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Série (matemática)

Nota: Se procura Séries de televisão, consulte Séries de televisão.

Em matemática, o conceito de série, ou ainda, série infinita, surgiu da tentativa de generalizar o conceito de soma para uma seqüência matemática infinita de termos. Esta generalização, longe de acontecer de forma impune, traz diversas dificuldades:

nem sempre é possível definir um valor resultante da soma para uma série;
não é possível em geral trocar a ordem dos termos da série;
algumas séries possuem soma infinita.

[editar] Um primeiro exemplo

Considere a dízima periódica que resulta da divisão de 1 por 3:

$\frac{1}{3}= 0,3333\ldots$

Esta dízima pode ser reinterpretada como a soma da série:

$0,3+0,03+0,003+0,0003+0,00003+\ldots\,$

E neste caso, dizemos que a soma desta série é $\frac{1}{3}$

[editar] Notação

Cauchy formaliza o estudo das séries.

Se forem $a_1, a_2, a_3,\ldots,a_n,\ldots\,$ os termos da seqüência que desejamos somar. A soma $S$ da série será:

$S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,$

No exemplo anterior, temos $a_n=3\cdot 10^{-n}$ , que forma uma progressão geométrica de razão $10 - 1$ .

Chamamos de soma parcial até o termo N, $S N$ a soma dos N primeiros termos de uma série:

$S_N=\sum_{n=1}^N a_n = a_1+a_2+\ldots+a_N$

[editar] Definição

Define-se a soma $S$ de uma série infinita, o limite das somas parciais quando este limite existe:

$S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N a_n =\lim_{N\to\infty}S_N$

Quando este limite existe, definímos ainda o resíduo de ordem n da série, pela seguinte série:

$R_N=\sum_{n=N+1}^{\infty}a_n$

Esta definição nos permite escrever:

$S=S_N+R_N\,$ para todo $N\ge 1$

A soma parcial pode, portanto, ser interpretada como uma aproximação para a soma da série, enquanto que o resíduo é o erro desta aproximação.

É claro que:

$\lim_{N\to\infty}R_N = \lim_{N\to\infty}(S-S_N)=S-S=0$

[editar] Aspectos históricos

Aquiles

A consideração de somas infinitas é um problema estreitamente ligado ao problema da passagem ao limite. A falta por longo período de conceitos adequados e de uma teoria razoável levou os matemáticos a numerosas especulações e paradoxos à respeito da natureza das séries infinitas, a exemplo do paradoxo de Zenão.

O paradoxo de Zenão segundo Aristóteles em Fisica VI, 239 b 9 ss consiste basicamente em decompor o movimento em um número infinito de partes. Pressupondo de que é impossível realizar infinitos movimentos em tempo finito, o deslocamento torna-se impossível. Os experimento mental tradicional propõe uma competição entre o herói Aquiles e uma tartaruga. A tartaruga parte com uma vantagem inicial. É impossível que Aquiles alcance a tartaruga, porque, quando Aquiles atinge a posição inicial da tartaruga (A), ela já avançou para o ponto (B). Quando Aquiles chega ao ponto B, a tartaruga já está em C e assim até o infinito.

O matemático e astrônomo Madhava foi o primeiro, no século XIV, a considerar tais séries. Seus trabalhos receberam continuidade por seus sucessores da escola de Kerala, região ao sul da Índia e foram registrados no livro Yuktibhasa. Madhava se dedica ao estudo das funções trigonométricas, propondo-lhe desenvolvimento em séries de Taylor e em séries trigonométrica. Ele utiliza esses conceitos para o cálculo de aproximações (notavelmente para estimar o valor numérico da constante $π$ ) e estabelece estimativas para o erro assumido. Também introduz os primeiros critérios de convergência.

No século XVII, James Gregory redescobre vários desses resultados, em especial o desenvolvimento de séries trigonométricas em séries de Taylor e sua série que permita calcular o valor numérico de $π$ . Em 1715, Brook Taylor, ao publicar a construção geral das séries que recebem seu nome, estabelece uma frutífera ligação da teoria de séries infinitas com o cálculo diferencial.

No século XVIII, Leonhard Euler estabelece numerosas relações sobre séries, calcula diversas somas notáveis e introduz o conceito de série hipergeométrica.

A teoria das séries infinitas se estabelece finalmente com o advento da análise matemática ao longo dos séculos XVIII e XIX com os trabalhos sobretudo de Augustin Louis Cauchy.

[editar] Classificação quanto à convergência

As seguintes classes se aplicam a series numéricas:

Série convergente: existe o limite $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ e é finito.
Série divergente: existe o limite $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ e é infinito.
Série oscilante: não existe o limite $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ .
Série absolutamente convergente: existe o limite $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ e é finito.
Série condicionalmente convergente: série convergente porém não é absolutamente convergente.

Obs.:

- Toda série absolutamente convergente é convergente.
- Os termos de uma série convergente formam uma seqüência dita somável.

[editar] Exemplos selecionados

[editar] Série geométrica

Ver artigo principal: Série geométrica

A série geométrica formada pelos termos de uma progressão geométrica:

$\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}$

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

$\sum_{n=1}^{N}r^{n} = \frac{r-r^{N+1}}{1-r} = \frac{r}{1-r}- \frac{r^{N+1}}{1-r}$

É facil ver que se $| r | < 1$ então esta série é convergente e sua soma é dada por:

$\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}$

ou, como é mais usual:

$\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}$

[editar] Série harmônica

Ver artigo principal: Série harmônica (matemática)

A série harmônica formada pelos termos de uma progressão harmônica:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$

Esta série é divergente, o que pode ser provado com a seguinte astúcia:

$\frac{1}{n}=\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n}dx > \int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx = \ln(n+1)-\ln(n)$

e substitua nas somas parciais:

$\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}>\sum_{n=1}^N\left(\ln(n+1)-\ln(n)\right)= \left(\ln(2)-\ln(1)\right)+ \left(\ln(3)-\ln(2)\right)+ \ldots+ \left(\ln(N+1)-\ln(N)\right)$

Simplificando os termos repetidos temos:

$\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}>\ln(N+1)\to\infty,~~N\to\infty$

[editar] Série alternada

Chama-se série alternada toda a série da forma:

$S=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n\, ~~a_n\ge 0$

Um exemplo de série alternada é:

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$ , que a despeito da série harmônica, converge.

Para verificar a convergência de séries alternadas, existe o teste da série alternada.

[editar] Série telescópica

Ver artigo principal: Série telescópica

Chame-se série telescópica toda série cujos termos $a_n\,$ possam ser escritos como: $a_n= b_{n}-b_{n+1}\,$ , onde $b n$ é outra progressão numérica.

Um exemplo de série telescópica é

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$

Observe que aqui $a_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=b_{n}-b_{n+1}$

É fácil ver que:

$S_N=\sum_{n=1}^N(b_{n+1}-b_n)=b_1-b_{N+1}$

e, portanto:

$\sum_{n=1}^\infty a_n$ é convergente se e somente se existe o limite $\lim_{n\to\infty}b_n$

[editar] Convergência de séries

Diversos são os teoremas para provar que determinada série numérica converge ou diverge, estes teoremas constumam ser chamados de testes, eis alguns exemplos:

[editar] Constantes definidas por séries

Algumas constantes matemáticas são mais freqüentemente definidas diretamente através de uma série, este é o caso de:

O número de Euler:

$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,$

A constante de Liouville, o primeiro número transcendente construído:

$\gamma=\sum_{n=1}^{\infty}10^{-n!}\,$

[editar] Rearranjo de termos

Sejam os termos $a_n\,$ de uma série. Definimos um rearranjo dos termos uma nova seqüência com os mesmos termos $a_{\sigma(n)}\,$ onde $\sigma(n)\,$ é uma permutação.

Pode-se mostrar que se uma série converge absolutamente, então pode-se rearranjar os termos sem alterar a soma.
Se uma série de números reais é condionalmente convergente mas não absolutamente convergente, então cada cada soma pré-fixada $S\,$ , existe um rearranjo de termos tal que a soma da série rearranjanda é $S\,$ .

[editar] Funções definidas por séries

Um procedimento bastante comum em análise matemática é o de definir funções atráves de séries. Veja o exemplo:

$\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}$

Se $x\,$ é um número real maior que $1\,$ então esta função está bem definida, o que pode ser mostrado pelo teste da integral (veja série harmônica). Um caso importante é $\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ .

Se $x\,$ é um número complexo, esta função é a famosa função zeta de Riemann a respeito da qual há um dos mais importantes problemas em aberto da matemática moderna.

Quanto os termos da série são potências, então a série é dita uma série de Taylor, por exemplo:

$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\,$

[editar] Séries duplas

Defíne-se como série dupla o limite duplo a seguir:

$\sum_{i,j=1}^{\infty}a_{ij}:=\lim_{N_i,N_j\to\infty}\sum_{i=1}^{N_i}\sum_{j=1}^{N_j}a_{ij}\,$

[editar] Exemplos de séries duplas

$\sum_{i,j=1}^{\infty}\frac{1}{2^i+3^j}\,$
A função elíptica de Weierstrass é definida pela série dupla:

$\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}.$

[editar] Série iteradas

Chama-se série iterada aquela cujos termos são outras séries:

$\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^\infty a_{ij}=\sum_{i=1}^{\infty}S_i,~~S_i=\sum_{j=1}^\infty a_{ij}\,$

[editar] Exemplos

$\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{2^i+3^j}\,$

Também podemos construir séries de somas finitas:

$\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{i}\frac{1}{2^i}=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{i}{2^i}\,$

[editar] Seqüência dos termos de uma série

Seja $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\,$ uma seqüência real ou complexa e $p\geq 1\,$ , dizemos que $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\,$ pertence ao espaço l^p se:

$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^p\,$ converge.

[editar] Generalizações em espaços normados

Seja $X\,$ um espaço normado, $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq X\,$ , definimos de forma análoga:

$S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N a_n$ , quando este limite existe.

A série é somável em norma se

$\sum_{n=1}^{\infty}\|a_n\|$ converge.

Nestes termos, $X\,$ é um espaço de Banach se e somente se todo série somável em norma for também convergente.

[editar] Exemplo

O espaço de Hilbert das funções quadrado-somável no intervalo $[0,1]\,$ , $L^2[0,1]\,$ munido de sua norma:

$\|f\|_{L^2}=\left(\int_{0}^{1}|f(t)|^2dt\right)^{1/2}$

é um dos espaços mais importantes da matemática aplicada à teoria do processamento de sinais analógicos. Neste espaço, todo elemento pode ser escrito como uma série de Fourier:

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i\pi n t}dt,~~c_n=\int_{0}^{1}f(t)e^{-i\pi n t}dt\,$

Considere o espaço de Banach das funções contínuas definidas no intervalo $K=[0,1]\,$ , munidas da norma do supremo. Convergência neste espaço equivale a convergência uniforme.

[editar] Referências

Ávila, Geraldo Severo de Souza. Introdução à análise matemática. 2^aedição. Sao Paulo: Edgard Blucher, 1999.

Bartle, Robert Gardner. The elements of real analysis. 2^aedição. New York: Wiley, 1976.

Rezende, Antonio. Curso de filosofia 5^aedição. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor / SEAF, 1992.

Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. 3^aedição. Auckland: Mcgraw-Hill, 1976.

Simmons, George F.. Cálculo com geometria analítica, vol 2. 1^aedição. São Paulo: McGraw-Hill Ltda, 1987.

Obtido em "http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_%28matem%C3%A1tica%29"

Categoria: Séries

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