่แทนที่จะเป็นอย่างนั้น มวลเชิงสัมพัทธภาพของแต่ละอะตอมและอนุภาคเล็กกว่าอะตอมกลับเพิ่มขึ้นเอง

หนังสือเรียนฟิสิกส์บางครั้งจะใช้มวลเชิงสัมพัทธภาพเพราะมันยอมให้นักเรียนได้ใช้ความรู้ของฟิสิกส์แบบนิวตันเพื่อจะได้เข้าใจในทฤษฏีสัมพัทธภาพในกรอบอ้างอิงของตัวเลือก (ซึ่งมักจะเป็นของตัวเอง!) "มวลเชิงสัมพัทธภาพ" ยังสอดคล้องกับแนวคิดของ "การยืดออกของเวลา" และ "การหดสั้นของระยะทาง"

[แก้] แรง

นิยามแบบคลาสสิคของแรง F กำหนดโดย กฎข้อที่สองของนิวตัน ในรูปแบบดั้งเดิม

\vec F = d\vec p/dt

และใช้ได้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ

หนังสือเรียนสมัยใหม่ มักจะเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันใหม่เป็น

\vec F = m \vec a

รูปแบบนี้ใช้ไม่ได้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพและกรณีอื่นใดที่มวล m แปรเปลี่ยน

สำหรับมวลคงที่ m0 สูตรดังกล่าวสามารถเขียนแทนได้ ในกรณ๊สัมพัทธภาพ จะเป็น

\vec F = \gamma m_0 \vec a + \gamma^3 m_0 \frac{\vec v \cdot \vec a}{c^2} \vec v

จากการมองสมการนี้ จะพบว่าแรงและเวกเตอร์ความเร่งไม่เป็นจำเป็นต้องขนานกันในทฤษฎีสัมพัทธภาพ

[แก้] เรขาคณิตของสเปซ-เวลา

ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษใช้อวกาศมิงคอฟสกีสี่มิติแบบราบ ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของ สเปซ-เวลา อย่างไรก็ตาม สเปซแบบนี้คล้ายกับสเปซแบบยูคลิดสามมิติมาตรฐานอย่างมาก และโชคดีคือว่าด้วยเหตุนั้น มันง่ายมากที่จัดการกับมัน

ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของระยะทาง(ds) ในสเปซสามมิติแบบคาร์ทีเซียน นิยามโดย

ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2

เมื่อ (dx1,dx2,dx3) เป็นผลต่างเชิงอนุพันธ์ของมิติตามแกนทั้งสาม ในเรขาคณิตของทฤษฎีสัมพัทธภาพ มิติที่สี่ คือ เวลา ได้ถูกเพิ่มเข้าไป พร้อมกับหน่วยของ c นั่นทำให้สมการสำหรับดิฟเฟอเรนเชียลของระยะทาง กลายเป็น

ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2

ถ้าเราอยากทำให้พิกัดของเวลาดูเหมือนพิกัดของสเปซ เราสามารถทำให้เวลาเป็นจำนวนจินตภาพ: x4 = ict . ในกรณีนี้ สมการข้างต้นจะสมมาตร

ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 + dx_4^2

นี่แสดงให้เห็นมุมมองทางทฤษฎีที่ลึกซึ้งเมื่อมันแสดงว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพเป็นการ สมมาตรเชิงหมุน ของ สเปซ-เวลา ซึ่งคล้ายกับสมมาตรเชิงหมุนของ สเปซแบบยูคลิด อย่างมาก หากเป็นสเปซแบบยูคลิดจะใช้ Euclidean metric ดังนั้นสเปซ-เวลาจะใช้ Minkowski metric ตาม Misner (1971 §2.3) แล้ว ความเข้าใจในเชิงลึกทั้งหมดของทั้งทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทั่วไปจะมาจากการศึกษา Minkowski metric (จะบรรยายในภายหลัง) มากกว่า Euclidean metric "ปลอม" ที่ใช้ ict เป็นพิกัดเวลา

ถ้าเราลดแกนของสเปซลงเป็น 2 จนทำให้เราสามารถใช้ฟิสิกส์ในสเปซ 3 มิติ

ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 - c^2 dt^2

เราจะเห็นว่า null geodesics จะวางตัวตามกรวยคู่

ภาพ:sr1.jpg

ซึ่งนิยามโดยสมการ

ds^2 = 0 = dx_1^2 + dx_2^2 - c^2 dt^2

หรือ

dx_1^2 + dx_2^2 = c^2 dt^2

ซึ่งเป็นสมการของวงกลมซึ่ง r=c*dt. ถ้าเราขยายผลนี้เป็นสเปซสามมิติ null geodesics จะเป็นกรวย 4 มิติ

ภาพ:sr3.jpg

ds^2 = 0 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2
dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 = c^2 dt^2

null dual-cone นี้แทน "แนวการมองเห็น" ของจุดในสเปซ กล่าวคือ เมื่อเรามองไปที่ดวงดาวและกล่าวว่า "แสงจากดาวที่ฉันรับได้มีอายุ X ปี" หมายความว่าเรากำลังมองลงไปตามแนวการมองเห็นนี้ คือ null geodesic เรากำลังมองเหตุการณ์หนึ่งที่ห่างออกไป d = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2} เมตร และ d/c วินาทีในอดีต ด้วยเหตุผลดังกล่าว null dual cone จึงรู้จักกันในนาม 'กรวยแสง' (จุดในมุมซ้ายล่างของภาพแทนดวงดาว จุดกำเนิดแทนตัวผู้สังเกต และเส้นเชื่อมนั้นแทน null geodesic "แนวการมองเห็น")

ภาพ:sr1.jpg

กรวยในเขต -t เป็นข้อมูลที่จุดนั้นกำลัง 'รับ' ในขณะที่กรวยในเขต +t เป็นข้อมูลที่จุดนั้นกำลัง 'ส่ง'

เรขาคณิตของอวกาศมิงคอฟสกี สามารถพรรณนาได้โดยใช้ Minkowski diagrams ซึ่งมีประโยชน์เช่นกันในความเข้าใจการทดลองทางความคิดต่าง ๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

[แก้] ฟิสิกส์ในสเปซ-เวลา

บัดนี้ เราจะได้เห็นวิธีการเขียนสมการของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในรูปแบบที่ไม่แปรเปลี่ยนอย่างชัดเจน ตำแหน่งของเหตุการณ์หนึ่ง ๆ ในสเปซ-เวลา สามารถกำหนดโดย contravariant four vector ซึ่งมีองค์ประกอบ คือ

x^\nu=\left(t, x, y, z\right)

หมายความว่า x0 = t และ x1 = x และ x2 = y และ x3 = z. ตัวยกเป็นดัชนีของ contravariant indices ในส่วนนี้มากกว่าจะเป็นเลขชี้กำลังเว้นเสียแต่ว่าเมื่อมันหมายถึงยกกำลังสอง ส่วนตัวห้อยเป็น covariant indices ซึ่งเรียงจากศูนย์ไปถึงสามเมื่อใช้กับ spacetime gradient ของสนาม φ:

\partial_0 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial t}, \quad \partial_1 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad \partial_2 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial y}, \quad \partial_3 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial z}.

[แก้] เมตริกซ์และการแปลงพิกัด

จากการระลึถึงธรรมชาติสี่มิติของสเปซ-เวลา เราถูกชักจูงให้สร้าง Minkowski metric, η, กำหนดให้มีองค์ประกอบ (ใช้ได้ใน กรอบอ้างอิงเฉื่อย ใด ๆ) คือ

\eta_{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} -c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

และส่วนกลับของมันคือ

\eta^{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} -1/c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

ภายใต้เงื่อนไข

ηαβηαβ = I

จากนั้น เราระลึกได้ว่าการแปลงพิกัดระหว่างกรอบอ้างอิงเฉื่อยนั้นกำหนดโดย Lorentz transformation tensor Λ. สำหรับกรณีพิเศษของการเคลื่อนที่ตามแนวแกน x เราจะได้

\begin{pmatrix}t'\\ x'\\ y'\\ z'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\ -\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}t\\ x\\ y\\ z\end{pmatrix}

หรือ

\Lambda^{\mu'}{}_\nu = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\ -\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

ซึ่งก็คือ matrix of a boost (เช่นการหมุน) ระหว่างพิกัด x กับ t เมื่อ μ' บอกแถว และ ν บอกคอลัมน์ ค่า β และ γ ยังนิยามเป็น

\beta = \frac{v}{c},\ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.

เพื่อให้ทั่วไปยิ่งขึ้น การแปลงจากกรอบอ้างอิงหนึ่ง (ซึ่งไม่สนการแปลงเพื่อความเรียบง่าย) ไปยังอีกกรอบ ต้องทำให้

\eta_{\alpha\beta} = \eta_{\mu'\nu'} \Lambda^{\mu'}{}_\alpha \Lambda^{\nu'}{}_\beta \!

เมื่อมี implied summation ของ \mu' \! และ \nu' \! จาก 0 ถึง 3 บนหลักมือขวาซึ่งสอดคล้องกับ Einstein summation convention Poincaré group เป็นกลุ่มที่ทั่วไปที่สุดของการแปลงซึ่งยังคงรักษาi Minkowski metric ไว้ และนี่เป็นสมมาตรทางกายภาพภายใต้ทฤษฎีสัมพัทธภาพอีกด้วย

ปริมาณทางกายภาพแท้ทั้งหมดกำหนดโดยเทนเซอร์ ดังนั้นเพื่อการแปลงกรอบหนึ่งไปยังอีกกรอบหนึ่ง เราใช้จะกฎที่รู้จักกันดีในชื่อ tensor transformation law

T^{\left[i_1',i_2',...i_p'\right]}_{\left[j_1',j_2',...j_q'\right]} = \Lambda^{i_1'}{}_{i_1}\Lambda^{i_2'}{}_{i_2}...\Lambda^{i_p'}{}_{i_p} \Lambda_{j_1'}{}^{j_1}\Lambda_{j_2'}{}^{j_2}...\Lambda_{j_q'}{}^{j_q} T^{\left[i_1,i_2,...i_p\right]}_{\left[j_1,j_2,...j_q\right]}

เมื่อ \Lambda_{j_k'}{}^{j_k} \! เป็นเมตริกซ์ส่วนกลับของ \Lambda^{j_k'}{}_{j_k} \!.

เพื่อให้เห็นว่ามันมีประโยชน์อย่างไร เราจะแปลงตำแหน่งของเหตุการณ์หนึ่งจากระบบพิกัดไม่มีเครื่องหมายไพรม์ S ไปยังระบบมีไพรม์ S' เราคำนวณได้ว่า

\begin{pmatrix} t'\\ x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} = x^{\mu'}=\Lambda^{\mu'}{}_\nu x^\nu= \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\ -\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t\\ x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma t- \gamma\beta x/c\\ \gamma x - \beta \gamma ct \\ y\\ z \end{pmatrix}

ซึ่งการแปลงแบบลอเรนซ์ให้ผลเหมือนกัน เทนเซอร์ทุกตัวแปลงด้วยกฎเดียวกัน

ความยาวกำลังสองของดิฟเฟอเรนเชียลของ position four-vector dx^\mu \! ซึ่งหาได้โดย

\mathbf{dx}^2 = \eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu = -(c \cdot dt) ^2+(dx) ^2+(dy) ^2+(dz) ^2\,

เป็นปริมาณไม่แปรเปลี่ยน การไม่แปรเปลี่ยนหมายความว่ามันให้ค่าเดิมเสมอในทุกกรอบอ้างอิงเฉื่อย เพราะมันเป็นสเกลาร์ (0 rank tensor) และดังนั้นจึงไม่มี Λ ปรากฏในการแปลงเล็ก ๆ น้อย ๆ ระลึกไว้ว่าเมื่อ line element \mathbf{dx}^2 เป็นลบ d\tau=\sqrt{-\mathbf{dx}^2} / cจะเป็นดิฟเฟอเรนเชียลของ