Goniometrie

Goniometrische cirkel
Goniometrische cirkel
Sinus en cosinus op de eenheidscirkel R=1
Sinus en cosinus op de eenheidscirkel R=1

De goniometrie of trigonometrie (Grieks: γωνια, hoek en μετρειν, meten) is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met driehoeken en in het bijzonder de oorspronkelijk op driehoeken gebaseerde goniometrische functies zoals sinus (sin), cosinus (cos) en tangens (tan).

De goniometrie kent vele toepassingen, onder andere bij de driehoeksmeting.

Een goniometrische cirkel is een cirkel met als middelpunt de oorsprong van het assenstelsel en straal 1. De voerstraal naar een punt op de cirkel maakt een hoek α met de x-as. De sinus van deze hoek, sin(α), is gelijk aan de lengte van de overliggende rechthoekzijde en dus gelijk aan de y-coördinaat van het punt. De cosinus van de hoek, cos(α), is gelijk aan de lengte van de aanliggende rechthoekzijde en dus gelijk aan de x-coördinaat van het punt.

Met behulp van de cirkel worden de volgende relaties zichtbaar:

\sin(-\alpha) = - \sin(\alpha)\!
\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\!

De tangens van een hoek is gedefinieerd als de verhouding tussen overstaande en de aanliggende rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek en is dus:

\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

zodat:

\tan(-\alpha) = - \tan(\alpha)\!

Uit de stelling van Pythagoras volgt:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \!
De goniometrische eenheidscirkel
De goniometrische eenheidscirkel

In een rechthoekige driehoek kan men m.b.v. de volgende verhoudingen de zijden berekenen. Hierin zijn secans (sec), cosecans (csc) en cotangens (cot) de reciproke functies.


\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha}
\csc\alpha = \frac{1}{\sin\alpha}
\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{\tan\alpha}


Met de basisrelaties kan steeds een van de functies in een andere worden uitgedrukt (zij het slechts voor scherpe hoeken)


\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}
\sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{ \sqrt{1 + \tan^2 \alpha} }
\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}
\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha} }
\tan \alpha = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} }{\cos \alpha}
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} }

[bewerk] Verdere omrekenformules

De som -en verschilformules:

somregel
somregel


\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha\ \cos \beta - \cos \alpha\ \sin \beta
\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha\ \cos \beta + \cos \alpha\ \sin \beta
\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha\ \cos \beta + \sin \alpha\ \sin \beta
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha\ \cos \beta - \sin \alpha\ \sin \beta
\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}
\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}


Met α = β levert dat de volgende uitdrukkingen:


\sin (2 \alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \!
\cos (2 \alpha) = \cos^2 \alpha- \sin^2 \alpha \!
\cos (2 \alpha) = 2 \cos^2 \alpha\ - 1
\cos (2 \alpha) = 1 - 2 \sin^2 \alpha\
\tan (2 \alpha) = \frac{ 2 \tan \alpha\ }{ 1 - \tan^2 \alpha\ }


Voor het drievoud van een hoek volgt uit de somformules in combinatie met de formules voor de dubbele hoek het volgende:


\sin (3 \alpha) = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha \!
\cos (3 \alpha) = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha \!
\tan (3 \alpha) = \frac{3 \tan \alpha - \tan^3 \alpha}{1 - 3 \tan^2\alpha}


De regels van Simpson voor de som zijn:

\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos \frac{\alpha + \beta}{2}\cos \frac{\alpha - \beta}{2}
\cos\alpha - \cos\beta =-2\sin \frac{\alpha + \beta}{2}\sin \frac{\alpha - \beta}{2}
\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin \frac{\alpha + \beta}{2}\cos \frac{\alpha - \beta}{2}
\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos \frac{\alpha + \beta}{2}\sin \frac{\alpha - \beta}{2}


Verder geldt:

\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \cos \left( \alpha - \tfrac{1}{4}\pi \right)


Nodig bij integreren:


\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}
\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}
\sin\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2} \sin (\alpha - \beta) + \tfrac{1}{2} \sin (\alpha + \beta)
\sin\alpha\sin\beta = \tfrac{1}{2} \cos (\alpha - \beta) - \tfrac{1}{2} \cos (\alpha + \beta)
\cos\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2} \cos (\alpha - \beta) + \tfrac{1}{2} \cos (\alpha\ + \beta\ )
\sin^2\alpha \cos^2\alpha = \frac{1 - \cos(4\alpha)}{8}

[bewerk] Ezelsbruggetje

Zie Soscastoa voor het hoofdartikel over dit onderwerp.
  • SOS: sin = overstaande rechthoekzijde ÷ schuine zijde
  • CAS: cos = aanliggende rechthoekzijde ÷ schuine zijde
  • TOA: tan = overstaande rechthoekzijde ÷ aanliggende rechthoekzijde

[bewerk] Zie ook:


Wiskunde

wiskunde - algebra - lineaire algebra - meetkunde - goniometrie - rekenkunde - integraalrekening - getaltheorie - speltheorie - groepentheorie - verzamelingenleer - statistiek - kansrekening - topologie
 

wymiana linkami system wymiany linków SEO Tools tanie kredyty gotówkowe kreatyna Plaza 3 star hotel Los Angeles krynica noclegi Sejm Tyk