Поиск

Инструменты

На других языках

Эллипс

Не следует путать с термином «Эллипсис».

Эллипс и его фокусы

Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух выделенных точек $F 1$ и $F 2$ (называемых фокусами) постоянна, то есть

| F 1 M | + | F 2 M | = 2 a .

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.

Содержание

1 Связанные определения
2 Свойства
3 Соотношения между элементами эллипса
4 Координатное представление
- 4.1 Уравнение эллипса в полярных координатах
5 Длина дуги эллипса
- 5.1 Приближённые формулы для периметра
6 Площадь эллипса
7 Ссылки
8 См. также

[править] Связанные определения

Отрезок, проходящий через фокусы эллипса, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна $2 a$ в вышеприведённом уравнении.
Отрезок, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
Концы осей эллипса называются его вершинами.
Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса.
Расстояние $c = | F 1 F 2 | / 2$ называется фокальным расстоянием, а отношение $e=\frac{c}{a}$ — эксцентриситетом. Эксцентриситет ( также обозначается ε ) характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: $k=\frac{b}{a}$ , где $b$ — малая полуось, $a$ — большая полуось. Величина, равная $(1-k)=\frac{a-b}{a}$ называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент и эксцентриситет эллипса связаны соотношением $k 2 = 1 - e 2$

[править] Свойства

Фокальное свойство. Если $F 1$ и $F 2$ — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой $(F 1 X)$ равен углу между этой касательной и прямой $(F 2 X)$ .
Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
Эволютой эллипса является астроида.

[править] Соотношения между элементами эллипса

Малая полуось: $b=\sqrt{a^2-c^2}$ ;
Расстояние от фокуса до ближней вершины: $r_p = a \cdot \left(1 - e \right)$ ;
Расстояние от фокуса до дальней вершины: $r_a = a \cdot \left(1 + e \right)$ ;
Связь фокального параметра с полуосями и фокусным расстоянием:
- $p=a \cdot \left(1 - e^2 \right)$ ;
- $p=b \cdot \sqrt{1 - e^2}$ ;
- $p = \frac{b^2}{a}$ ;
- $c = \frac{p \cdot e}{1 - e^2}$ ;
Связь фокального параметра с удалением вершин от данного фокуса:
- $r_p = \frac{p}{1+e}$ ;
- $r_a = \frac{p}{1-e}$ ;

[править] Координатное представление

Для любого эллипса можно найти Декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

при 0 < b ≤ a. В этом случае величины a и b — соответственно, большая и малая полуоси эллипса. Зная полуоси эллипса можно вычислить фокальное расстояние и эксцентриситет:

$|F_1F_2|=2\sqrt{a^2-b^2},\ e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}< 1.$

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

$\left\{\begin{matrix} x = a \cos \alpha~; \\ y = b \sin \alpha~, \end{matrix}\right.$

где $\alpha\,$ — параметр, изменяющийся от $0\,$ до $2\pi\,$ .

[править] Уравнение эллипса в полярных координатах

$\rho = \frac{p}{1-e \cdot \cos \phi}$

Вывод

Пусть r₁ и r₂ расстояния до данной точки эллипса из первого и второго фокусов. Пусть, также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол $φ$ отсчитывается от направления на второй полюс. Тогда, из определения эллипса,

r 1 + r 2 = 2 a

Отсюда,

$r_2^2=\left( 2a - r_1 \right)^2 = 4a^2 - 4ar_1 + r_1^2$ .

С другой стороны, из теоремы косинусов

$r_2^2 = r_1^2 + 4c^2 - 4r_1c \cos \phi$ .

Исключая $r 2$ из последних двух уравнений, получаем

$r_1 = \frac{a^2-c^2}{a-c \cos \phi}$

Учитывая, что

p = a (1 - e 2)

получаем искомое уравнение.

[править] Длина дуги эллипса

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

$l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{{x'(t)}^2+{y'(t)}^2} \,dt$

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:

$l = a \cdot \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt$

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллипическому интегралу второго рода $E \left(t,e \right)$ . В частности, периметр эллипса равен:

$l = 4a \cdot \int \limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt = 4aE(e)$ ,

где $E \left(e \right)$ — полный эллиптический интеграл второго рода.

[править] Приближённые формулы для периметра

YNOT: $L=4 \cdot \left(a^x+b^x\right)^\left(1/x\right)$ где $x=\frac{ln2}{ln(\frac{\pi}{2})}$ Максимальная погрешность этой формулы ~0.3619% при эксцентриситете эллипса ~0.979811 (соотношение осей ~1/5). Погрешность всегда положительная.

Очень приближенная формула $L = \pi \cdot \left( a + b \right)$

[править] Площадь эллипса

Площадь эллипса вычисляется по формуле

S = π a b

Где $a$ и $b$ полуоси эллипса.

[править] Ссылки

А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136с.
И. Бронштейн, Эллипс, Квант, № 9, 1970.
А. И. Маркушевич.Замечательные кривые «Популярные лекции по математике». Выпуск 04.

п·о·р Кривые на плоскости
Конические сечения	гипербола · парабола · эллипс · окружность
Лемнискаты	Бернулли · Бута (англ.) · Жероно · Овал Кассини
Спирали	Архимедова · (Ферма) · Гиперболическая · Жезл · Клотоида · Логарифмическая
Фрактальные	Коха · Леви · Минковского · Пеано
Порождённые катящейся окружностью	гипотрохоида · гипоциклоида · (дельтоида · астроида) · трохоида · циклоида · (брахистохрона) · эпитрохоида · (улитка Паскаля) · эпициклоида · (кардиоида · нефроида)
Прочие	Безье · верзьера Аньези · декартов лист · квадратриса · погони · (трактриса) · полукубическая парабола · постоянной ширины · роза · синусоида · строфоида · цепная линия · циссоида Диокла