Série harmónica (matemática)

Em matemática, uma série harmónica é uma série infinita

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots

Designa-se por harmónica devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver série harmónica).

Diverge, embora lentamente, para o infinito. A demonstração (feita originalmente na Idade Média por Nicole d'Oresme) faz-se tendo em conta que a série é termo a termo maior que ou igual à série

\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots
= \quad\ 1 +\ \frac{1}{2}\ +\ \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots

que claramente diverge. Inclusivé a soma dos primos recíprocos diverge para infinito (embora seja bem mais difícil de provar).

Contudo, as séries harmónicas alternadas convergem:

\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2.

Isto é uma consequência das Séries de Taylor do logaritmo natural.

Se se definir o n-ésimo número harmónico tal que

H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}

então Hn cresce tão rapidamente quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integral

\int_1^n {1 \over x}\, dx

cujo valor é ln(n).

Mais precisamente, se considerarmos o limite:

\lim_{n \to \infty} H_n - \ln(n) = \gamma

onde γ é a constante Euler-Mascheroni, pode ser provado que:

  1. O único Hn inteiro é H1.
  2. A diferença Hm - Hn onde m>n nunca é um inteiro.

Jeffrey Lagarias provou em 2001 que a hipótese de Riemann é equivalente a dizer:

\sigma(n)\le H_n + \ln(H_n)e^{H_n} \qquad \mbox{ para qualquer }n\in\mathbb{N}

em que σ(n) é a soma dos divisores positivos de n. (Ver An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volume 109 (2002), páginas 534-543.)

A série harmónica generalizada, ou série-p, é (qualquer uma) das séries

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}

para p um número real positivo. A série é convergente se p > 1 e divergente caso contrário. Quando p = 1, a série é harmónica. Se p > 1 então a soma das série é ζ(p), i.e., a função zeta de Riemann em ordem a p.

Este raciocínio pode-se estender ao teste de convergência das séries.

[editar] Ver também

Obtido em "http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_harm%C3%B3nica_(matem%C3%A1tica)"

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