Geheel getal

Vaak gebruikt Symbool om de verzameling van de gehele getallen aan te geven
Vaak gebruikt Symbool om de verzameling van de gehele getallen aan te geven
Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

Een geheel getal is een natuurlijk getal {0, 1, 2, ...} of de negatieve vorm ervan {-1, -2, ...} (-0 is hetzelfde als 0, zodat die er dus niet weer bij wordt genomen).

De verzameling van de gehele getallen wordt voorgesteld door \mathbb{Z}, naar het Duitse woord Zahlen (getallen).

De verzameling is gesloten onder optellen, aftrekken en vermenigvuldigen: elke optelling, aftrekking of vermenigvuldiging van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal. De verzameling is niet gesloten voor deling: niet elke deling van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal op (bijvoorbeeld 1/2, zie Rationaal getal).

Formeel wiskundig kan men de gehele getallen karakteriseren als de kleinste verzameling \mathbb{Z} met de eigenschappen:

0 \in \mathbb{Z}
z \in \mathbb{Z} \implies z + 1 \in \mathbb{Z}
z \in \mathbb{Z} \implies z - 1 \in \mathbb{Z}

De elementen van \mathbb{Z} hebben een bepaalde volgorde, maar geen onder- of bovengrens. Strikter geformuleerd: de verzameling \mathbb{Z} wordt totaal geordend door de relatie < (kleiner dan) en bevat in die ordening zowel oneindig stijgende als oneindig dalende ketens.

... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ...

Deze orde heeft de eigenschappen:

  1. als a < b en c < d dan is a + c < b + d
  2. als a < b en 0 < c dan is ac < bc

Een belangrijke eigenschap van de gehele getallen is verder de reststelling:

Gegeven de gehele getallen a en b, met b verschillend van 0, dan kunnen we altijd twee unieke gehele getallen q en r vinden zodat:
a = bq + r
met 0 ≤ r < |b| (zie Absolute waarde).

In bovenstaande stelling noemen we q het quotiënt en r de rest van de deling van a door b.

Als in bovenstaande stelling r=0, is de breuk a/b=q, en dus geheel. Als r verschillend is van 0, is de breuk a/b een niet-geheel rationaal getal, met een geheel deel q (de cijfers voor de komma) en een gebroken of fractioneel deel r/b (de cijfers na de komma).

De verzameling \mathbb{Z} van de gehele getallen is gelijkmachtig met (heeft "evenveel" elementen als) de verzameling \mathbb{N} van natuurlijke getallen; beide zijn aftelbaar oneindig, (hebben \aleph_0 elementen). Men bewijst dit door de gehele getallen af te tellen in de volgorde: 0,-1,1,-2,2,-3,3, ..., of formeel-wiskundig:

de volgende functie f: \mathbb{Z} → \mathbb{Z} beeldt de natuurlijke getallen een-eenduidig (bijectief) af op de gehele getallen:
f(2n) = n en f(2n+1)= -(n+1)

Het gedeelte van de wiskunde dat zich bezig houdt met de gehele getallen heet getaltheorie.

 

system wymiany linków wymiana linkami system wymiany linków wymiana linkami tanie kredyty gotówkowe kreatyna Plaza 3 star hotel Los Angeles krynica noclegi Sejm Tyk