Discrete-tijd fouriertransformatie

De discrete-tijd fouriertransformatie (of DTFT) maakt deel uit van de familie van de fouriertransformaties. Hij transformeert een functie $f (n)$ van een discrete "tijds-" variabele n waarbij $n \in \mathbb{Z}$ . De DTFT produceert een continu, periodiek spectrum $F (e i ω)$ .

Inhoud

[bewerk] Definitie

De DTFT van $f (n)$ wordt gegeven door:

$F(e^{i \omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-in\omega}$

We kunnen $f (n)$ terugkrijgen via de inverse DTFT.

$f(n) =\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} F(e^{i \omega})\,e^{i n \omega} \, d \omega$

[bewerk] Periodiciteit van de DTFT

De DTFT is $2π$ periodiek, namelijk

$F(e^{i \omega}) \,\!= F(e^{i (\omega + 2\pi)})$

zoals hieronder wordt bewezen.

$F(e^{i (\omega + 2 \pi)}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-i n (\omega + 2\pi)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-i n \omega} e^{-i n 2\pi}$

Omdat $e^{i 2 \pi} = \,\!1$ (zie complex getal), is het bovenstaande gelijk aan

$\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-i n \omega} 1^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-i n \omega} = F(e^{i \omega})$

waarmee periodiciteit aangetoond is. We zien derhalve dat discreetheid in het ene domein leidt tot periodiciteit in het geconjungeerde domein.

[bewerk] Verschil tussen de DTFT en de DFT

De DTFT verschilt van de discrete fouriertransformatie (DFT) in het aspect dat de laatste een periodieke discrete-tijd functie $f (n)$ transformeert. Voor een tijdbegrensd signaal met tijdsduur $N$ gegeven door $f(n) : n \in \{0, 1, \ldots, N-1 \}$ , bemonstert in feite de DFT met uniforme tussen-intervallen de DTFT op de punten $k \in \{ 0, 1, \ldots, N-1 \}$ in het frequentie-domein.

$F(k) = \left. F(e^{i \omega}) \, \right|_{\omega = 2 \pi \frac{k}{N}} = \left. \sum_{n=0}^{N-1} f(n) \,e^{-i \omega n} \, \right|_{\omega = 2 \pi \frac{k}{N}} = \sum_{n=0}^{N-1} f(n) \,e^{-i 2 \pi \frac{k n}{N}}$

[bewerk] Relatie met de z-transformatie

De DTFT is een speciaal geval van de z-transformatie. De z-transformatie is als volgt gedefinieerd:

$F(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,z^{-n}$

Als we de z-getransformeerde berekenen voor $z = e i ω$ , dan verschijnt de DTFT. (Daarom wordt voor de DTFT de notatie $F (e i ω)$ geprefereerd boven de notatie $F (ω)$ .)

$\left. F(z) \right|_{z = e^{i \omega}} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-in\omega} = F(e^{i \omega})$

Merk op dat berekening van de DTFT voor $z = e i ω$ equivalent is met het berekenen van de z-getransformeerde op de eenheidscirkel in het complexe vlak.