Provas inválidas

Em matemática, uma prova inválida é uma sequência aparentemente lógica de afirmações que geram uma conclusão absurda. Como uma verdade não pode implicar uma falsidade, conclui-se que deve haver algum passo falso na prova.

A maioria dessas provas usa a divisão por zero e a raiz quadrada. Por exemplo, prova-se que 2 + 2 = 5 escrevendo-se (2 + 2 - 5) (2 - 2) = 0, reagrupando-se os termos como (2 + 2) (2 - 2) = 5 (2 - 2) e cancelando o termo (2-2). Ou prova-se que 1 = -1 escrevendo-se $(1) 2 = ( - 1) 2$ e cancelando o expoente.

Não deve ser confundido com o paradoxo, que, em sua maioria, são resultados válidos mas que vão contra a intuição.

[editar] Exemplos

[editar] Prova que -2 = 1

Vamos começar com uma equação bem simples.

Resolva a equação $\sqrt[3] {1-x} + \sqrt[3] {x-3} = 1\,$
Elevando ao cubo:

$(1-x) + 3 \sqrt[3]{1-x} \ \sqrt[3]{x-3} \ (\sqrt[3]{1-x} + \sqrt[3]{x-3}) + (x-3) = 1\,$

Substituindo a expressão entre parêntesis pelo valor da equação inicial:

$-2 + 3 \sqrt[3]{1-x} \ \sqrt[3]{x-3} = 1\,$

$\sqrt[3]{1-x} \ \sqrt[3]{x-3} = 1\,$

Elevando ao cubo essa nova relação:

$(1-x) (x-3) = 1\,$

$-x^2 + 4 x - 3 = 1\,$

$x^2 - 4 x + 4 = 0\,$

A solução desta equação é x = 2. Substituindo na equação original, chegamos a:

$\sqrt[3] {1-2} + \sqrt[3] {2-3} = 1\,$

Logo:

$(-1) + (-1) = 1\,$

Q.E.D.

[editar] Prova que x = y para todo x, y

Sejam x e y dois números quaisquer
Então vamos definir $a = x - y \ , \ b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,$
Vamos definir também $u = a \ , \ v = b - c\,$
Vamos calcular agora duas expressões em u e v: