Keresés

Eszközök

Más nyelveken

Modális logika

A modális logikai négyszög

A modális logika a klasszikus logika olyan kibővítése, mely a szükségszerűséghez és lehetőséghez hasonló kifejezések segítségével vezet be adekvát következményrelációt.

A modális logika leggyakoribb modális kifejezései a „lehetséges, hogy A” (jelben: ' $\scriptstyle{\Diamond A}$ ') és a „szükségszerű, hogy A” (jelben: ' $\scriptstyle{\Box A}$ ') és ezek átfogalmazásai, például:

„Lehet, hogy holnap tengeri csata lesz.”

„Nixon győzhetett volna.”

„Szükségszerű, hogy egy modális logikáról szóló bevezetőben mindig az alethikus modalitással kezdik.”

Ezek az operátorok dualitás elve mentén kölcsönösen kifejezhetők egymással; ha A mondat, akkor

lehetséges A akkor és csak akkor, ha nem szükségszerű, hogy nem A, azaz:

$\Diamond A \Leftrightarrow \,\lnot \Box \lnot A$

szükségszerű A akkor és csak akkor, ha nem lehetséges nem A, azaz:

$\Box A \Leftrightarrow \,\lnot\Diamond \lnot A$

A szükségszerűségen és a lehetőségen kívül, azaz az ún. alethikus modalitásokon kívül számos modalitás vizsgálható, melyek a megismerhetőségre (episztemikus modalitás), meggyőződés fokára (doxatikus modalitás), az időbeli elhelyezkedés szintjeire (temporális modalitás), egy normarendszer szerinti megengedhető tevékenységekre (deontikus modalitás), egy formális rendszerbeli bizonyíthatóságra stb. vonatkoznak.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Áttekintés

[szerkesztés] A modális logika története

Bővebben: A modális logika története

A modális logika ugyanolyan régi, mint maga a logika. Arisztotelész foglalkozott vele először, aki a kategorikus szillogizmusok összegyűjtése után fölsorolja a modális szillogizmusokat is. Ezután a középkori logikusok foglalkoztak sokat a modális szillogizmusok természetével. Ők már megkülönböztették a de dicto és a de re modalitásokat. Az, hogy melyik modális szillogizmust melyik értelemben tartották elfogadhatónak, szinte kizárólag a filozófiai nézetrendszerükön múlott.^[1] A tizenkilencedik század végén és a huszadik század elején egy ideig kizárólag extenzionális logikával foglalkoztak, ezért a modális logikában nem születtek új eredmények. A modern modális logika kezdetét általában C. I. Lewis 1918-ban megjelent A Survey of Symbolic Logic című könyvéhez szokás kötni. Ebben már egy konkrét modális állításkalkulust fejt ki, amelyben konzekvensen alkalmazza a modális operátorokat.^[2] A modális logika elsőrendű bővítése azonban paradoxonokhoz vezetett, amelyekkel kapcsolatos két markáns álláspont a Quine-Marcus vitában kristályosodott ki.^[3] Mindezen viták lezajlása után sikerült Saul Kripke-nek szemantikát szerkesztenie a modális kalkulusokhoz (nem kis mértékben támaszkodva Carnap korábbi munkásságára^[4]), így ezeket már teljes értékű logikaként lehet vizsgálni.

[szerkesztés] A modális logika mint intenzionális logika

A modális logika abban különbözik leginkább a klasszikus logikától, hogy a modális kifejezéseket tartalmazó állításainak vizsgálata nem fér el az ún. extenzionális logika keretei között.

Jól ismert extenzionális kifejezés például a tagadás:

„Nem igaz, hogy az Esthajnalcsillag a Vénusz.”

Ekkor ez az állítás pontosan akkor hamis, ha az Esthajnalcsillag a Vénusz, tehát ha tudjuk az argumentumában lévő mondat igazságértékét, akkor tudjuk az egész mondat igazságértékét is. Azonban a helyzet nem mindig ilyen egyszerű. Előfordulhatnak olyan kifejezések, melyeknél hiába tudjuk az argumentumának igazságértékét, ettől még nem vonhatunk le semmilyen következtetést az egész kifejezés igazságértékét illetően. Vegyük például a következő mondatot:

„Esetleges, hogy az Esthajnalcsillag a Vénusz.”

Itt az a tény, hogy „az Esthajnalcsillag a Vénusz" állítás igaz, még magában nem határozza meg azt, hogy a fenti modális kifejezéssel ellátott állítás igaz-e vagy hamis. Az ilyen intenzionális (azaz nem extenzionális) kifejezések vizsgálata már az intenzionális logika feladata. A modális logikát ezért is szokás az intenzionális logika első fejezetének tekinteni. ^[5]

[szerkesztés] A modális operátor

Modális logikának tágabb (és most már formális) értelemben véve olyan klasszikus logikai bővítéseket is hívunk, melyek tartalmaznak olyan mondatoperátort, amelyre a következőt kötjük ki:

Ha az $\scriptstyle{A_1, A_2, ...A_n}$ premisszáknak következménye $\scriptstyle{B}$ , akkor a $\scriptstyle{\Box A_1, \Box A_2 ... \Box A_n}$ premisszákból is következik $\scriptstyle{\Box B}$

Ezt követően, a fent megadott operátor alapján már definiálható az $\scriptstyle{\Box A \Leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot A}$ azonosság (lásd: dualitás) alapján a másik szokásos operátor. Szokás az előbbit erős, az utóbbit gyenge modalitásnak is nevezni.

A modális operátorokkal kapcsolatban két érdekes modális logikai típust érdemes megemlíteni:

Vannak olyan logikák, az ún. multimodális logikák, melyekben több ilyen (nem redundáns) operátor is előfordul. Ilyen logika például a temporális logika.
Vannak olyan logikák is, az ún. polimodális logikák, amelyekben a modális operátornak nem csupán egy argumentuma van, pl.: $\scriptstyle{\Box (\phi_1, \phi_2, ... , \phi_n)}$ . A következőkben bemutatott Lewis-i szigorú kondicionális ( ${-\!\scriptstyle{\mathsf{3}}}$ ) is tulajdonképpen ilyen kétargumentumú modális operátor.

[szerkesztés] Motiváció: C. I. Lewis szigorítása

A $\scriptstyle{\Box}$ intenzionális operátor a következő módon kísérli meg adekváttá tenni a klasszikus logikában hírhedt materiális kondicionálist:

A klasszikus $\scriptstyle{A \rightarrow B}$ jelentése:

Nem áll fenn, hogy $\scriptstyle{A}$ igaz, de $\scriptstyle{B}$ hamis.

Ezt a következőképpen lehet szigorítani az alethikus modalitással:

Nem állhat fenn, hogy $\scriptstyle{A}$ igaz, de $\scriptstyle{B}$ hamis.

Szükségszerű, hogy $\scriptstyle{A}$ hamis, vagy $\scriptstyle{B}$ igaz.

$\scriptstyle{\Box (A \rightarrow B)}$

Itt már érezhetően nem csak az aktuális szituáció, hanem az összes lehetséges szituáció is szerepet játszik. A materiális kondicionális efajta szigorítását szigorú kondicionálisnak fogjuk nevezni.^[6]

Jelölése^[7] a következő: $A {-\!\scriptstyle{\mathsf{3}}} B$

(Ezt kiolvasáskor 'horog'-nak szokás ejteni.)

[szerkesztés] De re és de dicto olvasatok

Kvantifikált modális állításokkal kapcsolatban a előfordulhatnak kétértelmű kifejezések. Vegyük például a következő állítást:

„Minden káplár lehet generális.”

Ennek kétfajta olvasata lehetséges:

„Minden káplár számára nyitott a lehetőség, hogy generális legyen.”

„Lehetséges, hogy minden káplár generális legyen” vagy „lehetséges, hogy nincs olyan káplár, aki ne lenne generális.”

Formalizálva a különbség egyből kitűnik:

de re: $\scriptstyle{\forall x (}$ káplár $\scriptstyle{(x) \and \Diamond }$ generális $\scriptstyle{(x) ) }$

de dicto: $\scriptstyle{\Diamond \forall x (}$ káplár $\scriptstyle{(x) \and }$ generális $\scriptstyle{(x) ) }$

A kétfajta olvasat tehát abban különbözik, hogy a $\scriptstyle{\Diamond}$ modális operátor szabad vagy kötött változóra vonatkozik-e. Előbbit nevezzük a de re, „a dologról szóló”, utóbbit a de dicto, „az állításról szóló” olvasatnak.^[8]

[szerkesztés] Hol használják?

Egy kis illusztráció – a teljesség igénye nélkül^[9] –, hogy különböző területek milyen logikákon keresztül miféle modalitásokat vizsgálnak:

Filozófiában széles körben, például alethikus modalitást, temporális modalitást, episztemikus modalitást, deontikus modalitást,
A matematika megalapozásánál az intuicionista logikában vagy a bizonyíthatósági logikában.
Számítástechnikában a dinamikus logikában és temporális logikában,
Kognitív tudományokban pl. az autoepisztemikus logikában,
Nyelvészetben a modalitások tanulmányozásánál.

Hogy is mondjuk? - Néhány modalitás. - A felsorolás jobbra nyitható!

Alethikus modalitás:

Erős modalitás: „Szükségszerű, hogy ...”

Gyenge modalitás:„Lehetséges, hogy ...”

Temporális modalitás:

Erős modalitás: „Mindig igaz, hogy ...”

Gyenge modalitás:„Néha igaz, hogy ...”

Episztemikus modalitás:

Erős modalitás: „Bizonyos, hogy ...”

Gyenge modalitás:„Nem zárható ki, hogy ...”

Deontikus modalitás:

Erős modalitás: „Kötelező, hogy ...”

Gyenge modalitás:„Megengedett, hogy ...”

Bizonyíthatósági modalitás:

Erős modalitás: „... formula levezethető a rendszerből”

Gyenge modalitás:„... formula konzisztens a rendszerrel”

Autoepisztemikus modalitás:

Erős modalitás: „Úgy vélt, hogy ...”

Gyenge modalitás:„Konzisztens a jelenlegi tudásbázissal, hogy ...”

[szerkesztés] Grammatika

A modális logika grammatikája mindig egy klasszikus logika grammatikájának bővítése. A bővítés abban áll, hogy a klasszikus logika nyelvébe még bevezetnek egy vagy több modális operátort, majd a dualitás törvénye szerint definiálják azok párjait.

Nullad- és elsőrendű modális nyelvek formális definíciója - Jobbra nyithatod ki a részletezést!

Egy nulladrendű modális nyelv formális definíciója - Jobbra nyithatod ki a részletezést!

Nulladrendű modális nyelv:

Az $\scriptstyle{L^{(m0)}= \langle Log_{(m0)}, At, Form \rangle}$ rendezett hármason egy modális nyelvet fogunk érteni, melyben

$\scriptstyle{Log_{(m0)}= \{ (, ), \lnot, \and, \Diamond \} }$ a logikai konstansok osztálya,
$\scriptstyle{At}$ az atomi formulák osztálya,
$\scriptstyle{Form}$ pedig a nyelv formuláinak osztálya. Rekurzív definíciója:

Bázis:

$\scriptstyle{At\subseteq Form}$ .

Bővítési szabályok:

ha $\scriptstyle{A\in Form}$ , akkor " $\scriptstyle{\lnot A}$ ", " $\scriptstyle{\Diamond A}$ " $\scriptstyle{\in Form}$ ,

ha $\scriptstyle{A,B\in Form}$ , akkor " $\scriptstyle{(A \and B)}$ " $\scriptstyle{\in Form}$ .

Záradék: $\scriptstyle{Form}$ a legszűkebb ilyen módon értelmezett osztály.

Definíciók:

$\scriptstyle{A \vee B \Leftrightarrow_{df} \lnot( \lnot A \and \lnot B )}$
$\scriptstyle{A \rightarrow B \Leftrightarrow_{df} \lnot (A \and \lnot B) }$
$\scriptstyle{A \leftrightarrow B \Leftrightarrow_{df} (A \rightarrow B) \and (B \rightarrow A)}$
$\scriptstyle{\Box A \Leftrightarrow_{df} \lnot \Diamond \lnot A, }$
${\scriptstyle{A}} {-\!\!\scriptstyle{\mathsf{3}}} {\scriptstyle{ B \Leftrightarrow_{df} \lnot \Diamond (A \and \lnot B) }}$
${\scriptstyle{A}} {\varepsilon\!\!\!-\!\!\scriptstyle{\mathsf{3}}} {\scriptstyle{B \Leftrightarrow_{df} (A}} {-\!\!\scriptstyle{\mathsf{3}}} {\scriptstyle{B) \and (B}} {-\!\!\scriptstyle{\mathsf{3}}} {\scriptstyle{A)}}$

Egy elsőrendű modális nyelv formális definíciója - Jobbra nyithatod ki a részletezést!

Elsőrendű modális nyelv:

Az $\scriptstyle{L^{(m1)}= \langle Log_{(m1)}, Var, Con, Term, Form \rangle}$ rendezett ötösön egy modális nyelvet fogunk érteni, melyben $\scriptstyle{Log_{(m1)}, Var, Con}$ osztályok diszjunktak, továbbá

$\scriptstyle{Log_{(m1)}= \{ (, ), \lnot, \and, \Diamond \} }$ a logikai konstansok osztálya,
$\scriptstyle{Var}$ a nyelv változóinak végtelen számosságú osztálya,
$\scriptstyle{Con = N\cup P}$ a nyelv nemlogikai konstansainak osztálya, ahol $\scriptstyle{N}$ a névfunktorok, $\scriptstyle{P}$ a predikátumok osztálya.
$\scriptstyle{Term}$ a nyelv terminusainak osztálya. Ha $\scriptstyle{a}$ az argumentumszám, $\scriptstyle{T_a}$ pedig az $\scriptstyle{a}$ -tagú terminusfüzér, akkor $\scriptstyle{Term}$ és $\scriptstyle{T_a}$ szimultán induktív definíciója:

Bázis:

$\scriptstyle{Var \subseteq Term}$

$\scriptstyle{T_\varnothing = \{\varnothing\} }$

Bővítési szabályok:

Ha $\scriptstyle{s\in T_a}$ és $\scriptstyle{t\in Term}$ , akkor " $\scriptstyle{s(t)}$ " $\scriptstyle{\in T_{ao}}$ .

Ha $\scriptstyle{f\in N_a}$ és $\scriptstyle{s\in T_a}$ , akkor " $\scriptstyle{fs}$ " $\scriptstyle{\in Term}$ .

Záradék: $\scriptstyle{Term}$ a legszűkebb ilyen módon értelmezett osztály.

$\scriptstyle{Form}$ pedig a nyelv formuláinak osztálya. Induktív definíciója:

Bázis:

Ha $\scriptstyle{t_1, t_2 \in Term}$ , akkor " $\scriptstyle{t_1=t_2}$ " $\scriptstyle{\in Form}$

Ha $\scriptstyle{p\in P_n \subseteq Con}$ (ahol $\scriptstyle{n \in \omega}$ ) és $\scriptstyle{t_1 \dots t_n \in Term}$ , akkor " $\scriptstyle{p(t_1)\dots (t_n)}$ " $\scriptstyle{\in Form}$ .

Bővítési szabályok:

Ha $\scriptstyle{A\in Form}$ , akkor " $\scriptstyle{\lnot A}$ ", " $\scriptstyle{\Diamond A}$ " $\scriptstyle{\in Form}$ .

Ha $\scriptstyle{A,B\in Form}$ , akkor " $\scriptstyle{(A \and B)}$ " $\scriptstyle{\in Form}$ .

Ha $\scriptstyle{A\in Form}$ és $\scriptstyle{x\in Var}$ , akkor " $\scriptstyle{\forall x \, A}$ " $\scriptstyle{\in Form}$ .

Záradék: $\scriptstyle{Form}$ a legszűkebb ilyen módon értelmezett osztály.

Definíciók:

$\scriptstyle{A \vee B \Leftrightarrow_{df} \lnot( \lnot A \and \lnot B )}$
$\scriptstyle{A \rightarrow B \Leftrightarrow_{df} \lnot (A \and \lnot B) }$
$\scriptstyle{A \leftrightarrow B \Leftrightarrow_{df} (A \rightarrow B) \and (B \rightarrow A)}$
$\scriptstyle{\exists A \Leftrightarrow_{df} \lnot \forall \lnot A }$
$\scriptstyle{\Box A \Leftrightarrow_{df} \lnot \Diamond \lnot A }$
${\scriptstyle{A}} {-\!\!\scriptstyle{\mathsf{3}}} {\scriptstyle{ B \Leftrightarrow_{df} \lnot \Diamond (A \and \lnot B) }}$
${\scriptstyle{A}} {\varepsilon\!\!\!-\!\!\scriptstyle{\mathsf{3}}} {\scriptstyle{B \Leftrightarrow_{df} (A}} {-\!\!\scriptstyle{\mathsf{3}}} {\scriptstyle{B) \and (B}} {-\!\!\scriptstyle{\mathsf{3}}} {\scriptstyle{A)}}$

[szerkesztés] Lehetséges világok szemantikája

Már fentebb volt szó arról, hogy nem egy szituációt veszünk figyelembe, hanem több lehetséges szituációra terjesztjük ki a modális operátorokkal formuláink igazságfeltételét. Ha a modalitást egyfajta logikai szükségszerűségként értelmezzük, akkor így a $\scriptstyle{\Box A}$ formula akkor lesz igaz, ha $\scriptstyle{A}$ minden ilyen lehetséges szituációban, minden ún. lehetséges világban^[10] igaz. Ehhez hasonló módon a $\scriptstyle{\Diamond A}$ formula pedig akkor lesz igaz, ha $\scriptstyle{A}$ igazságértéke legalább egy lehetséges világban igaz lesz. A $\scriptstyle{\Box}$ és $\scriptstyle{\Diamond}$ modális operátorokat fölfoghatjuk tehát egyfajta 'álcázott' kvantoroknak, melyek a lehetséges világok fölött kvantifikálnak. Azon formulák esetében, melyekben nem szerepel modális operátor, természetesen nem kényszerülünk másik világokat megvizsgálni - ilyenkor minden úgy működik, ahogy azt a klasszikus logikában megszoktuk.

A lehetséges világoknak ez a felfogása megfelelő szemantikát fog biztosítani a modalitás egy bizonyos, a logikai szükségszerűségre vonatkozó értelmezése mellett. Ahhoz azonban, hogy más, 'megengedőbb' modalitásokra is kiterjesszük a szemantikát, valahol megszorításokat kell bevezetnünk. Erre jók az ún. alternatíva- vagy elérhetőségi relációk, melyek "összekötik" a szóba jöhető lehetséges világokat. A relációk fogalmát is felhasználva a fenti két definíció a következőképpen alakul:

$\scriptstyle{\Box A}$ igaz a.cs.a., ha minden olyan lehetséges világban igaz, mely elérhető az alternatíva-reláció mentén az aktuális világból.
$\scriptstyle{\Diamond A}$ hamis a.cs.a., ha minden olyan lehetséges világban hamis, mely elérhető az alternatíva-reláció mentén az aktuális világból, azaz

igaz a.cs.a., ha van olyan lehetséges világ, amely elérhető az alternatíva-reláció mentén az aktuális világból, és ott igaz.

A logikai szükségszerűség esetében ez a reláció egy ekvivalenciareláció volt. A továbbiakban a megszorítások aszerint fognak alakulni, hogy ennek a relációnak mely tulajdonságait fogjuk elhagyni, vagy mely világokat kötjük össze az alternatívarelációval. Ezeket a különbségeket a szintaxisban különféle formulákkal lehet jellemezni, melyek a bizonyításelméletben mint az állításkalkulushoz hozzávett axiómák fognak megjelenni.

Két modális nyelv formális interpretációja - A részletezés jobbra nyitható!

Egy nulladrendű modális nyelv formális interpretációja - A részletezés jobbra nyitható!

Legyen az $\scriptstyle{\mathfrak{F}=\langle W,R \rangle}$ rendezett pár az ún. modális Kripke-keretstruktúra, ahol

az $\scriptstyle{W}$ a világok halmaza,
az $\scriptstyle{R}$ pedig egy tetszőleges binér $\scriptstyle{W}$ -n értelmezett alternatívareláció.

Ha egy $\scriptstyle{v}$ világot egy $\scriptstyle{R}$ alternatívareláció köt össze $\scriptstyle{w}$ -vel, azt mondjuk, hogy $\scriptstyle{v}$ alternatívája $\scriptstyle{w}$ -nek, és így jelöljük: $\scriptstyle{wRv}$ .^[11]

A $\scriptstyle{\mathfrak{V}\,\,:\,\, At\to \mathcal{P}(W) }$ függvényt^[12] $\scriptstyle{L^{(m0)}}$ nulladrendű modális nyelv kiértékelésének hívjuk az $\scriptstyle{\mathfrak{F}}$ frame-en, és így $\scriptstyle{\mathfrak{V}(p)}$ azon világok halmaza, melyben a $\scriptstyle{p}$ atomi formula igaz.

Az $\scriptstyle{L^{(m0)}}$ nyelv Kripke-modelljén vagy interpretációján az $\scriptstyle{\mathfrak{M}= \langle \mathfrak{F}, \mathfrak{V} \rangle}$ rendezett párt értjük.

Azt, hogy $\scriptstyle{A}$ formula igaz az $\scriptstyle{\mathfrak{M}}$ modell $\scriptstyle{w}$ világában, a következőképpen jelölhetjük; $\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models A}$ (vagy szokás még jelölni így is: $\scriptstyle{|A|_w^\mathfrak{M}=1}$ ), és a következőképpen definiáljuk:

$\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models p}$ a.cs.a., ha $\scriptstyle{w\in \mathfrak{V}(p)}$ minden $\scriptstyle{p\in At}$ -ra.

$\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models \lnot A}$ a.cs.a., ha nem $\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models A}$ .

$\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models A \and B}$ a.cs.a., ha $\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models A}$ és $\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models B}$ .

$\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models \Diamond A}$ a.cs.a., ha van olyan $\scriptstyle{v\in W}$ világ, hogy $\scriptstyle{wRv}$ és $\scriptstyle{(\mathfrak{M},v)\models A}$

Egy elsőrendű modális nyelv formális interpretációja - A részletezés jobbra nyitható!

Legyen az $\scriptstyle{\mathfrak{F}=\langle W,R \rangle}$ rendezett pár a modális Kripke-keretstruktúra, ahol

az $\scriptstyle{W}$ a világok halmaza,
az $\scriptstyle{R}$ pedig egy tetszőleges binér $\scriptstyle{W}$ -n értelmezett alternatívareláció.

Legyen továbbá $\scriptstyle{U}$ az ún. lehetséges individuumok osztálya, továbbá $\scriptstyle{D\in \mathcal{P}(U)}$ pedig egy olyan függvény, mely a különböző $\scriptstyle{w}$ világokhoz a $\scriptstyle{D(w)}$ kvantifikációs tartományt rendeli hozzá ( $\scriptstyle{D}$ , mint "domain". ). A $\scriptstyle{Con}$ -on értelmezett $\scriptstyle{\mathfrak{V}}$ függvényt az $\scriptstyle{L^{(m1)}}$ elsőrendű modális nyelv kiértékelésének hívjuk, melyre a következő két kikötés teljesül:

Ha $\scriptstyle{c \in Con \cap Term}$ , akkor $\scriptstyle{\mathfrak{V}(c)\in U,}$

azaz a névkonstansok merev jelölők; hozzájuk a $\scriptstyle{\mathfrak{V}}$ függvény a lehetséges világoktól függetlenül ugyanazt az $\scriptstyle{U}$ -beli elemet rendeli: Az ő intenziójuk egy konstans függvény lesz.

Ha $\scriptstyle{ p \in P_n \subseteq Con}$ , ahol $\scriptstyle{n}$ megszámlálhatóan végtelen, akkor $\scriptstyle{\mathfrak{V}(p) \in^W \mathcal{P}(U^{(n)})}$ ,

azaz egy adott $\scriptstyle{ w \in W}$ világ esetén a $\scriptstyle{\mathfrak{V}(p)(w)}$ kifejezés ( $\scriptstyle{\mathfrak{V}(p)(w)\subseteq U^{(n)}}$ ) a $\scriptstyle{p}$ predikátum $\scriptstyle{w}$ világbeli extenziója, azaz azon individuumok összessége, melyekre a $\scriptstyle{p}$ predikátum igaz. A $\scriptstyle{\mathfrak{V}(p)}$ függvényt hívjuk majd a $\scriptstyle{p}$ predikátum intenziójának.

Az $\scriptstyle{L^{(m1)}}$ nyelv Kripke-modelljén vagy K-interpretációján az $\scriptstyle{\mathfrak{M}= \langle \mathfrak{F}, U, D, \mathfrak{V} \rangle}$ rendezett négyest értjük.

Az $\scriptstyle{L^{(m1)}}$ nyelv $\scriptstyle{\mathfrak{M}}$ modelljéhez vagy interpretációjához tartozó $\scriptstyle{e: Var\to U}$ függvényeket értékeléseknek hívjuk.

Azt, hogy $\scriptstyle{A}$ kifejezés ( $\scriptstyle{A\in Term\cup Form}$ ) igaz az $\scriptstyle{\mathfrak{M}}$ modell $\scriptstyle{w}$ világában egy $\scriptstyle{e}$ értékelés mellett, a következőképpen jelölhetjük: : $\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models A [e]}$

(vagy szokás még jelölni így is: $\scriptstyle{|A|_{ew}^\mathfrak{M}=1}$ )

Ennek induktív definíciója a következő:

Ha $\scriptstyle{A\in Var}$ , akkor

$\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models A[e]}$ a.cs.a., ha $\scriptstyle{e(A)\in U}$ .

Ha $\scriptstyle{A \in Con \cap Term}$ , akkor

$\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models A[e]}$ a.cs.a., ha $\scriptstyle{\mathfrak{V}(A)\in U}$ .

Ha $\scriptstyle{t_1, t_2 \in Term}$ , akkor

$\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models t_1=t_2 [e]}$ a.cs.a., ha $\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models t_1 [e]}$ és $\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models t_2 [e]}$ egyszerre teljesülnek.

Ha $\scriptstyle{ p\in P_n \subseteq Con (n\geq 0),}$ illetve $\scriptstyle{t_1, \dots t_2 \in Term,}$ , továbbá $\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models t_i [e]}$ a.cs.a., ha } $\scriptstyle{u_i\in U,}$ ahol $\scriptstyle{1\leq i \leq n,}$ , akkor

$\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models p(t_1) \dots p(t_n) [e]}$ a.cs.a., ha $\scriptstyle{\langle u_1, \dots , u_n\rangle \in \mathfrak{V}(p)(w).}$

$\scriptstyle{(\mathfrak{M}, w)\models \lnot A [e]}$ a.cs.a., ha $\scriptstyle{(M, w)\models\!\!\!\!\neq A [e]}$

$\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models A \and B [e]}$ a.cs.a., ha $\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models A [e]}$ és $\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models B [e]}$ .

$\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models \forall x \,\, A [e]}$ a.cs.a., ha minden $\scriptstyle{u\in D(w)}$ -ra $\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models A [e^{x/u}]}$ .

$\scriptstyle{(\mathfrak{M},w)\models \Diamond A [e]}$ a.cs.a., ha van olyan $\scriptstyle{v\in W}$ világ, hogy $\scriptstyle{wRv}$ és $\scriptstyle{(\mathfrak{M},v)\models A [e]}$

[szerkesztés] Példa

A következő (csak látszólag bonyolult) ábra lehetőséget ad arra, hogy adott világok esetén az alternatívarelációkkal hogyan is működtetjük majd a $\scriptstyle{\Box}$ és $\scriptstyle{\Diamond}$ operátorainkat. A világokat a $\scriptstyle{w_1, w_2 ... w_6}$ körök fogják jelölni. Az ebbe a körökbe írt $\scriptstyle{\phi, \psi, \chi}$ formulák jelölik azt, hogy a világban mely formulák igazak.

Bemelegítő
- A $\scriptstyle{w_1}$ világban igazak a $\scriptstyle{\Box \phi}$ és $\scriptstyle{\Box \chi}$ formulák, mert minden elérhető világban, azaz $\scriptstyle{w_2}$ és $\scriptstyle{w_5}$ világban $\scriptstyle{\phi}$ és $\scriptstyle{\chi}$ igazak. Vegyük észre azonban, hogy míg $\scriptstyle{\Box \phi}$ és $\scriptstyle{\Box \chi}$ igazak a $\scriptstyle{w_1}$ világban, addig $\scriptstyle{\phi}$ és $\scriptstyle{\chi}$ maguk nem igazak ott!
- $\scriptstyle{w_2}$ -ben ilyesmi nem fog előfordulni: Mikor azt vizsgáljuk, $\scriptstyle{\Box \phi}$ igaz-e (igaz), akkor $\scriptstyle{w_3}$ és $\scriptstyle{w_5}$ mellett magát $\scriptstyle{w_2}$ -t is meg kell vizsgálnunk, mivel van egy reflexív alternatívarelációja!
- Hasonló okok miatt nem igaz $\scriptstyle{w_3}$ -ban $\scriptstyle{\Box \chi}$ .
Izolált világok
- Furcsák azok a világok, melyeket nem kapcsol alternatívareláció sem magához, sem máshoz. Ezekben a világokban, mint például $\scriptstyle{w_4}$ -ben, megeshet például, hogy $\scriptstyle{\Box \phi}$ igaz, mivel nincsen olyan elérhető világ, melyben ne lenne igaz, hasonlóképpen ugyanitt $\scriptstyle{\Diamond \phi}$ hamis, hiszen nincs olyan elérhető világ, melyben igaz lenne.
Iterált operátorok. Mi van akkor, ha több modális operátort használunk egymás után?
- Már beláttuk, hogy $\scriptstyle{w_2}$ -ben $\scriptstyle{\Box \phi}$ igaz. Nézzük azonban meg a $\scriptstyle{\Box\Box \phi}$ formulát! Ebben az esetben minden elérhető világban ( $\scriptstyle{w_2, w_3}$ és $\scriptstyle{w_5}$ ) meg kell nézni, hogy minden onnan elérhető világban igaz-e $\scriptstyle{\phi}$ ! Így ez a formula már nem lesz igaz, mivel $\scriptstyle{w_3}$ -ból és $\scriptstyle{w_5}$ -ből is elérhető a $\scriptstyle{w_6}$ világ, ahol $\scriptstyle{\phi}$ nem igaz. Az, hogy a $\scriptstyle{\Box A}$ alakú formulák esetén $\scriptstyle{\Box\Box A}$ alakú formulák is igazak legyenek, tranzitivitást igényelnek az elérhető világok közt, mint amilyen pl. a $\scriptstyle{w_1, w_2, w_4}$ világok közt is van. (Ilyesmiről bővebben lásd majd a K4, S4 és OS4 rendszereket!)
- De vehetjük például érdekességként a $\scriptstyle{w_6}$ -beli $\scriptstyle{\Box\Box...\Box \chi}$ formulát. Ez mindenképpen igaz lesz, hiszen, $\scriptstyle{w_6}$ -ból csak $\scriptstyle{w_5}$ elérhető, és $\scriptstyle{w_5}$ -ből csak $\scriptstyle{w_6}$ , és mindkettőben igaz a $\scriptstyle{\chi}$ formula. Hasonlót lehet elmondani a magányos, de reflexív világokról is.

4. Egy bonyolultabb példa - A részletezés jobbra nyitható!

Vegyük a következő formulát a $\scriptstyle{w_1}$ világban: $\scriptstyle{\Diamond\Diamond \Box \phi \land \Box (\lnot\psi \rightarrow \Box (\chi\land \Diamond \lnot \psi))}$ . Ez a formula igaz, mert a konjunkció mindkét tagja igaz;

$\scriptstyle{\Diamond\Diamond \Box \phi}$ azért igaz, mert $\scriptstyle{w_1}$ -ből elérhető $\scriptstyle{w_2}$ , ahonnan elérhető megintcsak önmaga, ahol már beláttuk, hogy igaz $\scriptstyle{\Box \phi}$

Aztán $\scriptstyle{\Box (\lnot\psi \rightarrow \Box (\chi\land \Diamond \lnot \psi))}$ megintcsak igaz, mivel

a $\scriptstyle{w_2}$ világban a kondicionális előtagja ( $\scriptstyle{\lnot \psi}$ ) hamis,

a $\scriptstyle{w_5}$ világban pedig $\scriptstyle{\lnot \psi}$ és a $\scriptstyle{\Box (\chi\land \Diamond \lnot \psi)}$ formula is igaz, mivel

egyetlen világ érhető csak el $\scriptstyle{w_5}$ -ből, ez pedig $\scriptstyle{w_6}$ , aholis mind $\scriptstyle{\chi}$ , mind $\scriptstyle{\Diamond \lnot \psi}$ igaz, mert

$\scriptstyle{w_6}$ -ból visszatérhetünk $\scriptstyle{w_5}$ -be, ahol $\scriptstyle{\lnot \psi }$ igaz.

[szerkesztés] Nulladrendű modális rendszerek

[szerkesztés] Alethikus rendszerek (T, K4, S4, S5)

Egy egyszerű rendszer.

A következőkben a rendszerek mellett az itt látható képhez hasonló rajzok lesznek láthatók, melyek illusztrálják a szemantikát. A $\scriptstyle{\omega_0, \omega_1 ... \omega_4}$ körök jelölik a világokat, melyeket az alternatívarelációkat ábrázoló nyilak kötnek össze. A további illusztrációk mindig ezt az elég egyszerű rendszert fogják kiegészíteni, amit ha többféleképp is meg lehet tenni (lásd SDL), akkor úgy, hogy a rendszerek jellemzőit a legjobban tudják illusztrálni.

[szerkesztés] T

Egy T rendszer szerint alakítva. A zöld 'hurkok' a reflexivitásért felelősek.

A K4 rendszer szerint alakítva. A kék nyilak a tranzitivitást jelölik.

Az a modális logika, melyben az alternatívarelációra csak a reflexivitás teljesül, lesz a T rendszer. Az, hogy ez a reflexivitás teljesül, valami ilyesmit jelent:

„Ha valami szükségszerű, akkor az úgy is van.” „Ha valamely állítás igaz bármely elérhető lehetséges világban, akkor az ebben a világban is igaz.”

Az erre a rendszerre jellemző (és a bizonyításelmélet szempontjából fontos) formulát alethikus sémának nevezzük, és a következőképpen néz ki^[13]:

T vagy re: $\scriptstyle{\Box A \rightarrow A}$

[szerkesztés] K4

Az a modális logika, amelyikben az alternatívarelációra csak a tranzitivitás teljesül, lesz a K4 rendszer. Az, hogy a tranzitivitás teljesül, valami ilyesmit jelent:

„Ha valami igaz bármely elérhető lehetséges világban, akkor az ezekben az elérhető világokban is szükségszerű, azaz bármely belőlük elérhető lehetséges világban is igaz.”

A rendszerre jellemző formula:

4 vagy tra: $\scriptstyle{\Box A \rightarrow \Box\Box A}$

[szerkesztés] S4

Az S4 rendszer szerint alakítva. Láthatóan a T és K4 rendszerek egybeillesztése.

Az S5 rendszer szerint alakítva. A barna nyilak a relációk szimmetrikus voltát fejezik ki. A többi nyílért lásd a kisebb rendszereket.

Az előző két rendszernek inkább csak technikai jelentősége volt, magukban még elégtelenek bármiféle szükségszerűséghez hasonló fogalmunk leírására, inkább csak annak néhány jellegzetes vonását tudták megragadni. Azonban T és K4 rendszerek tulajdonságait kombinálva adódik az S4 rendszer, amelyben az alternatívareláció már egyszerre reflexív és tranzitív. Ez a rendszer már nem pusztán technikai jelentőséggel bír, ugyanis megragadható lesz benne például az episztemikus értelemben vett szükségszerűség, amivel az episztemikus logika foglalkozik. Értelmezzük most a $\scriptstyle{\Box}$ -operátort ez utóbbi szellemében a „tudom, hogy ...” értelemben. A reflexivitás és a tranzitivitás ekkor így fogalmazható:

„Ha tudok valamit, akkor az úgy is van.” „Ha tudok valamit, akkor azt is tudom, hogy tudom azt.”

Erre a rendszerre a jellemző formulák tehát az előző két rendszer formulái lesznek:

re: $\scriptstyle{\Box A \rightarrow A}$

tra: $\scriptstyle{\Box A \rightarrow \Box\Box A}$

[szerkesztés] S5

Ha az S4-ben lévő alternatívarelációt szimmetrikussá is tesszük, akkor ezzel egyúttal ekvivalenciarelációvá is emeltük, és így a már emlegetett logikai szükségszerűség fogalomhoz jutottunk. A szimmetria a szemantika szemszögéből:

„Ha egy formula igaz, akkor minden elérhető lehetséges világból elérhető lesz egy olyan lehetséges világ, melyben ez a formula igaz.”

E rendszer új formulája sym, ami a reláció szimmetriáját leírja. A jellemző formulák ez alapján a következők:

re: $\scriptstyle{\Box A \rightarrow A}$

tra: $\scriptstyle{\Box A \rightarrow \Box\Box A}$

B vagy sym: $\scriptstyle{A \rightarrow \Box\Diamond A}$ .

[szerkesztés] Deontikus rendszerek (SDL,SDL+)

Bővebben: Deontikus logika

[szerkesztés] SDL

Az SDL rendszer szerint alakítva. A narancsszínű nyíl a szerialitásért felelős. Ezt természetesen bármelyik világhoz behúzhattuk volna. (Akár saját magához is!)

Az SDL+ rendszer szerint alakítva. A lila nyilak a másodlagos szerialitásért felelősek.

A T rendszernél említett reflexivitás ( $\scriptstyle{\Box A \rightarrow A}$ ) a deontikus modalitásnál túlzó lesz. Vegyük például következő mondatot:

„Ha valami kötelező, akkor az úgy is van.”

Ez az állítás természetesen elkerülendő a modalitás deontikus értelmezése esetében. Ehelyett egy gyengébb 'reflexivitást', az ún. szerialitást^[14] fogalmazhatnánk meg:

„Ha valami kötelező, akkor az megengedett.”

vagy lehetséges a világok nyelvén:

„Ha valami minden elérhető lehetséges világban igaz, akkor van is olyan elérhető lehetséges világ, melyben igaz.”

Így az erre a rendszerre jellemző formula a következő lesz:

D vagy ser : $\scriptstyle{\Box A \rightarrow \Diamond A}$

Azt a rendszert, ami csak ezzel a 'gyengített reflexivitással' bír, standard deontikus logikának nevezzük és SDL-lel jelöljük.^[15]

[szerkesztés] SDL+

Úgy tűnik azonban, hogy az SDL rendszernek még nem részei az olyan kijelentések, mint például a következők:

„Ha valami kötelezően kötelező, akkor az kötelező” „Kötelező, hogy ha valami kötelező, akkor az úgy is legyen.”

Ezek biztosításához egy további szigorítást kell eszközölnünk az alternatívareláción; Ha kikötjük azt, hogy azon világok, melyek a szerialitás következtében alternatívarelációban állnak az aktuális világgal, reflexívek, akkor az ún. másodlagos szerialitást kapjuk, és így a fenti állítások már érvényesek lesznek. E rendszer jellemző formulája a második mondattól kölcsönzi az alakját:

ser2 : $\scriptstyle{\Box (\Box A \rightarrow A)}$

Még két szokásos deontikus rendszer: OS4 és OS5 - Jobbra nyithatod ki a részletezést!

[szerkesztés] OS4

SDL egy másik irányú bővítése. A narancs nyíl jelöli a szerialitást, a kék a tranzitivitást.

OS4 bővítése, voltaképp S5 ikertestvére. A barna nyíl jelöli a szimmetriát. Ha a szerialitás betartásakor az -hoz tartozó nyílból hurkot formálunk, akkor most az S5 rendszernél látható képet látnánk magunk előtt

OS4 bővítése, voltaképp S5 ikertestvére. A barna nyíl jelöli a szimmetriát. Ha a szerialitás betartásakor az $\scriptstyle{\omega_0}$ -hoz tartozó nyílból hurkot formálunk, akkor most az S5 rendszernél látható képet látnánk magunk előtt

Amennyiben tovább bővítjük SDL-t (ezúttal a T bővítéséhez hasonló módon) a tranzitivitással, akkor nyerhetjük a OS4^[16] rendszert. Az erre jellemző formulák:

ser : $\scriptstyle{\Box A \rightarrow \Diamond A}$

tra : $\scriptstyle{\Box A \rightarrow \Box\Box A}$

Utóbbi deontikus olvasata:

„Ha valami kötelező, akkor kötelező, hogy kötelező legyen”

vagy némi egyszerű ekvivalens átalakítással nyerhető ebből a $\scriptstyle{\Diamond \Diamond A \rightarrow \Diamond A}$ formula ami pedig valami ilyesmi:

„Ha megengedett, hogy valami meg legyen engedve, akkor az már megengedett”

Látható, hogy a tranzitivitás beengedése a deontikus logikába egy meglehetősen szigorú kötelességfogalomhoz vezet.

[szerkesztés] OS5

Az OS5 esetében, ha alethikus rokonához, S5-höz hasonlóan a relációt még ezentúl szimmetrikussá is tesszük, a jellemző (részben már ismert) formulák a következők lesznek:

ser : $\scriptstyle{\Box A \rightarrow \Diamond A}$

tra : $\scriptstyle{\Box A \rightarrow \Box\Box A}$

sym: $\scriptstyle{A \rightarrow \Box \Diamond A}$

„Ha valami tény, akkor kötelező, hogy meg legyen engedve.”

Azonban ez a rendszer csak névleg deontikus, valójában e három tulajdonság már biztosítja az alethikus rendszerek reflexitását is:

szerialitás: Tetszőleges világra igaz, hogy egy alternatívareláció mentén elérhető belőle egy másik világ
szimmetria: E másik világból is elérhető ekkor már az előző világ.
tranzitivás: Tehát az eredeti világból elérhető saját maga is.

[szerkesztés] A bizonyíthatósági modalitás rendszerei

[szerkesztés] Gödel és az S4

Vannak tipikusan matematikai modalitások is, mint pl. a bizonyíthatóság. Gödel használta először a modális operátort bizonyíthatósági interpretációban, mikor kimutatta az intuicionista logikáról, hogy beágyazható egy három modális axiómával kibővített klasszikus logikába - ez a rendszer az S4 volt.

[szerkesztés] GL

A legfontosabb bizonyíthatósági modális rendszer, a GL rendszer (Gödel és Löb után) viszont a modalitás-fogalmában már Gödel-számozást is használ. Lássuk hogyan: A $\scriptstyle{PA \vdash \sigma}$ jelölés azt jelenti, hogy $\scriptstyle{\sigma}$ levezethető $\scriptstyle{PA}$ -ból. Ez Gödel munkássága folyamán kifejezhető $\scriptstyle{PA}$ nyelvében magában is: Vezessük be a $\scriptstyle{Lev\,(\ulcorner \sigma\urcorner)}$ predikátumot, ahol a $\scriptstyle{\sigma}$ Gödel-száma a $\scriptstyle{\ulcorner \sigma \urcorner}$ kifejezés. Ez a predikátum legyen akkor és csak akkor igaz, ha ez a $\scriptstyle{\sigma}$ levezethető $\scriptstyle{PA}$ -ból, azaz:

$\scriptstyle{Lev\, (\ulcorner\sigma\urcorner) \quad \iff \quad PA\vdash \sigma}$

Ekkor a Gödel-tétel értelmében a következő nagyrészt ismerős modális formuláinkhoz hasonló formulákat fedezhetünk fel:

Ha $\scriptstyle{ PA \vdash \sigma }$ , akkor $\scriptstyle{ PA\vdash Lev\, (\ulcorner \sigma \urcorner ) }$ is.
$\scriptstyle{ Lev\, (\ulcorner \sigma\rightarrow \tau \urcorner ) \rightarrow (Lev\, ( \ulcorner \sigma \urcorner ) \rightarrow Lev\, (\ulcorner \tau \urcorner ))}$
$\scriptstyle{ Lev\, (\ulcorner \sigma \urcorner ) \rightarrow Lev\, ( \ulcorner Lev\, (\ulcorner \sigma \urcorner ) \urcorner )}$
$\scriptstyle{ Lev\, ( \ulcorner Lev\, (\ulcorner\sigma\urcorner) \rightarrow \sigma \urcorner) \rightarrow Lev (\ulcorner \sigma \urcorner})$

Azaz, a könnyebb áttekinthetőség érdekében $\scriptstyle{ \Box}$ -okkal átírva:

Modális generalizáció: Ha $\scriptstyle{ PA \vdash A}$ , akkor $\scriptstyle{ PA \vdash \Box A }$ is.
K: $\scriptstyle{ \Box (A\rightarrow B) \rightarrow \Box A \rightarrow \Box B }$
tra : $\scriptstyle{ \Box A \rightarrow \Box \Box A }$
Löb : $\scriptstyle{ \Box(\Box A\rightarrow A) \rightarrow \Box A}$

Megjegyzendő, hogy tra formula levezethető a Löb formulával.

Honnan a Löb formula? - A részletezés jobbra nyitható!

Minden $\scriptstyle{PA}$ -beli formulának vannak fix pontjai: olyan $\scriptstyle{ \sigma}$ mondatok, melyekre a diagonalizációs lemma alapján fennáll: $\scriptstyle{PA\,\vdash \,\sigma \,\, \leftrightarrow\,\, F\, (\ulcorner \sigma \urcorner )}$ .

A $\scriptstyle{Lev}$ predikátum fixpontja ez alapján: $\scriptstyle{ PA \,\vdash \,\sigma \,\,\leftrightarrow \,\,Lev\,(\ulcorner \sigma \urcorner )}$ .

Arra a kérdésre, hogy vajon bizonyítható-e ez, Löb adott egy választ: Ha $\scriptstyle{ PA \,\vdash \, Lev\, (\ulcorner\sigma\urcorner) \,\,\rightarrow\,\, \sigma}$ , akkor $\scriptstyle{PA\, \vdash \, \sigma}$ .

Ez utóbbit $\scriptstyle{ PA}$ nyelvére átírva megkapjuk a W axiómát vagy Löb formulát:

Löb: $\scriptstyle{ Lev\, ( \ulcorner Lev\, (\ulcorner\sigma\urcorner) \rightarrow \sigma \urcorner) \rightarrow Lev (\ulcorner \sigma )\urcorner \quad}$ ,

Löb: $\scriptstyle{ \quad\Box(\Box A\rightarrow A) \rightarrow \Box A}$

[szerkesztés] Temporális rendszerek

Az elkövetkező néhány egyszerű temporális logika tárgyalása kapcsán példát mutathatunk polimodális rendszerre. E logikában lényegében két operátor fog szerepelni -- egy a múltra, egy a jövőre vonatkozó modalitást fogja képviselni a következő módon:

Temporális operátorok	Erős modalitás $\scriptstyle{(\Box)}$	Gyenge modalitás $\scriptstyle{(\Diamond)}$
Jövőre vonatkozó modalitás:	$\scriptstyle{GA}$ : „Mindig úgy lesz, hogy $\scriptstyle{A}$ .”	$\scriptstyle{FA}$ : „Majd lesz úgy, hogy $\scriptstyle{A}$ .”
Múltra vonatkozó modalitás:	$\scriptstyle{HA}$ : „Mindig úgy volt, hogy $\scriptstyle{A}$ .”	$\scriptstyle{PA}$ : „Volt már úgy, hogy $\scriptstyle{A}$ .”

A két modalitáshoz tartozó rendszerek együtt fognak bővülni; Egy tételben tetszőlegesen megcserélhetjük a múlt-jövő modális operátorokat. Ezt a szabályt analógiás szabálynak hívják.

Temporális logikában a lehetséges világokat érdemes egymást követő időpillanatoknak elképzelni. Az itt bemutatott egyre erősebb temporális rendszerek ezt igyekeznek egyre jobban megragadni. Az itt szereplő rendszerekre nem lesz jellemző a reflexív reláció, ez azonban nem zárja ki, hogy ne lenne ilyen értelmezés; ebben az esetben a modalitások a következőhöz hasonlóan alakulnak: $\scriptstyle{\Box A}$ : „Most és mindig úgy volt, hogy $\scriptstyle{A}$ .”

Temporális rendszerek: TL0, TL1, TL2 és TL5 - Jobbra nyithatod ki a részletezést!

[szerkesztés] TL0

Kép:TL0 frame.PNG

TL0

Kép:TL1 frame.PNG

TL1

Az első (pontosabban nulladik) rendszerben csak azt kötjük ki, hogy az alternatívareláció ne legyen szimmetrikus, mivel a jövőre utaló állításoknak és a múltra utaló állítások pontosan egy (egymásnak ellenkező) irányba mutatnak: A szimmetriát jellemző formula S5-ben a következő volt: sym: $\scriptstyle{A \rightarrow \Box\Diamond A}$ . Ehhez nagyon hasonló módon a különböző modális operátorokat 'ötvözzük össze', hogy az antiszimmetriát elérjük:

antisym_f: $\scriptstyle{ A\rightarrow GPA}$

antisym_p: $\scriptstyle{ A\rightarrow HFA}$

Azaz:

„Ha valami jelen pillanatban igaz, akkor mindig igaz lesz, hogy valaha igaz volt.” „Ha valami jelen pillanatban igaz, akkor mindig igaz volt, hogy egyszer majd igaz lesz.”

Mivel ezekben az axiómákban mindkét modalitás szerepel, hívják ezeket interakciós axiómáknak is.

[szerkesztés] TL1

Következő lépésben a már ismert tranzitivitást várhatjuk el a temporális logikától. Azaz:

„Ha valami a jövőben mindig igaz lesz, akkor a jövőben is örökké igaz lesz, hogy mindig igaz marad.” „Ha valami a múltban mindig igaz volt, akkor az a múltban is örökké igaz volt, hogy mindig igaz maradt.”

tra_f: $\scriptstyle{G A \rightarrow GG A}$

tra_p: $\scriptstyle{H A \rightarrow HH A}$

[szerkesztés] TL2

Kép:TL2 frame.PNG

TL2

Kép:TL5 frame.PNG

TL5

Azonban az előbbi példában a világok közt előfordulhatnak 'izolált' pillanatok (temporális világok), azaz olyan pillanatok, melyek

Keresés

Navigáció

részvétel

Eszközök

Más nyelveken

Modális logika

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Áttekintés

[szerkesztés] A modális logika története

[szerkesztés] A modális logika mint intenzionális logika

[szerkesztés] A modális operátor

[szerkesztés] Motiváció: C. I. Lewis szigorítása

[szerkesztés] De re és de dicto olvasatok

[szerkesztés] Hol használják?

[szerkesztés] Grammatika

[szerkesztés] Lehetséges világok szemantikája

[szerkesztés] Példa

[szerkesztés] Nulladrendű modális rendszerek

[szerkesztés] Alethikus rendszerek (T, K4, S4, S5)

[szerkesztés] T

[szerkesztés] K4

[szerkesztés] S4

[szerkesztés] S5

[szerkesztés] Deontikus rendszerek (SDL,SDL+)

[szerkesztés] SDL

[szerkesztés] SDL+

[szerkesztés] OS4

[szerkesztés] OS5

[szerkesztés] A bizonyíthatósági modalitás rendszerei

[szerkesztés] Gödel és az S4

[szerkesztés] GL

[szerkesztés] Temporális rendszerek

[szerkesztés] TL0

[szerkesztés] TL1

[szerkesztés] TL2