Билинейная интерполяция

В вычислительной математике билинейной интерполяцией называют расширение линейной интерполяции для функций в двух переменных. Ключевая идея заключается в том, чтобы провести обычную линейную интерполяцию с начала в одном направлении, затем в другом.

Четыре красные точки представляют собой известные значения функции. Значение в зеленой точке должно быть интерполировано.

Пример билинейной интерполяции в единичном квадрате. Значения вершин составляют 0, 1, 1 и 0.5. Интерполированные значения в каждой точке представлены цветом.

Допустим, что необходимо интерполировать значение функции f в точке P = (x, y). Для этого необходимо знать значения функций в (окружающих P) точках Q₁₁ = (x₁, y₁), Q₁₂ = (x₁, y₂), Q₂₁ = (x₂, y₁), и Q₂₂ = (x₂, y₂).

Первым шагом интерполируется (линейно) значение вспомогательных точек $R 1$ и $R 2$ вдоль оси абсцисс, где

R 1 = (x, y 1)

R 2 = (x, y 2)

$f(R_1) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21})$

$f(R_2) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22})$

Теперь проводится линейная интерполяция между вспомогательными точками $R 1$ и $R 2$ .

$f(P) \approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(R_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(R_2).$

Это и есть приблизительное значение фукнции в точке P, т.е. f(x, y).

$\begin{align} f(x,y) &\approx \frac{f(Q_{11})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y_2-y) \\ & + \frac{f(Q_{21})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y_2-y) \\ & + \frac{f(Q_{12})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y-y_1) \\ & + \frac{f(Q_{22})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y-y_1). \end{align}$

В особом случае, когда известные точки находятся на вершинах единичного квадрата, т.е. имеют координаты (0, 0), (0, 1), (1, 0), и (1, 1), формула билинейной интерполяции упрощается до

$f(x,y) \approx f(0,0) \, (1-x)(1-y) + f(1,0) \, x(1-y) + f(0,1) \, (1-x)y + f(1,1) xy.$

Или же с помощью умножения векторов с матрицей:

$f(x,y) \approx \begin{bmatrix} 1-x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(0,0) & f(0,1) \\ f(1,0) & f(1,1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-y \\ y \end{bmatrix}$

Обратите внимание: сам интерполянт нелинеен:

$(a_1 x + a_2)(a_3 y + a_4), \,$

т.к. является произведением двух линейных функций. Альтернативное написание:

$b_1 + b_2 x + b_3 y + b_4 x y \,$

где

$b_1 = f(0,0) \,$

$b_2 = f(1,0)-f(0,0) \,$

$b_3 = f(0,1)-f(0,0) \,$

$b_4 = f(0,0)-f(1,0)-f(0,1)+f(1,1) \,$ .

Результат билинейной интерполяции не зависит от порядка шагов. Возможно сначала интерполировать между известными точками вдоль оси ординат и затем, получив два вспомогательных значения, интерполировать между ними вдоль оси абсцисс. Результат будет тот же.

Очевидное расширение билинейной интерполяции на функции в трех переменных — трилинейная интерполяция.