検索

ツールボックス

特殊相対性理論

特殊相対性理論（とくしゅそうたいせいりろん、ドイツ語： Spezielle Relativitätstheorie）は、アルベルト・アインシュタインが1905年に発表した物理学の理論である。

光速度不変の原理（こうそくどふへんのげんり）と特殊相対性原理を基礎としたもので、「特殊相対論」とも呼ばれる。

この理論を提唱した最初の論文は Zur Elektrodynamik bewegter Körper （動いている物体の電気力学）で、1905年にドイツの学術誌・Annalen der Physik 第17巻 pp.891～921 に掲載された。

特殊相対性理論自体は、これを含めた数編の論文からなる。この理論を「特殊」と呼ぶのは、相対性理論で慣性系にのみ言及していることによる。

また、発表から10年後にアインシュタインは、一般座標系を含む理論である「一般相対性理論」を発表した。

[編集] 特殊相対性理論の誕生

20世紀初頭の物理学では、力学の理論的な帰結であるニュートン力学と、電磁気学の理論的な帰結であるマクスウェルの方程式が矛盾することが理論面での大きな問題となっていた。

特殊相対性理論的現象
1.電車内で人が走る 2.車外から見れば車内の人は電車の速度＋人が走る速度で移動することになる 3.電車内で光が生じる 4.車外から見ても光の速度は光速のままで電車の速度は加算されない

ニュートン力学によると、一定速度 V で動いている電車を座標系 R とし、地上を座標系 S とすると、電車の中で静止している人は、電車の中からみた人の速度 V_R は 0、地上からみた人の速度 V_Sは V で運動しているように見える。

すなわち、

$V_S = V_R + V \$

の関係が成り立つ。この関係をガリレイ変換とよぶ。

電車の中の座標系 R でも、地上の座標系 S でも、同じ力学の法則が成り立つことから、「ニュートン力学から導かれる力学の法則はガリレイ変換に対して不変である」（ガリレイ不変）ことが知られていた。

これに対しマクスウェルの方程式では、真空中の電磁波（光）の速度（光速）が、座標系の採り方によらず一定であることが示されていた。

上記の人の代わりに電磁波（光）を使うとすると、マクスウェルの方程式からは、真空中の乗り物の中からみた光の速度 V_R と、真空中の乗り物外部から見た光の速度 V_S は等しい。つまり、V_S = V_R でなければならない。

これをもとにヘンドリック・ローレンツは1900年に「マクスウェルの方程式から導かれる電磁気学の法則はローレンツ変換に対して不変である」（ローレンツ不変）ことを発見した。

力学の法則はガリレイ不変であるが、電磁気学の法則はローレンツ不変であるという矛盾に対し、数学者のアンリ・ポアンカレはローレンツ変換に対して不変とした力学の法則を提示した。

この力学では、光速に近い速度では物体の長さが減少するという「ローレンツ収縮」が導入されているなど、後の特殊相対性理論の萌芽的なものであったが、統一的な理論を創りあげるまでには至らなかった。

また当時、エーテルという仮想の物質が空間に充満しており、電磁波はエーテルを媒質にして空間を伝搬すると考えられていた。

しかし、エーテルに対する地球の相対速度を検出すべく1881年に行われたマイケルソン・モーリーの実験では、そのような相対速度は検出されなかった。

この結果は、地球が宇宙に対して絶対的に静止しているか、そもそも絶対静止空間という考え自体が間違っていることを意味していた。

このような背景のもと、アインシュタインは、次の二つの仮定（公理）のみをもとに思考実験によって新しい理論を考え出した。

力学法則はどの慣性系においても同じ形で成立する（相対性原理）。
真空中の光の速さは光源の運動状態に無関係に一定である（光速不変の原理）。

この仮定を満たすために、それまで暗黙のうちに一様で変化しないとみなされていた空間と時間が変化するという結論が導かれた。

「光の速度に近い、加速していない宇宙船から、光の速度が c に見えるようにするためには、どうすればよいか。」

アインシュタインの答えは、「宇宙船の時間が真空の星の上と同じように進むとすると、宇宙船からは光の速度がのろく見えてしまい、不自然である。宇宙船の中の時間の進み方が遅くなるとすれば、宇宙船の中から見ても光速度（距離÷時間）は変わらないだろう。」というものだった（静止していない慣性系での光速度不変についてはマイケルソン・モーリーの厳密な光速度測定において考えられていた）。

このように考えると、確かに、宇宙船からも光の速度が真空中の星の上と同じ c に見える。これが1905年にアインシュタインが提示した特殊相対性理論である。

しかし、このような考えはそれ以前の考え方とまったく相容れないので大論争を引き起こした。

[編集] 特殊相対性理論から導かれる帰結

相対性理論においては、観測者S系に対して速度vで動くS'系において（簡単のため動く方向はx軸方向とする）、 $\beta=\frac{v}{c}$ と $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$ という2つの量が相対論的効果の現れ方を示し、重要である（古典力学への近似v→0ではβ=0, γ=1である）。これらは双曲線関数を用い、 $β = tanhζ$ と表すこともある。また、相対性理論においては時間の概念と空間の概念は時空として一つにまとめられ、位置と時間はミンコフスキー空間内の反変ベクトルの1点として、まとめて世界点として表される。物体が時空に存在するとき、その運動はこの空間内の曲線として表される。このベクトルは次元を揃えて、 $(c t, x, y, z) = (x 0, x 1, x 2, x 3)$ とすると極めて見通しがよい。この時 $(x 0, x 1, x 2, x 3)$ と $(x' 0, x' 1, x' 2, x' 3)$ の内積は

x μ η μν x ν = - x 0 x' 0 + x 1 x' 1 + x 2 x' 2 + x 3 x' 3

として表される（アインシュタインの縮約記法を用い、計量は $\eta=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$ にとった）。慣習に従い、ラテン文字は i, j, k, ... = 1, 2, 3 、ギリシア文字は μ, ν, ρ, ... = 0, 1, 2, 3 の添え字を取るものとする。以下この記法を用いて記述する。

なお、記法には様々な流儀がある。代表的なものを挙げれば、ここでは時間成分を第0成分に取ったが、第4成分に取り

(x, y, z, c t) = (x 0, x 1, x 2, x 3, x 4)

と表す流儀、ここでは計量を(-1,1,1,1)に取ったが、(1,-1,-1,-1)と取る流儀などが存在する。また、相対論的電磁気学においてはウィキペディアのガイドラインに則りSI単位系に基づき記述したが、記述の簡潔さからCGS単位系を用いる教科書もある。

[編集] 相対性と光速度の不変

特殊相対論が力学の法則を再構成することにより、従来無条件に受け入れられていた基本的な概念が大きく様変わりする。

長さや時間は、もはや絶対的なものではなく、どのような慣性系から観察するかによって異なる、相対的なものとなる。

また、絶対静止空間の存在は否定される。この帰結によってマイケルソン・モーリーの実験においてエーテルに対する相対運動が検出されなかった結果をうまく説明することができる。

特殊相対論において不変な量は光速 c である。光の速度はどのような慣性系から観察しても同じ値を示す。また、質量を持った物体は光速を決して超えることができないことも示された。

[編集] ローレンツ変換

詳細はローレンツ変換を参照

S系における時空の位置を表すベクトル $(x 0, x 1, x 2, x 3)$ をS'系で見たとき $(x' 0, x' 1, x' 2, x' 3)$ であったとすると、これらを以下の式を用いて変換できる。

$x'^\mu={\Lambda^\mu}_\nu x^\nu$

$\Lambda=\begin{pmatrix} \gamma&-\gamma\beta&0&0\\ -\gamma\beta&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cosh\zeta&-\sinh\zeta&0&0\\ -\sinh\zeta&\cosh\zeta&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}$

なお、逆変換は以下のように表せる。

$x^\mu={(\Lambda^{-1})^\mu}_\nu x'^\nu$

$\Lambda^{-1}=\begin{pmatrix} \gamma&\gamma\beta&0&0\\ \gamma\beta&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cosh\zeta&\sinh\zeta&0&0\\ \sinh\zeta&\cosh\zeta&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}$

行列を用いず、(t,x,y,z)とvを用いて書き下すと、

$\begin{align} t'&=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\left(t-\frac{v}{c^2}x\right)\\ x'&=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(x-vt)\\ y'&=y\\ z'&=z \end{align}$

となる。参考としてガリレイ変換と対比させると

$\begin{align} t'&=t\\ x'&=x-vt\\ y'&=y\\ z'&=z \end{align}$

となり、速度が充分遅い場合（つまりγが充分1に近い場合）はガリレイ変換をローレンツ変換の近似として用いることができる。

この下では、以下のような常識的には奇妙なことが起こる。

同時刻の相対性（ある系において同時刻に起こった2つの現象が別の系では別時刻に起こること）
時間の遅れ（動いている時計は遅れること、ウラシマ効果ともいわれる）
ローレンツ収縮（動いている物の長さは縮むこと）

[編集] 同時刻の相対性

S系における位置ベクトル $x μ$ がS'系にどう変換されるかを考える。この時、 $x 0 = 0$ であるとすると、S系では $x μ$ が原点と同時刻であることになるが、

x' 0 = γ(x 0 - β x 1)

であることから、一般には $x'^0\neq0$ となり、S'系で見たときには原点とは同時刻でない。

この例から、相対性理論においては同時刻とはあくまで相対的なものであり、ある系において同時刻だからと言って別の系では必ずしも同時刻ではないことが分かる。ただし同時性が相対的なものであることが、因果律を犯すものでないことには注意されたい。互いに因果関係を及ぼしうる二つの事象の間での前後関係は、いかなる慣性系で観測しようと保たれる。

[編集] 時間の遅れ

詳細は時間の遅れを参照

S系で $x 1 = β x 0, x 2 = x 3 = 0$ の曲線で表される（つまりx軸方向に速度vで移動する）物体を考えることにする。この物体が静止してみえるS'系で $x' 0$ だけの時間が経過したとき、S系では

x 0 = γ(x' 0 + β x' 1) = γ x' 0

だけの時間が経過している。 $\gamma\le1$ であるため、物体の静止系で計った時間は常に遅れることが分かる。

[編集] ローレンツ収縮

詳細はローレンツ変換#ローレンツ＝フィッツジェラルド収縮を参照

S'系において静止している、 $(x' 1, x' 2, x' 3) = (0,0,0),(y' 1, y' 2, y' 3) = (l,0,0)$ の曲線で表される2点について、S系からの変換を記すと、

x' 1 = γ(x 1 - β x 0)

y' 1 = γ(y 1 - β y 0)

ここで、長さを計測するということは時空の中の時間成分が同じ2点（つまり同時刻の2点）を選んで、その長さを計測するということである。つまり、 $x 0 = y 0$ であるから、

x' 1 - y' 1 = γ(x 1 - y 1)

となり、静止系で見た長さの方が動いている系で見た長さより長くなる、つまり動く物体の長さは縮んで計測されるということが分かる。

[編集] 速度の合成

相対論においては、もはやニュートン力学のように単純に速度の合成を加法で表すことはできない。この項では下付添字の1をS1系、2をS2系、12をS1系からみたS2系の値とする。

同方向の合成であれば、ローレンツ変換を2回行うことにより、

$\begin{align}&\begin{pmatrix} \cosh\zeta_1&-\sinh\zeta_1&0&0\\ -\sinh\zeta_1&\cosh\zeta_1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh\zeta_{12}&-\sinh\zeta_{12}&0&0\\ -\sinh\zeta_{12}&\cosh\zeta_{12}&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \\=&\begin{pmatrix} \cosh(\zeta_1+\zeta_{12})&-\sinh(\zeta_1+\zeta_{12})&0&0\\ -\sinh(\zeta_1+\zeta_{12})&\cosh(\zeta_1+\zeta_{12})&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\end{align}$

から、双曲線関数の合成公式を用いると

$\beta_{2x}=\frac{\beta_{1x}+\beta_{12x}}{1+\beta_{1x}\beta_{12x}}$

が得られる。速度を用いて書き下すと

$v_{2x}=\frac{v_{1x}+v_{12x}}{1+\frac{v_{1x}v_{12x}}{c^2}}$

である。

時間もローレンツ変換を受けることにより、直交する方向の速度も変換を受ける。 $\beta_{2y}=\beta_{12y}\frac{d(ct_{12})}{d(ct_2)}$ であり、なおかつ $\frac{d(ct_2)}{d(ct_{12})}=\frac{d}{d(ct_{12})}\gamma_1(ct_{12}+\beta_1x_{12})=\gamma_1(1+\beta_1\beta_{12x})$ を満たすことから、

$\beta_{2y}=\frac{\beta_{12y}}{\gamma_1(1+\beta_1\beta_{12x})}$

が得られる。速度を用いて書き下すと

$v_{2y}=\sqrt{1-\frac{{v_1}^2}{c^2}}\frac{v_{12y}}{(1+\frac{v_1v_{12x}}{c^2})}$

これから、光速を越える速度はない仮定の下で、合成速度が光速となる必要十分条件はいずれか一方の速度が光速であることが分かる。

[編集] 光円錐と固有時

ここで、ローレンツ不変量である世界間隔と固有時という概念を導入する。ローレンツ変換は、ミンコフスキー空間における内積を用いて定義したノルム $s=\sqrt{x^\mu\eta_{\mu\nu}x^\nu}=\sqrt{-(x^0)^2+(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2}$ を不変に保つ。従って、物体の時空における存在を表現する曲線に沿った以下の積分、

$c\tau=i\int ds = \int\sqrt{(dx^0)^2-(dx^1)^2-(dx^2)^2-(dx^3)^2}$

を用いて世界間隔sと固有時τを定義すると、これはローレンツ不変量である（なお、固有時τは観測者にとっての時間tと $d t = γ d τ$ の関係式で結ばれることに注意されたい）。固有時は物体と共に移動する系（物体の静止系）において流れる時間である。

光円錐を表す図

ここで、経路として2つの世界点を結ぶ直線と（この直線は特に世界線とよばれる）、 $x 0 = x 1$ の四次元的回転体、つまり図における四次元空間内の「円錐」を考える（この円錐は光円錐とよばれる）。 $s 2 < 0$ である2点、つまり原点に対して図における円錐の内部は、時間的とよばれる。後に示すように、質量を持つ物質は光速以下でしか動けないため、この光円錐の内部でしか影響を及ぼし、かつ及ぼされることはない。 $s 2 = 0$ である2点、つまりつまり原点に対して図における円錐の表面は光的とよばれる。質量を持たない物質は光速でしか動けるため、この光円錐の表面まで影響を及ぼし、かつ及ぼされうる。光速以上の速度で移動する物質や情報がない限り、図における原点に影響を与えることができるのは図の光円錐の下部であり、原点が影響を与えうるのは光円錐の上部に限られる。 $s 2 > 0$ である2点、つまり原点に対して図における円錐の外部は空間的とよばれる。物質や情報の光速以上の移動が可能でない限り、空間的な2点は全くの無関係であり、互いに影響を及ぼすことも及ぼされることもない。

[編集] 相対論的物理学

特殊相対論においては、力学と電磁気学を含むすべての物理法則はローレンツ変換に対して不変であることが要請される。

ニュートン力学については、ガリレイ変換について不変でしかないので、ローレンツ変換を行うと式の形が変わってしまい、相対論の下では近似でしか成立しない。そこで、相対論的運動方程式の理論的導出においては、ニュートン力学に修正を加え、 $c\to\infty$ の極限でニュートンの運動方程式に一致させるようにパラメータを設定した。

一方、電磁気学のマクスウェル理論は不変の光速を導くこともあり、そもそもがローレンツ不変の法則となっている。従って、マクスウェル理論は全く修正を受けずにそのまま相対論においても通用するが、より相対論的な洗練した記法に書き換えることが可能である。この項ではそのような書き換えについても記述する。

相対論においては、異なる慣性系から見たときに物理量が変化を受けないのか（ローレンツ不変）、それとも位置や時間と同じような変換を受けるのかといった事項を考察することが非常に重要であり、ここに着目して記述することとする。

この項においては、注目する物体の速度 $\boldsymbol{v}=\frac{d\boldsymbol{x}}{dt}$ について $\beta=\frac{v}{c}, \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$ と定義する。

[編集] 相対論的運動方程式

ニュートンの運動方程式 $m\frac{dx_i}{dt}=F_i$ は左辺に $t=\frac{x^0}{c}$ での微分を含むため、ローレンツ変換に対して不変ではない。従って、ローレンツ変換を受ける時間の代わりに、固有時を用いて微分する。

四元速度を $u^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}$ （特に $u 0 = γ c$ である）、四元加速度を $a^\mu=\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}$ とすると、相対論的運動方程式は

$ma^\mu=m\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}=f^\mu$

と表せる。また、四元運動量 $p μ = m u μ$ を用いて、

$\frac{dp^\mu}{d\tau}=f^\mu$

と書くこともできる。この項の右辺は四元力とよばれる。相対論においても作用・反作用の法則の成立は仮定されるので、四元運動量は保存する。

実際には固有時を用いた計算は煩雑なので、観測者にとっての時間を用いて計算することが多い。即ち、 $d t = γ d τ$ を用いて

$\gamma\frac{dp^\mu}{dt}=f^\mu$

$p^\mu=m\gamma\frac{dx^\mu}{dt}$

である。

なお、四元速度・四元加速度・四元運動量は全て位置ベクトルにローレンツ不変量を乗じたり、ローレンツ不変量で微分したりしたものであるので、更にそれと等しい四元力も加え、これらはすべて反変ベクトルとなる。つまり、これらは位置ベクトルと同じ変換を受け、S系で見た位置xとS'系で見た位置x'が

$x'^\mu={\Lambda^\mu}_\nu x^\nu$

で結ばれれば、

$u'^\mu={\Lambda^\mu}_\nu u^\nu$

$a'^\mu={\Lambda^\mu}_\nu a^\nu$

$p'^\mu={\Lambda^\mu}_\nu p^\nu$

$f'^\mu={\Lambda^\mu}_\nu f^\nu$

もまた成立する。

[編集] 相対論的エネルギー

前項で得た四元速度のノルムの平方を考えると、 $u^\mu=\gamma\frac{dx^\mu}{dt}$ であることから、 $u μ η μν u ν = - (u 0) 2 + (u 1) 2 + (u 2) 2 + (u 3) 2 = - c 2$ 。これより、特に四元運動量について

p μ η μν p ν = - (p 0) 2 + (p 1) 2 + (p 2) 2 + (p 3) 2 = - (m c) 2

が得られる。これを固有時で微分することで、 $2p^\mu\eta_{\mu\nu}\frac{dp^\mu}{d\tau}=0$ となるが、成分ごとに書き下すと

f 0 p 0 = f 1 p 1 + f 2 p 2 + f 3 p 3

となる。 $p μ = m u μ$ および $v 0 = γ c$ に注意すると、

$\frac{dp^0}{d\tau}=f^0=\frac{1}{\gamma c}(f^1u^1+f^2u^2+f^3u^3)$

であるが、左辺は $p 0$ の固有時での増加率であり、右辺は $\frac{1}{\gamma}$ を相対論的効果による補正と解釈すると、仕事率をcで除したものと解釈される。従って、 $p 0$ はエネルギーをcで除したものと解釈するのが自然と考えられる。

事実、v≪cであるときはテイラー展開することにより、

$cp^0=m\gamma c^2\simeq mc^2+\frac{1}{2}mv^2$

が得られ、この第二項はニュートン力学でいう運動エネルギーになっている。また、質量欠損や核反応・対消滅から、質量を持つ物質は $m c 2$ のエネルギーを持つことが確かめられている。この第一項（γ=0であれば $c p 0$ そのもの）は静止エネルギーと呼ばれる。

ここで、光速で移動する有限のエネルギーを持った粒子を考える。この時、 $m γ c 2$ のγが無限大に発散してしまうので、m=0でなければならない。この逆も成立するため、質量を持たずに有限のエネルギーを持つ物質は常に光速で走り続けねばならず、また光速で移動するエネルギーを持つ物質はすべて質量が0であることが分かる。

[編集] 相対論的流束

$(\partial_0,\partial_1,\partial_2,\partial_3)=\left(\frac{\partial}{\partial x^0},\frac{\partial}{\partial x^1},\frac{\partial}{\partial x^2},\frac{\partial}{\partial x^3}\right)$

と微分作用素を定義すると、この微分作用素は共変ベクトルとして働く。つまり、つまり、S系で見た位置xとS'系で見た位置x'が

$x'^\mu={\Lambda^\mu}_\nu x^\nu$

で結ばれれば、S系の微分作用素∂とS'系の微分作用素∂'は

$\partial'_\mu=\eta_{\mu\nu}{\Lambda^\nu}_\rho\eta^{\sigma\rho}\partial_\nu$

で結ばれることになる。ここで

$\Lambda=\begin{pmatrix} \gamma&-\gamma\beta&0&0\\ -\gamma\beta&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}$

の時

$\eta\Lambda\eta= \begin{pmatrix} \gamma&\gamma\beta&0&0\\ \gamma\beta&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}=\Lambda^{-1}$

である。

「流れ」を表す量は四元ベクトルとして表すと見通しが良くなると考えられる。一般に量qに対して密度ρと流束密度jを定義すると、

$\rho=\frac{\partial^3q}{\partial x\partial y\partial z}$

$\boldsymbol{j}=\rho\boldsymbol{v}=\left(\frac{\partial^3}{\partial y\partial z\partial t},\frac{\partial^3}{\partial z\partial t\partial x},\frac{\partial^3}{\partial t\partial x\partial y}\right)q$

であるから、これらの次元を揃え、微分を $(\partial_0,\partial_1,\partial_2,\partial_3)$ を用いて表すと、

$(\rho c,j_x,j_y,j_z)=(\partial_1\partial_2\partial_3,\partial_2\partial_3\partial_0,\partial_3\partial_0\partial_1,\partial_0\partial_1\partial_2)cq$

となる。

更に微小体積要素 $d 4 x = d x 0 d x 1 d x 2 d x 3$ はローレンツ不変であるから $q=\int d^4x\frac{d\hat{\rho}}{d(c\tau)}$ とおくと、、qがローレンツ不変であれば $\hat{\rho}$ もローレンツ不変となり、

$(j^0,j^1,j^2,j^3)=(\rho c,j_x,j_y,j_z)=\hat{\rho}\left(\frac{dx^0}{d\tau},\frac{dx^1}{d\tau},\frac{dx^2}{d\tau},\frac{dx^3}{d\tau}\right)$

つまり、

$j^\mu=\hat{\rho}u^\mu$

という形で密度と流束密度を四元流束密度にまとめて表せる。これもまた反変ベクトルとなり、位置と同じ変換

$j'^\mu={\Lambda^\mu}_\nu j^\nu$

を受ける。なお、ここで $\hat{\rho}$ は流れが静止して見える系での密度であり、 $\rho=\gamma\hat{\rho}$ の関係式が成立する（γはローレンツ収縮による因子である）。

$\partial_\mu j^\mu=\frac{\partial(\rho c)}{\partial(ct)}+\frac{\partial j_x}{\partial x}+\frac{\partial j_y}{\partial y}+\frac{\partial j_z}{\partial z}=s$

とすると、sはソースとなる。特にqが保存量である場合、連続方程式

$\partial_\mu j^\mu=\frac{\partial(\rho c)}{\partial(ct)}+\frac{\partial j_x}{\partial x}+\frac{\partial j_y}{\partial y}+\frac{\partial j_z}{\partial z}=0$

が成立する。

[編集] 相対論的電磁気学

マクスウェル方程式には電荷密度1成分と電流密度3成分のソースが現れるが、これを前項の手法を用いて四元ベクトルとして扱う。また、とおくと、マクスウェル方程式と電磁ポテンシャルの定義式を変形することによって、

$\square A^\mu=\partial_\nu\eta^{\nu\rho}\partial_\rho A^\mu=-\mu_0j^\mu$

が得られる（電磁ポテンシャルはローレンスゲージ $\partial_\mu A^\mu=0$ を用いた）。ここで $A^\mu=\left(\frac{\phi}{c},A_x,A_y,A_z\right)$ 。ダランベルシアン $\square=\partial_\nu\eta^{\nu\rho}\partial_\rho=-\frac{\partial^2}{\partial(ct)^2}+\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ はローレンツ不変な微分作用素であるため、四元ポテンシャル $A μ$ もまた反変ベクトルとなり、位置ベクトルと同様の変換を受ける。

電場・磁場は合計6成分あるので、2階の反変交代テンソルとして得られる。 $A_\mu=\eta_{\mu\nu}A^\nu=\left(-\frac{\phi}{c},A_x,A_y,A_z\right)$ を用いて $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\nu$ とすると、電磁場テンソル $F μν = η μρ η νσ F ρσ$ は

$\begin{align} F&=\begin{pmatrix} 0& \frac{\partial(-\phi/c)}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial(ct)}& \frac{\partial(-\phi/c)}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial(ct)}& \frac{\partial(-\phi/c)}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial(ct)}\\ \frac{\partial A_x}{\partial(ct)}-\frac{\partial(-\phi/c)}{\partial x}& 0& \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}& \frac{\partial A_z}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial z}\\ \frac{\partial A_y}{\partial(ct)}-\frac{\partial(-\phi/c)}{\partial y}& \frac{\partial A_x}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial x}& 0& \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\\ \frac{\partial A_z}{\partial(ct)}-\frac{\partial(-\phi/c)}{\partial z}& \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}& \frac{\partial A_y}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial y}& 0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0&E_x/c&E_y/c&E_z/c\\ -E_x/c&0&B_z&-B_y\\ -E_y/c&-B_z&0&B_x\\ -E_z/c&B_y&-B_x&0\end{pmatrix} \end{align}$

と表すことができる。

マクスウェル方程式を変形することにより、ポテンシャルを経ずとも直接に電磁場テンソルが従うべき方程式を求めることもでき、

$\begin{align}\partial_\nu F^{\mu\nu}&=\left\{\begin{matrix} \boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\boldsymbol{E}}{c}&(\mu=0)\\ -\frac{\partial}{\partial(ct)}\frac{E_i}{c}+(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{B})_i&(\mu=i) \end{matrix}\right\}\\&=\mu_0(\rho c,j_x,j_y,j_z)^\mu&=\mu_0j^\mu\end{align}$

$\partial_\mu F^{\nu\rho}+\partial_\nu F^{\rho\mu}+\partial_\rho F^{\mu\nu}=0$

が得られる。4階完全交代テンソル ${\epsilon^{\mu\nu}}_{\rho\sigma}$ を用いて $*F^{\mu\nu}=\frac{1}{2}{\epsilon^{\mu\nu}}_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}$ とすると、

$*F=\begin{pmatrix} 0&B_x&B_y&B_z\\ -B_x&0&-E_z/c&E_y/c\\ -B_y&E_z/c&0&-E_x/c\\ -B_z&-E_y/c&E_x/c&0\end{pmatrix}$

であり、第二式は

$\partial_\nu*F^{\mu\nu}=\left\{\begin{matrix} \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{B}&(\mu=0)\\ \frac{\partial}{\partial(ct)}B_i+\left(\boldsymbol{\nabla}\times\frac{\boldsymbol{E}}{c}\right)_i&(\mu=i) \end{matrix}\right\}=0$

と書ける。第一式がソースのあるマクスウェル方程式（ガウスの法則、アンペール・マクスウェルの法則）、第二式がソースのないマクスウェル方程式（磁荷の非存在、ファラデーの法則）をまとめたものである。このうち本質的なものは第一式であり、第二式は電磁場テンソルがポテンシャルを用いて $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\nu$ と記述できる（つまり積分可能である）ことと同値である。この第二式を指して特にビアンキの恒等式という。

この電磁場テンソルはやはり位置が $x'^\mu={\Lambda^\mu}_\nu x^\nu$ と変換されるならば、

$F'^{\mu\nu}={\Lambda^\mu}_\rho{\Lambda^\nu}_\sigma F^{\rho\sigma}$

と変換される。

これを用いることにより、ローレンツ力密度は

$f^\mu=\frac{dp^\mu}{d\tau}=F^{\mu\nu}\eta_{\nu\rho}j^\rho=\begin{cases}\boldsymbol{j}\cdot\frac{\boldsymbol{E}}{c}&(\mu=0)\\\rho\frac{E_i}{c}+(\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B})_i&(\mu=i)\end{cases}$

と、極めて見通しよく表される。

[編集] エネルギー・運動量テンソル

自由な物体の四元運動量密度は、静止系での密度を $\hat{\rho}$ とすると、 $\hat{\rho}u^\mu$ とおける。これを新たな「量」と考えることにして、物体の移動に伴うこの量の四元流束密度を考えると、

$T^{\mu\nu}=\hat{\rho}u^\mu u^\nu$

となる。これはエネルギー・運動量テンソルと呼ばれ、一般相対論において極めて重要な役割を果たす。表すものは(0,0)成分がエネルギー密度、(0,i)成分が運動量密度、(j,0)成分がエネルギーの流束密度、(i,j)成分が運動量の流束密度である。定義から明らかに分かるようにこれは2階反変対称テンソルであり、 $x'^\mu={\Lambda^\mu}_\nu x^\nu$ と変換されるならば、

$T'^{\mu\nu}={\Lambda^\mu}_\rho{\Lambda^\nu}_\sigma T^{\rho\sigma}$

と変換される。

エネルギー・運動量は保存されることが要請されるので、ソースは0となり、

$\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$

が常に成立する。

一方、電磁場はローレンツ力を及ぼすことができるため、力学的エネルギー・運動量テンソルだけではなく電磁気学的エネルギー・運動量テンソルも考慮に入れ、この和が保存されねばならないこととなる。

$T^{\mu\nu}=\epsilon_0\left(F^{\mu\rho}\eta_{\rho\sigma}F^{\sigma\nu}+\frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F^{\kappa\lambda}\eta_{\kappa\rho}\eta_{\lambda\sigma}F^{\rho\sigma}\right)$

と電磁場のエネルギー・運動量テンソルを定義すると、先に挙げた二本のマクスウェル方程式を用いることで、電磁場から電荷を持つ力学的物体へのエネルギー・運動量の輸送を表す式、

$\partial_\mu T^{\mu\nu}=j^\mu\eta_{\mu\rho}F^{\rho\nu}=f^\nu$

が示される。これも同様に対称テンソルであり、力学的エネルギー・運動量テンソルと同様の変換を受ける。このテンソルを行列表示すると、

$T= \frac{1}{\mu_0}\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\left[\left(\frac{E}{c}\right)^2+B^2\right]&\frac{\boldsymbol{E}}{c}\times\boldsymbol{B}\\ {}^t\left(\frac{\boldsymbol{E}}{c}\times\boldsymbol{B}\right)&\frac{1}{2}\left[\left(\frac{E}{c}\right)^2+B^2\right]-\left(\frac{\boldsymbol{E}}{c}\otimes\frac{\boldsymbol{E}}{c}+\boldsymbol{B}\otimes\boldsymbol{B}\right) \end{pmatrix}$

となる。

[編集] 相対論的波動

一般の波動を取り扱うのは煩雑なので、場を媒質として光速で伝播する波動についてのみ述べる。

光速で伝播する波動はローレンツ不変な微分演算子ダランベルシアンを用いて、

$\square \xi=\left[-\frac{\partial^2}{\partial(ct)^2}+\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right]\xi=0$

の波動方程式を満たすものとして表せる。相対論的電磁気学の議論から直ちに、真空中では

$\square A^\mu=0$

$\square F^{\mu\nu}=0$

が成立し、四元ポテンシャルや電磁場が波動として光速で伝播することが分かる。

波の変位の大きさがどの系で観測しても同じであることから、波数kと角振動数ωについて、

$\omega t-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}=-\frac{\omega}{c}ct+k_xx+k_yy+k_zz=k^\mu\eta_{\mu\nu}x^\nu$

がローレンツ不変量でなければならない。ここで、四元波数

$(k^0,k^1,k^2,k^3)=\left(\frac{\omega}{c},k_x,k_y,k_z\right)$

を導入した。この四元波数もまた反変ベクトルとなり、位置ベクトルと同じ変換を受ける。

ソースが運動している場合、非相対論と同様にドップラー効果が生じる。ソースが観測者の方向に移動している場合、四元波数がローレンツ変換に従うことから $k' 0 = γ(k 0 + β k 1) = k 0 γ(1 + β)$ であり（波動が光速で伝播することから $k 0 = c ω = k 1$ を用いた）、従って

$\omega'=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\omega$

が成立する。この式は波源が動いているか観測者が動いているかに依らないことに注意されたい（音波の場合は媒質の静止系という特別な系があるため一般に波源と観測者は対称でない）。ソースが観測者と直交する方向に移動している場合、ソースはそれ自身の固有時で振動するので、

$\omega'=\frac{\omega}{\gamma}=\omega\sqrt{1-\beta^2}$

が成立する。このように、相対論では、非相対論では関与しなかった観測者と直交する向きの移動についてもドップラー効果が現れる。これは横ドップラー効果とよばれる。

[編集] 相対論的解析力学

相対論的作用はローレンツ不変であることが要請されるので、電磁場中の荷電粒子（電荷e）の作用は

$\begin{align} S&=-\int d\tau \left(mc^2-eu^\mu A_\mu\right)\\ &=-\int d\tau \left(mc\sqrt{u^\mu\eta_{\mu\nu}u^\nu}-eu^\mu A_\mu\right) \end{align}$

と表すことができる。ここで荷電粒子のラグランジアンを $\tilde{L}$ とすると、相対論的ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式は

$\tilde{L}=-mc\sqrt{u^\mu\eta_{\mu\nu}u^\nu}+eu^\mu A_\mu$

$\frac{d}{d\tau}\frac{\partial\tilde{L}}{\partial u^\mu}-\frac{\partial\tilde{L}}{\partial x^\mu}=0$

となり、これを計算すると先に得た電磁場中の運動方程式

$m\frac{du^\lambda}{d\tau}=e\eta^{\lambda\mu}\left(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\right)u^\nu$

を得ることができる。このラグランジアンもまた当然ローレンツ不変である。

作用積分の積分変数をτからtに置換すると、ローレンツ共変ではないラグランジアン

$L=-\frac{mc^2}{\gamma}+e(-\phi+\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A})$

が得られる。これが従うオイラー・ラグランジュ方程式は

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v_i}-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0$

である。

このラグランジアンから正準運動量が得られ、

$P_i=\frac{\partial L}{\partial v_i}=m\gamma v_i+eA_i=p_i+eA_i$

となる。ハミルトニアンは

$H=\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{v}-L=c\sqrt{(\boldsymbol{P}-e\boldsymbol{A})^2+(mc)^2}+e\phi$

となり、これは正準方程式

$\frac{dx_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i},\,\frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial x_i}$

を満たす。

一方、電磁場もまた解析力学的な形式で考察することが可能である。場に対する「作用」をラグランジアン密度を用いて

$S=\int d^4x\mathcal{L}$

とおくと、こちらのラグランジアン密度はローレンツ不変になる。 $\partial_\mu\phi^\nu={\phi^\nu}_{,\mu}$ と表すことにして、この場の強さ $φ μ$ とその微分 ${\phi^\mu}_{,\nu}$ を用いて表したこのオイラー・ラグランジュ方程式は

$\partial_\nu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial{\phi^\mu}_{,\nu}}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi^\mu}=0$

となる。電磁場のラグランジアン密度は

$\begin{align} \mathcal{L}&=-\frac{1}{4\mu_0}\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}(A_{\nu,\mu}-A_{\mu,\nu})(A_{\sigma,\rho}-A_{\rho,\sigma})+j^\mu A_\mu\\ &=-\frac{1}{4\mu_0}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+j^\mu A_\nu\\ &=\frac{1}{2\mu_0}\left[\left(\frac{E}{c}\right)^2-B^2\right]-\rho\phi+\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{A} \end{align}$

で表され、先の $φ μ$ を $A μ$ としてオイラー・ラグランジュ方程式を整理するとマクスウェル方程式

$\partial_\rho\eta^{\nu\rho}(A_{\nu,\mu}-A_{\mu,\nu})=\mu_0j^\mu$

が得られる（ビアンキの恒等式は先に述べたように電磁場テンソルが積分可能なことから導出される）。

[編集] 相対論的質量

特殊相対性理論を解釈する上で、相対論的質量というものを導入する場合がある。質量 m の物体が、速度 v で運動している場合、

$m_r=\cfrac{m}{\sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2} }}$

で表される相対論的質量 m_r を持つというものである。

たしかに、相対論的速度域での物体の運動は、質量が増大したかの様になるが、単純に質量 m_r の物体である様に扱えるわけではない。

相対論的質量は誤解をまねきやすい概念なので使わない方が望ましく、（一般相対性理論も含めて）相対論では、物体の質量は座標系によらない不変量と考えればよい。

ニュートン力学の運動方程式によれば、質量 m の物体に力 F を加えると、

$\mathbf{a} = \frac{\mathbf{F}}{m}$

で表される加速度 a が生じる（F、a はベクトルである）。

しかし、この運動方程式は、ローレンツ変換に対して共変ではないので相対論的速度で運動する物体に対しては適用できない。

特殊相対性理論の運動方程式によれば、質量 m で、速度 v で運動している物体に力 F を加えると、

$\mathbf{a} = \cfrac {\mathbf{F} \; - \; \left(\mathbf{F}\cdot\cfrac{\mathbf{v}}{c}\right)\cfrac{\mathbf{v}}{c}} {\cfrac{m}{\sqrt{1-\cfrac{|\mathbf{v}|^2}{c^2}}}}$

で表される加速度 a が生じる（v、F、a はベクトルである）。

特殊相対性理論の運動方程式からは、次のことが言える。

ニュートン力学と違い、力 F と加速度 a の方向は（特殊な場合を除き）一致しない。
したがって、ニュートン力学の様に $\frac{\mathbf{F}}{\mathbf{a}}$ で慣性質量を定義できない。

とはいえ、相対論的速度で運動する物体が、速度が増加するにしたがって加速されにくくなるのは事実である。

この加速されにくさを、よく言われているように質量増大で表すと次の様になる。

速度 v と力 F が垂直の場合、運動速度が光速の 90% になると質量は静止時の約2.3倍に、光速の 99% では静止時の約7.1倍になる。

速度 v と力 F が平行の場合、運動速度が光速の 90% になると質量は静止時の約12.1倍に、光速の 99% では静止時の約356倍になる。

力の加わる方向により質量が異なることから、古くはこれらのことを「横質量」、「縦質量」と呼んでいたこともある。

速度が増加するにしたがって加速されにくくなる効果は実際に観測されている。

荷電粒子を高速に加速する粒子加速器であるサイクロトロンは、加速粒子の速度が相対論的速度に達するとそれ以上加速を続けることが出来なくなる。これは、見かけの慣性質量が増えたことにより磁場中での粒子の曲がり方が鈍くなるためであると解釈できる。

一般相対性理論においてもほぼ同様で、相対論的速度域での物体の運動は、慣性質量と重力質量が増大したかの様になるが、単純に質量 m_r の物体であるように扱えるわけではない。

相対論的質量の考え方は、一般相対性理論における等価原理とは相容れないものである。現在の標準的解釈では相対論的質量の考え方を用いることは一般的ではなくなっている。

[編集] 相対論における「光速」

これまでなしてきた議論から分かるように、相対論においては「位置と時刻」「運動量とエネルギー」「密度と流束密度」「スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャル」「角振動数と波数」のように、組になって四元ベクトルとして表現される物理量が多々ある（四元ベクトルに限らなければ「電場と磁場」も組にして表現される）。このように、相対論においては光速は単に「光の速さ」としての意味に留まらず、このような四元ベクトルの時間成分と空間成分の次元を合わせるための定数と考えることができる。つまり、これらのペアになった物理量は本質的に同じ次元として捉えるべきであり、同じ次元として捉えた際の単位間の換算に用いる定数が光速であると捉えられる。

このため、光速は相対論的議論におけるあらゆる場面で時間成分に登場し、しばしば煩雑になりがちである。素粒子物理学ではそのため、c=1とする自然単位系を用いる。これは喩えるならば、従来まではx方向・y方向はSI単位系で、z方向は尺貫法で計測していたのをすべてSI単位系で統一して計測するようなものであり、相対論的記述をする上においては極めて合理的である。

[編集] 特殊相対性理論の幾何

特殊相対性理論ではある事象を記述するために、空間における位置を表す3つの座標と時間を表す1つの座標からなる 3+1 次元の4元ベクトル (x, y, z, ct) を用いる。この4元ベクトルにおける座標は観測者の属する座標系によって変わってくる。

慣性系 $S (x, y, z, c t)$ と、S に対して x 方向に速度 v で等速直線運動をしている慣性系 $S'(x', y', z', c t')$ を考える。S と $S'$ は座標原点は一致しているとする。

ここでは、y, z 方向については考慮する必要が無い。簡単にするため、これらを無視して慣性系 $S (x, c t)$ と慣性系 $S'(x', c t')$ として考える。

特殊相対論以前の考え方は、 $S$ と $S'$ の間は以下に示す「ガリレイ変換」と呼ばれる1次変換によって結び付けられるというものであった。

$\begin{pmatrix} x' \\ ct' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -v/c \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ ct \end{pmatrix}$

さて、S と $S'$ は共に慣性系であり、お互いに対して等速直線運動をしているので、S に対して等速直線運動をしているものは $S'$ に対しても等速直線運動をしている。

したがって、特殊相対論の元でも( x, ct) と $(x', c t')$ との間は1次変換で変換されなければならない。

ただし、光速度不変の原理と特殊相対性原理を導入することにより、特殊相対論ではガリレイ変換とは異なるローレンツ変換とよばれる1次変換式が得られる。

まず、以下の式を満たす $s$ , $s'$ を導入する。

s 2 = c 2 t 2 - x 2

(s') 2 = c 2 (t') 2 - (x') 2

$s = 0$ , $s' = 0$ のとき、上式は座標原点から発した光の波面をあらわす。

ここで、光速度不変の原理により、座標原点から発した光の波面はどの慣性系でも等しくなるため、 $s 2 = 0$ が成り立てば $(s') 2 = 0$ であり、その逆も成り立つ。

これによって、 $s 2 = k (s') 2$ （k は比例定数、ここでは空間と時間は均質であると仮定している）が成り立つ。

特殊相対性原理によると、「いかなる慣性系においても物理法則は不変である」ため、上記において慣性系 $S$ と慣性系 $S'$ を入れ替えても同じ議論が成立する。

このため、逆の $(s') 2 = k s 2$ も同様に成り立つ必要がある。したがって k = 1 となり（v = 0 のときも、この等式が成り立つため、k = -1 とはならない）、以下の等式が得られる。

c 2 t 2 - x 2 = c 2 (t') 2 - (x') 2

ここまでの議論を拡張することで、いかなる慣性系においても、

s 2 = c 2 t 2 - x 2 - y 2 - z 2

が不変となるという結果が得られる。ここで $τ 2 = - s 2$ としたとき、 $τ$ を固有時と呼ぶ。

以上をもとに簡単な計算により、(x,ct) と (x',ct') を結びつける1次変換として以下に示すローレンツ変換が導かれる（4元ベクトルを用いた、より一般的な変換式についてはローレンツ変換を参照）。

$\begin{pmatrix} x' \\ ct' \end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \begin{pmatrix} 1 & -v/c \\ -v/c & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ ct \end{pmatrix}$

なお、速度 v が光速 c に比べ、十分に小さい場合、ローレンツ変換の式はガリレイ変換の式と等しくなる。

このため、光速より十分小さい速度領域では、ニュートン力学を用いても十分良い近似となる。

右図は上記の関係を座標平面に表したものである。慣性系 $S$ を黒で、慣性系 $S'$ を赤で示している。

事象 E₁ と E₂ は慣性系 $S$ では同時に発生しているが、慣性系 $S'$ では異なる時間に起こっていることがわかる。

また、慣性系 $S'$ では2単位時間を要する事象が、慣性系 $S$ では、より長い時間を要していることも見られる。

時間と空間がひとつになった4次元の空間のことを時空と呼ぶ。右図は時空図、もしくは相対性理論が幾何学で考えられることを発見したヘルマン・ミンコフスキーの名をとってミンコフスキー空間と呼ばれる。

上述の通り、ミンコフスキー空間の各点は事象を表し、各事象の軌跡は世界線を成す。また事象間の距離は固有時に依っており、特殊相対性理論において不変量である。

下図は特殊相対論による、長さの変化、時間の遅れを図示したものである。静止時に長さ $l 0$ の棒が、慣性系 $S'$ と共に速度 v で移動している様子を描いている。

左側の図は慣性系 $S$ から見たもの、右側の図は慣性系 $S'$ から見たものである。

4次元空間では、この棒は帯状に見えている（図中の黄色の帯）。異なる慣性系に属する観察者は、この帯を異なる切り口から見ていることになる。

帯中にある黒太線は、各慣性系におけるある瞬間にみた棒の様子を示している。慣性系ごとに切り口が異なるため、慣性系 $S'$ では棒の長さは $l 0$ であるが、慣性系 $S$ では、ローレンツ収縮により棒は短くなっている。

図中には、時刻 0 に棒の一端から出た光が棒の他端を反射して、戻ってくる様子も描かれている（図中の青矢印）。慣性系 $S'$ では2秒（2単位時間）で戻ってきているが、慣性系 $S$ では、より長い時間で戻ってきているのがわかる。

[編集] 特殊相対論の実験的検証

特殊相対性理論は、次のような事象からも検証されている。

航空機に乗せた原子時計に生じるわずかな遅れが理論と一致する。
宇宙線の衝突により発生する非常に寿命の短い粒子が地上で観測される（単純に光速度程度で移動したと考えても数百メートル程度しか移動できない）。
粒子加速器で粒子を光速近くまで加速すると、崩壊するまでの寿命が延びる。この寿命の延びは厳密に特殊相対性理論による予想に従う。
光速近くまで加速した電子等の荷電粒子を磁場によって曲げると、放射光と呼ばれる光が発生する。この光は特殊相対性理論の効果により前方に集中し、粒子軌道の接線方向への極めて指向性の高い光となる。
オットー・ハーンは核分裂を発見したが、この反応の際の質量欠損により、大量のエネルギーが放出された。この放出は特殊相対性理論の帰結のひとつである質量とエネルギーの等価性 E = mc2 において欠損相当の質量に換算される原子核内部の核子の結合エネルギーである。

[編集] 一般相対性理論へ

特殊相対性理論は重力のない状態での慣性系を取り扱った理論である。

後にアインシュタインは空間のゆがみとして重力場をも組み込んだ、より一般的な理論である一般相対性理論を発表した。この理論はアイザック・ニュートンの万有引力論を全面的に書き換えるものになった。

特殊相対性理論と一般相対性理論の2つの理論をあわせて相対性理論と呼ばれる。

[編集] 関連項目

ウィキブックスに特殊相対論関連の教科書や解説書があります。

人物

相対性理論

物理学

数学

哲学

実証主義

[編集] 参考文献

『アインシュタイン相対性理論』岩波文庫 ISBN 4-00-339341-4
『力学II -解析力学-』原島鮮著裳華房 ISBN 4-7853-2012-5

"http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96" より作成

カテゴリ: 相対性理論

SEO Tools SEO Tools system wymiany linków tanie kredyty gotówkowe kreatyna Plaza 3 star hotel Los Angeles krynica noclegi Sejm Tyk

ナビゲーション

ヘルプ

検索

ツールボックス

他の言語

特殊相対性理論

目次

[編集] 特殊相対性理論の誕生

[編集] 特殊相対性理論から導かれる帰結

[編集] 相対性と光速度の不変

[編集] ローレンツ変換

[編集] 同時刻の相対性

[編集] 時間の遅れ

[編集] ローレンツ収縮

[編集] 速度の合成

[編集] 光円錐と固有時

[編集] 相対論的物理学

[編集] 相対論的運動方程式

[編集] 相対論的エネルギー

[編集] 相対論的流束

[編集] 相対論的電磁気学

[編集] エネルギー・運動量テンソル

[編集] 相対論的波動

[編集] 相対論的解析力学

[編集] 相対論的質量

[編集] 相対論における「光速」

[編集] 特殊相対性理論の幾何

[編集] 特殊相対論の実験的検証

[編集] 一般相対性理論へ

[編集] 関連項目

[編集] 参考文献