Претрага

алати

Квадратна једначина

У математици, квадратна једначина је полиномијална једначина другог степена. Њен општи облик је

$ax^2+bx+c=0,\,\!$

где a ≠ 0. (За a = 0, једначина постаје линеарна једначина.)

Слова a, b, и c се називају коефицијентима: квадратни коефицијент a је коефицијент уз x², линеарни коефицијент b је коефицијент уз x, а c је константни коефицијент.

Графици реалних квадратних функција ax² + bx + c. Сваки коефицијент варира засебно

[уреди] Квадратна формула

Квадратна једначина са реалним (или комплексним) коефицијентима има два (не обавезно различита) решења, која се називају коренима. Решења могу бити реална или комплексна, а дата су формулом:

$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a},$

где ± означава да су и

$x_+ = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

$\ x_- = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

решења.

[уреди] Дискриминанта

Примери различитих знакова дискриминанте
■ <0: x²+¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

У горњој формули, израз испод квадратног корена:

$\Delta = b^2 - 4ac , \,\!$

се назива дискриминантом квадратне једначине.

Квадратна једначина са реалним коефицијентима може имати један или два различита реална корена, или два различита комплексна корена. У овом случају, дискриминанта одређује број и природу корена. Постоје три случаја:

Ако је дискриминанта позитивна, постоје два различита корена, оба реална. Код квадратних једначина са целобројним коефицијентима, ако је дискриминанта савршен квадрат, онда су корени рационални бројеви, док у осталим случајевима могу бити ирационални.
Ако је дискриминанта једнака нули, постоји тачно један корен, и тај корен је реалан број. Он се некада назива двоструким кореном, а његова вредност је:

$x = -\frac{b}{2a} . \,\!$
Ако је дискриминанта негативна, нема реалних корена. Уместо њих постоје два различита (не реална) комплексна корена, који су комплексни конјугати један другог:

$\begin{align} x &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} , \\ x &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} , \\ i^2 &= -1. \end{align}$

Значи, корени су различити ако и само ако је дискриминанта различита од нуле, а реални су ако и само ако је дискриминанта ненегативна.

[уреди] Геометрија

За квадратну функцију: f (x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2) реалне променљиве x, the x-координате тачака где график додирује x-осу, x = −1 и x = 2, су корени квадратне једначине: x2 − x − 2 = 0.

За квадратну функцију:
f (x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) реалне променљиве x, the x-координате тачака где график додирује x-осу, x = −1 и x = 2, су корени квадратне једначине: x² − x − 2 = 0.

Корени квадратне једначине

$ax^2+bx+c=0,\,$

су такође нуле квадратне функције:

$f(x) = ax^2+bx+c,\,$

јер су то вредности x за које је

$f(x) = 0.\,$

Ако су a, b и c реални бројеви, и домен функције f је скуп реалних бројева, онда су нуле функције f тачно x-координате тачака где график функције додирује x-осу.

Из овога следи да ако је дискриминанта позитивна, график додирује x-осу у две тачке, ако је дискриминанта једнака нули, онда је додирује у једној тачки, а ако је негативна, онда график не додирује x-осу.

[уреди] Квадратна факторизација

Вредност

$x - r,\,$

дели полином

$ax^2+bx+c, \$

ако и само ако је r корен квадратне једначине

$ax^2+bx+c=0. \$

Из квадратне формуле следи да

$ax^2+bx+c = a \left( x - \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) \left( x - \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right). \$

У посебном случају када квадратна једначина нема два различита корена (то јест, када је дискриминанта једнака нули), квадратни полином се може фактористи као

$ax^2+bx+c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2.\,\!$

[уреди] Примена на једначине вишег реда

Одређене једначине вишег реда се могу лако решити помоћу квадратних једначина. На пример:

$2x^6 - 3x^3 + 5 = 0,\,$

се може записати као

$2u^2 - 3u + 5 = 0, \$

где је

$u = x^3 \$ .

Највећи експонент мора бити двоструко већи од експонента средњег сабирка. Ова једначина се може решити директно или коришћењем једноставне смене, помоћу метода за решавање квадратних једначина.

Уопштено говорећи, ако је полином квадратни за неку променљиву u где је

$u = x^n \,\;$

онда се квадратна једначина може користити за лакше проналажење решења.

[уреди] Историја

Вавилонци су већ 1800. пне. умели да реше пар симултаних једначина облика:

$x+y=p,\ \ xy=q \$

што је еквивалентно једначини:^[1]

$\ x^2+q=px$

Почетни пар једначина је решаван на следећи начин:

облик $\frac{x+y}{2}$
облик $\left(\frac{x+y}{2}\right)^2$
облик $\left(\frac{x+y}{2}\right)^2 - xy$
облик $\sqrt{\left(\frac{x+y}{2}\right)^2 - xy} = \frac{x-y}{2}$
Затим се нађе $x,\ y$ помоћу вредности из (1) и (4).^[2]

У списима Шулба султрас из старе Индије, око 8. века пне., квадратне једначине облика ax² = c и ax² + bx = c су испитиване коришћењем геометријских метода. Вавилонски математичари око 400. пне. и кинески математичари око 200. пне. су користили метод допуне до квадрата за решавање квадратних једначина са позитивним коренима, али нису имали општу формулу. Еуклид, грчки математичар је нашао апстрактнији геометријски метод око 300. пне.

628. године, Брамагупта је дао прво експлицитно (мада још увек не потпуно опште) решење квадратне једначине:

$\ ax^2+bx=c$

“

Апсолутном броју помноженим четири пута [коефицијентом] квадрата, додај квадрат [коефицијента] средњег члана; квадратни корен овога, мање [коефицијент] средњег члана подељен двоструким [коефицијентом] квадрата је вредност. (Brahmasphutasiddhanta (Colebrook translation, 1817, page 346)^[2]

”

Ово је еквивалентно са:

$x = \frac{\sqrt{4ac+b^2b}{2a}$ }-

Бакшали рукопис из Индије, датиран у 7. век је садржавао алгебарску формулу за решавање квадратних једначина. Мухамед Ал Хорезми (Персија, 9. век) је развио скуп формула које су радиле за позитивна решења. Абрахам бар Хија (познат и под латинским именом Савасорда) је у Европи увео комплетно решење у својој књизи Liber embadorum из 12. века. Баскара II (1114. – 1185.), индијски математичар и астроном, је дао прво опште решење квадратне једначине са два корена.^[3]

Списи кинеског математичара Јанг Хуија (1238. - 1298.) су први у којима се појављују квадратне једначине са негативним коефицијентима од 'x', мада он ово приписује Лиу Јиу.

[уреди] Напомене

^ Stillwell, John. 2004. Mathematics and its History. Berlin and New York: Springer-Verlag. 542 pages. p. 86
^ ^2,0 ^2,1 Stillwell, John. 2004. Mathematics and its History. Berlin and New York: Springer-Verlag. 542 pages. p. 87
^ http://www.bbc.co.uk/dna/h2g2/A2982567