Сумма ряда

Сумма ряда, или бесконе́чная су́мма, или ряд, — математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество слагаемых и подразумевающее значение их суммы, которое можно получить в предельном смысле. Если значение суммы (в предельном смысле) существует, то говорят, что ряд сходится. В противном случае говорят, что он расходится.

[править] Определение

Пусть $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ — последовательность чисел. Число $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$ называется $n$ -ой частичной суммой ряда $\sum_{i=1}^\infty a_i$ .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм $S n$ , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число $S=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i$ , то в этом случае пишут $\sum_{i=1}^{\infty}a_i=S$ .

[править] Необходимое условие сходимости ряда

Если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может сходится. Это условие можно переформулировать в достаточный признак расходимости ряда: Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

[править] Примеры

, где | q | < 1 — сумма геометрической прогрессии, в частности
- $\sum_{i=0}^\infin {1 \over 2^i} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + \ldots = 2$
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ .