Квадратное уравнение

Квадратное уравнение — уравнение вида $a x 2 + b x + c = 0,$ где $a \ne 0.$

Содержание

1 Уравнение с вещественными коэффициентами
2 Уравнение с комплексными коэффициентами
3 Теорема Виета
4 Разложение квадратного уравнения на множители
5 См. также
6 Ссылки

[править] Уравнение с вещественными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами $a,~b,~c$ может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта $D = b 2 - 4 a c :$

при $D > 0$ корней два, и они вычисляются по формуле

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a};$ (1)
при $D = 0$ корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях):

$x = \frac{-b}{2a};$
при $D < 0$ вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1), либо (без использования извлечения корня из отрицательного числа) формулой

$x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-b^2+4ac}}{2a}.$

[править] Другие записи решений

Вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2-ac}}a,$

где $k = b / 2.$ Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном $b$ , т. е. для уравнений вида $a x 2 + 2 k x + c = 0.$

Формула Д. Белецкого для нахождения корней квадратного уравнения:

$x_{1,2} = \frac{2c}{-b \mp \sqrt{b^2 - 4ac}}$

[править] Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение вида $x 2 + p x + q = 0,$ в котором старший коэффициент $a$ равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

$x_{1,2}= -\frac p2 \pm \sqrt{\left( \frac p2 \right)^2-q}.$

[править] Мнемонические правила

Из «Радионяни»:

«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.

Ну, а под корнем, приятель,
сводится всё к одному:
p пополам и в квадрате
Минус несчастное q.
Из «Радионяни» (другой вариант):

p, со знаком взяв обратным,
на два мы его разделим,
и от корня аккуратно
знаком «минус-плюс» отделим.

А под корнем очень кстати
половина p в квадрате
минус q — и вот решенья,
то есть корни уравненья.

[править] Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше ее вариантам, но различимыми является только два случая: нулевого дискриминанта (один корень) и ненулевого (два корня).

[править] Теорема Виета

Основная статья: Теорема Виета

Сумма корней приведённого квадратного уравнения $x 2 + p x + q = 0$ равна коэффициенту $p$ , взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену $q$ :

$x_1 + x_2 = -p, \qquad\qquad x_1x_2 = q.$