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Elipse

Nota: Se procura a figura de retórica, consulte Elipse (figura de estilo).

Uma elipse é a intersecção de uma superfície cónica com um plano que a corta numa curva fechada.

Em geometria, uma elipse é a secção de um cone atravessado obliquamente por um plano. Quando este plano é paralelo à base do cone obtém-se um círculo. A elipse tem dois eixos, que no caso do círculo são iguais. Fixando o comprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-se elipses cada vez mais próximas de um segmento de recta. A elipse é também a intersecção de uma superfície cilíndrica com um plano que a corta numa curva fechada.

Índice

[editar] Equações

Uma elipse e algumas de suas propriedades.

[editar] Coordenadas cartesianas

Algebricamente, uma elipse é a curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma

$A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0\,\!$

tal que $B^2 \le 4 AC$ , onde todos os coeficiente são reais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos (x,y) na elipse, existe. O caso $B^2 = 4 AC\,$ corresponde ao círculo.

Quando os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados a equação anterior torna a forma mais simples:

$\left(\frac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1$ ,

onde (h,k) é o centro da elipse, e a e b são os semi-eixos da elipse.

[editar] Coordenadas polares

Em coordenadas polares, existem duas formas principais de se descrever a elipse:

a) Com origem no centro da elipse: $r = \sqrt{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta}\,$

b) Com origem em um dos focos: $r = \frac {a (1 - e^2)} {1 + e \cos \theta}\,$ , sendo e a excentricidade.

Essa forma é muito conveniente para aplicações em mecânica celeste, neste caso o ângulo $\theta\,$ é chamado de anomalia verdadeira e é representado pela letra grega $\nu\,$ (nu ou ni)

[editar] Coordenadas paramétricas

$\left\{ \begin{matrix} x & = & a\cos t \\ y & = & b\sin t \end{matrix} \right.$

[editar] A elipse como lugar geométrico

A elipse pode ser construída usando-se dois pregos, um barbante e um lápis.

A elipse é o conjunto dos pontos P do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos F₁ e F₂ (focos) é constante. O teorema de Dandelin mostra que esta caracterização da elipse é equivalente à definição como secção cónica.

Ou seja, se dist(F₁, F₂) = 2c, então a elipse é o conjunto dos pontos P tais que dist(P, F₁) + dist(P, F₂) = 2a em que $a\ge c$ (no caso especial do círculo, os pontos F₁ e F₂ coincidem, no caso especial do segmento de reta, a = c).

A excentricidade da elipse é definida por $e = \frac{c}{a}$ .

Tem-se $0\le e<1$ (de novo, e = 0 apenas no caso do círculo, o caso e = 1 corresponderia ao segmento de reta, mas normalmente e = 1 corresponde a uma parábola). Se a for o semi-eixo maior e b o semi-eixo menor da elipse, então pelo teorema de Pitágoras vem

$e =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

Em geodésia e cartografia, é usado o conceito de achatamento (para se referir ao elipsóide de referência), definido por $f = (a - b)/a\,$ . Como este valor é sempre muito pequeno, ele costuma ser apresentado por seu inverso. Por exemplo, o achatamento do WGS 1984 é $\frac {1} {298.257 223 563}$ .

[editar] Área

A área interior de uma elipse é dada por $\pi ab\,\!$ , onde $π$ é a Constante de Arquimedes.

[editar] Propriedade reflectora da elipse

As linhas FM e F'M formam ângulos iguais com a tangente à elipse no ponto M.

A elipse tem a propriedade de que a bissectriz do ângulo formado pelos dois focos e por um ponto qualquer da elipse (como vértice) é perpendicular à tangente à elipse nesse ponto.

Como consequência, qualquer raio luminoso ou onda sonora, que parta de um dos focos, será reflectido pela elipse na direcção do outro foco.

[editar] Curiosidades

Segundo esta propriedade, numa mesa de bilhar elíptica, qualquer choque entre duas bolas, acontecido num foco, será refletido e fará carambola numa terceira bola estacionada no outro foco.

Num plano de três dimensões, esse é o princípio da sala de sussurro que existe em museus e exposições: duas pessoas estacionadas nos focos de um elipsóide podem conversar entre si em voz baixa sem serem ouvidas por nenhuma outra pessoa. No Capitólio dos Estados Unidos da América há uma sala elíptica onde a propriedade reflectora da elipse teria sido usada pelo presidente John Quincy Adams para escutar conversas que decorriam do outro lado da sala.

Outro fato curioso sobre as elipses é que, trabalhando com sua excentricidade (e=c/a), podemos obter tanto circunferências (casos de excentricidade nula e, portanto, com distância focal igual a zero) quanto segmentos de reta (casos de excentricidade igual a 1, ou seja, a distância focal coincide com o tamanho do eixo maior).

O acompanhamento por telescópio do reflexo da intensa luminosidade de uma supernova nos gases e poeira que se encontram sobre o elipsóide, cujos focos são a supernova e a Terra, tem permitido compreender melhor a estrutura do meio interestelar ^[1].

[editar] Primeira lei de Kepler

A primeira lei de Kepler afirma que a órbita dos planetas em redor do Sol é elíptica, estando o Sol num dos focos. Dos seis elementos orbitais necessários para descrever completamente a órbita do planeta dois são os parâmetros que definem a elipse.