Szukaj

narzędzia

W innych językach

Granica ciągu

Spis treści

Granica ciągu – wartość, dowolnie blisko której leżą prawie wszystkie (poza skończoną liczbą) wyrazy ciągu. Każda granica jest zarazem punktem skupienia, lecz nie na odwrót.

[edytuj] Definicja

Niech $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ będzie ciągiem liczb rzeczywistych (lub zespolonych). Wówczas, jeżeli istnieje taka liczba $g$ , że

$\forall_{\varepsilon >0}\; \exists_{n_0 \in \mathbb N}\; \forall_{n > n_0}\; |a_n - g| < \varepsilon$ ,

to nazywamy ją granicą ciągu $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ i oznaczamy $\lim_{n \to \infty}~a_n = g$ lub $a_n \xrightarrow{n \to \infty} g$ (nawet, gdy ciąg jest rozbieżny do $\pm\infty$ , zob. niżej).

[edytuj] Zbieżność

Jeżeli istnieje (skończona) granica ciągu liczbowego, to nazywamy go zbieżnym, a jego granicę właściwą, w przeciwnym wypadku ciąg nazywa się rozbieżnym.

Niektóre ciągi liczb rzeczywistych mają własność, iż ich wyrazy „skupiają się wokół punktu w nieskończoności”, tj. wraz ze wzrostem indeksów wyrazów ciągu, zwiększają się (albo zmniejszają) prawie wszystkie jego wartości. Mówimy wówczas, że ciąg taki jest zbieżny do granicy niewłaściwej. Formalnie, mówimy że ciąg $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ ma:

granicę niewłaściwą w $+\infty$ , gdy

$\forall_{M >0}\; \exists_{n_0 \in \mathbb N}\; \forall_{n > n_0}\; a_n > M$ ;

granicę niewłaściwą w $-\infty$ , gdy

$\forall_{M >0}\; \exists_{n_0 \in \mathbb N}\; \forall_{n > n_0}\; a_n < -M$ .

Jeśli ciąg liczb rzeczywistych ma granicę niewłaściwą, to jest nieograniczony. Istnieją jednakże ciągi nie mające granicy właściwej ani niewłaściwej. Mogą być tak ograniczone, np. ciąg $a n = ( - 1) n$ , jak i nieograniczone, np. $b n = n ( - 1) n$ .

Ciąg dany wzorem $c_n = (-1)^n+\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ ma dwa różne punkty skupienia, odpowiednio $- 1$ i $1$ , będące zarazem odpowiednio granicą górną oraz dolną, czyli największą i najmniejszą spośród wszystkich granic jego podciągów zbieżnych. Ciąg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego granice: górna i dolna są sobie równe.

[edytuj] Przykłady

Granicą ciągu danego wzorem $a_n = \tfrac{1}{n}$ , którego pierwsze wyrazy to $1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \dots$ , jest $0$ .

Wybrawszy dowolnie liczbę $\varepsilon$ łatwo wskazać taką liczbę $n 0$ , dla której wszystkie odwrotności liczb większych od $n 0$ będą się różnić od $0$ o mniej niż $\varepsilon$ .

Przykładowo jeżeli $\varepsilon = \tfrac{1}{10000}$ , to wystaczy wziąć $n 0 = 10000$ , wówczas $a_{10001} = \tfrac{1}{10001},\; a_{10002} = \tfrac{1}{10002}, \dots$ położone są od zera nie więcej niż $\tfrac{1}{10000}$ .
Granicą ciągu zdefiniowanego jako $b_n = \tfrac{n}{n+1}$ o wyrazach $\tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{3}{4}, \dots$ , jest $1$ .

Dla dowolnego $\varepsilon$ nietrudno wskazać taką liczbę $n 0$ , że wszystkie liczby postaci $\tfrac{n}{n+1}$ dla $n > n 0$ będą się różnić od 1 o mniej niż $\varepsilon$ .

Dla $\varepsilon = 0,001$ wystaczy wziąć $n 0 = 1000$ , a wyrazy o indeksach $1001, 1002, \dots$ (równe odpowiednio $\tfrac{1001}{1002}, \tfrac{1002}{1003}, \dots$ ) różnią się od jedynki o mniej niż $0,001$ .

[edytuj] Własności

Każdy liczbowy ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę. Warunek ten jest w istocie jedną z wersji aksjomatu ciągłości zbioru liczb rzeczywistych.
Jeśli ciągi (a_n),(b_n) są ciągami zbieżnymi i oraz , to wykonalne są działania:
- $\lim_{n \to \infty}~(a_n + b_n) = a + b$ ,
- $\lim_{n \to \infty}~(a_n - b_n) = a - b$ ,
- $\lim_{n \to \infty}~(a_n \cdot b_n) = a \cdot b$ ,
- $\lim_{n \to \infty}~\tfrac{a_n}{b_n} = \tfrac{a}{b}$ o ile $b \ne 0$ oraz $b_n \ne 0$ .

[edytuj] Uogólnienia

[edytuj] Przestrzenie metryczne

Powyższa definicja i własności przenoszą się niemal bez zmian na dowolne przestrzenie metryczne, a więc w szczególności przestrzenie unormowane. Niech $(X, d)$ będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że ciąg $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ elementów tej przestrzeni jest zbieżny do $g \in X$ , jeśli:

$\forall_{0 < \varepsilon \in \mathbb R}\; \exists_{n_0 \in \mathbb N}\; \forall_{n > n_0}\; d(a_n, g) < \varepsilon$ .

W szczególności, jeśli $(X, \|\cdot\|)$ jest przestrzenią unormowaną, to w powyższej definicji zastępujemy $d (a n, g)$ przez $\|a_n - g\|$ .

[edytuj] Przestrzenie topologiczne

Pojęcie granicy ciągu można rozszerzyć dalej na dowolne przestrzenie topologiczne.

Niech $(X,τ)$ będzie przestrzenią topologiczną. Mówimy, ciąg $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ elementów tej przestrzeni jest zbieżny do $x \in X$ , jeśli

$\forall_{U \in \tau}\; \left(x \in U \implies \exists_{n_0 \in \mathbb N}\; \forall_{n > n_0}\; x_n \in U\right)$

Uwaga: Jeżeli $X$ nie jest przestrzenią Hausdorffa, to ciąg elementów tej przestrzeni może być zbieżny do więcej niż jednego punktu. Zbiór tych punktów nazywamy wówczas granicą ciągu. W przypadku przestrzeni Hausdorffa, granicę utożsamiamy z punktem przestrzeni do którego zbieżny jest ciąg.

[edytuj] Ciągi uogólnione

Zobacz więcej w osobnym artykule: ciąg uogólniony.

Najszerszym uogólnieniem pojęcia ciągu jest ciąg uogólniony, definiowany jako odwzorowanie zbioru skierowanego dla którego również rozważa się pojęcia granicy i punktów skupienia.