Produto de Cauchy

Em matemática, o produto de Cauchy (em homenagem a Augustin Louis Cauchy) de duas seqüências estritamente formais (ainda que não necessariamente convergentes)

$\sum_{n=0}^\infty a_n,\qquad \sum_{n=0}^\infty b_n,$

no geral, de números reais ou complexos, define-se mediante uma convolução discreta. Sendo o produto de Cauchy:

$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n,\qquad\mathrm{donde}\ c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$

para n = 0, 1, 2, ...

"Formal" significa que as séries são manipuladas sem prestar atenção a aspectos de convergência. Não é preciso que as séries sejam convergentes. Veja por exemplo, séries de potência formais.

É de esperar, que por analogia com as somas finitas, no caso em que as duas séries forem convergentes, a soma da série infinita

$\sum_{n=0}^\infty c_n$

seja igual ao produto

$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)$

da mesma maneira em que este seria correto quando cada uma das duas somas que multiplicam-se possui um número finito de termos.

Em casos suficientemente bem comportados, cumpre-se com a expressão anterior. Mas—e este é um ponto importante—o produto de Cauchy de duas seqüências existe ainda no caso que uma ou ambas das séries infinitas correspondentes não forem convergentes.

[editar] Exemplos

[editar] Série finita

$x i = 0$ para todo $i > n$ y $y i = 0$ para todo $i > m$ . Neste caso o produto de Cauchy de $\sum x$ y $\sum y$ verifica-se é $(x_0+\cdots + x_n)(y_0+\dots+y_m)$ . Portanto, para séries finitas (que são somas finitas), a multiplicação de Cauchy é diretamente a multiplicação das séries.

[editar] Série infinita

Primeiro exemplo. Para alguma $a,b\in\mathbb{R}$ , seja $x_n = a^n/n!\,$ y $y_n = b^n/n!\,$ . Então

$C(x,y)(n) = \sum_{i=0}^n\frac{a^i}{i!}\frac{b^{n-i}}{(n-i)!} = \frac{(a+b)^n}{n!}$

por definição e a fórmula binomial. Dado que, formalmente, $\exp(a) = \sum x$ y $\exp(b) = \sum y$ , tem-se demonstrado que $\exp(a+b) = \sum C(x,y)$ . Como o limite do produto de Cauchy de duas séries absolutamente convergentes é igual ao produto dos limites dessas séries, tem-se demonstrado portanto, a fórmula $exp(a + b) = exp(a)exp(b)$ para todo $a,b\in\mathbb{R}$ .

Segundo exemplo. Seja $x (n) = 1$ para todo $n\in\mathbb{N}$ . Então $C (x, x)(n) = n + 1$ para todo $n\in\mathbb{N}$ portanto, o produto de Cauchy $\sum C(x,x) = (1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots)$ e não é convergente.