Поиск

Инструменты

На других языках

Комплексное число

Компле́ксные чи́сла^[1] — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается $\mathbb{C}$ . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма $x + i y$ , где $x$ и $y$ — вещественные числа, $i$ — мнимая единица, то есть одно из чисел, удовлетворяющих уравнению $i 2 = - 1$ . Общепринятым произношением является компле́ксное число́, хотя произношение ко́мплексное число́ также встречается.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Стандартное
- 1.2 Матричное
2 Действия над комплексными числами
3 Связанные определения
4 Представление комплексных чисел
- 4.1 Алгебраическая форма
- 4.2 Тригонометрическая и показательная формы
  - 4.2.1 Геометрическое представление
  - 4.2.2 Формула Муавра
5 История
6 Функции комплексного переменного
7 Обобщения
8 Сноски
9 Ссылки

[править] Определения

[править] Стандартное

Формально, комплексное число $z$ — это упорядоченная пара вещественных чисел $(x, y)$ с введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения:

$(x , y) + (x' , y') = (x + x' , y + y') \,$
$(x , y) \cdot (x' , y') = (xx' - yy' , xy' + yx'). \,$

Мнимая единица в такой системе представляется парой $i=(0,1) \,$ . Поэтому ошибочно определение числа $i$ как единственного числа, удовлетворяющего уравнению $i 2 = - 1$ , так как число $( - i)$ также удовлетворяет этому уравнению. Следует также заметить, что выражение вида $i=\sqrt{-1}$ некорректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел.

[править] Матричное

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

$\begin{pmatrix} x & y \\ -y & \;\; x \end{pmatrix}$

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{pmatrix}$

, мнимой единице —

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \;\; 0 \end{pmatrix}$

все эти определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел $\R$ , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена x²+1

[править] Действия над комплексными числами

Сложение

$(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$
Вычитание

$(a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i$
Умножение

$(a + b i)(c + d i) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = (a c - b d) + (b c + a d) i$
Деление

$\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,$

[править] Связанные определения

Комплексная переменная обычно обозначается $z$ . Пусть $x$ и $y$ суть вещественные числа, такие, что $z = x + i y$ . Тогда

Числа или и или называются соответственно вещественной (Real) и мнимой (Imaginary) частями z.
- Если $x = 0$ , то $z$ называется мнимым или чисто мнимым.
Комплексное число $\bar z=x-iy$ называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к $z$ .
Число $|z| = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{z\bar z}$ называется модулем числа $z$
Угол такой, что и , называется аргументом z.
- Аргумент комплексного числа $z$ определяется с точностью до $2 k π$ , где $k$ - любое целое число.

[править] Представление комплексных чисел

[править] Алгебраическая форма

Запись комплексного числа $z$ в виде $x + i y$ , $x,y\in\R$ , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел может быть вычислена непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, с учётом тождества $i 2 = - 1$ .

[править] Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную $x$ и мнимую $y$ части комплексного числа выразить через модуль $r = | z |$ и аргумент $\varphi$ ( $x=r\cos\varphi$ , $y=r\sin\varphi$ ), то комплексное число $z$ можно записать в тригонометрической форме

$z=r(\cos\varphi+i \sin\varphi)$ .

Также может быть полезна следующая форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера

$z=re^{i\varphi}$ ,

где $e^{i\varphi}$ - расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

[править] Геометрическое представление

Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами $x$ и $y$ (или её радиус-вектор, что тоже самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки.

В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Отсюда, в частности, получается Формула Муавра.

[править] Формула Муавра

Формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

$z^n=[r(\cos \varphi +i\sin \varphi)]^n = r^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi)$ ,

где $r$ — модуль, а $\varphi$ — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 г.

Эта формула применима при вычислении корней n-ой степени из комплексного числа.

$z^{1/n}=[r(\cos (\varphi+2\pi k) +i\sin (\varphi+2\pi k))]^{1/n} =$
$= r^{1/n}\left(\cos \frac{\varphi+2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),$
$\quad k=0,1..n-1$

[править] История

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению.

Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида $a+b\sqrt{-1}$ , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием»^{[источник?]}.

Задача о выражении корней степени $n$ из данного числа была в основном решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ $i=\sqrt{-1}$ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (англ.), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году.

Геометрическое представление комплексных чисел, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы (Аргана (фр.)), повторявшей независимо выводы Весселя.

Арифметическая теория комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837). Ему же принадлежит обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.