Piano cartesiano

Rappresentazione di alcuni punti nel piano cartesiano

In matematica il piano cartesiano è un sistema di riferimento nel piano della geometria euclidea costituito da due rette, non necessariamente ortogonali, su ciascuna delle quali si fissa un orientamento (rette orientate) e per le quali si fissa anche una unità di misura che consente di identificare qualsiasi punto del piano mediante numeri reali.

Indice

[modifica] Struttura

Il piano cartesiano è costituito da:

asse delle ascisse o asse delle x, costituisce la retta orizzontale
asse delle ordinate o asse delle y, costituisce la retta perpendicolare
origine, è il punto nel quale le due rette si incontrano

Il piano cartesiano può essere anche personificato, pensando che il piano sia immerso orizzontalmente nello spazio fisico (pavimento), si chiede che una persona in piedi sull'origine con l'asse delle x di fronte veda l'asse delle y alla sua sinistra.

[modifica] Uso

Il sistema costituito dalla coppia dei due assi (e implicitamente dall'origine) si dice sistema di riferimento cartesiano ortogonale del piano. Esso consente di individuare ogni punto del piano con una coppia di numeri reali chiamati rispettivamente ascissa e ordinata del punto; le coordinate di un punto generico del piano o di un punto che si pensa variabile spesso si denotano con $x$ e $y$ . Talora il sistema dei due assi si denota con $O x y$ .

Un generico punto si può quindi esprimere scrivendo $\left(x;y\right)$ oppure $\langle x;y \rangle$ . Ad esempio, i punti $(2,3)$ e $(2,5)$ hanno la stessa ascissa, mentre i punto $(2,3)$ e $( - 1,3)$ hanno la stessa ordinata.

[modifica] Quadranti

Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti, indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario:

I quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive;
II quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinata positiva;
III quadrante: simmetrico al primo rispetto all'origine;
IV quadrante: simmetrico al secondo rispetto all'origine.

[modifica] Il piano cartesiano quale spazio vettoriale

Per definizione, esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano cartesiano e le coppie ordinate di numeri reali. L'insieme di tutte le coppie di numeri reali, $\Bbb{R}^2$ è un $\Bbb{R}$ -spazio vettoriale. La base canonica di $\Bbb{R}^2$ è $E=\left(E_{1}, E_{2}\right)$ ove $E_1=\left(1,0\right)$ ed $E_2=\left(0,1\right)$ . Gli elementi di E hanno un importante significato geometrico: sono i versori fondamentali del piano, rispettivamente $\vec{i}$ e $\vec{j}$ . Ciò vuol dire, per la definizione stessa di base di uno spazio vettoriale, che il piano cartesiano è generato dai versori fondamentali e che ogni punto del piano è esprimibile, in modo unico, come combinazione lineare dei versori fondamentali (ciò giustifica l'espressione dei punti del piano cartesiano). Si noti inoltre che gli assi cartesiani sono sottospazi vettoriali del piano cartesiano.