Keresés

Eszközök

Más nyelveken

Invertálható mátrix

A lineáris algebrában egy n x n-es (négyzetes) $A$ mátrix invertálható vagy nem szinguláris, ha létezik egy olyan n×n -es $B$ mátrix, melyre igaz:

$AB = BA = I_n \$ ,

ahol $I n$ az n×n-es egységmátrixot jelöli és a szorzás a szokásos mátrixszorzás. Ebben az esetben a $B$ -t egyértelműen meghatározza az $A$ mátrix, és $A$ inverzének hívják és $A - 1$ -nel jelölik . Igazolható, hogy ha az $A$ és $B$ négyzetes mátrixokra $A B = I$ , akkor $B A = I$ is teljesül.

A nem invertálható négyzetes mátrixot szingulárisnak vagy degeneráltnak nevezik. Alapszabályként kimondható, hogy majdnem minden négyzetes mátrix invertálható. A valós számtest esetében ez a következőképpen tehető precízzé: az n x n-es szinguláris mátrixok halmaza, mint $R^{n \times n}$ részhalmaza, nullmértékű halmaz (a Lebesgue-mérték szerint). Ez azért igaz, mert a szinguláris mátrixok a determináns, egy $n 2$ -változós polinom gyökrendszerei.

Ez azt jelenti, hogy ha véletlenszerűen kiválasztunk egy valós elemű négyzetes mátrixot, annak valószínűsége, hogy a mátrix szinguláris, nulla. A gyakorlatban azonban bukkanhatunk nem invertálható mátrixokra. Numerikus módszerek használata esetén azok a mátrixok is problematikusak lehetnek, melyek invertálhatók, de közel esnek a szinguláris mátrixhoz, ezekre a mátrixokra mondják, hogy rosszul kondícionált mátrixok.

A mátrix inverzió az $A\mapsto A^{-1}$ művelet neve.

[szerkesztés] Invertálható mátrixok tulajdonságai

Legyen $A$ egy n x n-es mátrix a $K$ test felett. Ekkor a következő állítások ekvivalensek:

$A$ invertálható.
$A$ sor-ekvivalens az $I n$ n-szer n-es egységmátrixhoz.
$A$ -nak n pivot eleme van.
$A$ determinánsa ≠ 0.
$A$ rangja = n.
Az $A x = 0$ egyenletnek csak a triviális $x = 0$ megoldása van (azaz Null A = {0})
Minden $b\in K^n$ -re az $A x = b$ egyenletnek pontosan egy megoldása van.
$A$ oszlopvektorai lineárisan függetlenek.
$A$ oszlopvektorai kifeszítik $K n$ -t.
$A$ oszlopvektorai $K n$ bázisát alkotják.
Az $x\mapsto Ax$ lineáris leképezés bijekció $K n$ -ről $K n$ -re.
Van olyan $B$ n-szer n-es mátrix, amire $A B = I n$ teljesül.
Az $A$ mátrix $A T$ transzponáltja invertálható mátrix.
$A T A$ invertálható mátrix.
0 nem sajátértéke $A$ -nak.

Általában, egy kommutatív gyűrű feletti négyzetes mátrix pontosan akkor invertálható, ha determinánsa a gyűrű egysége.

Invertálható mátrix inverze maga is invertálható és

$\left(A^{-1}\right)^{-1} = A$ .

Egy $A$ invertálható mátrix $λ$ nemnulla skalárral vett szorzata szintén invertálható és inverze a skalár inverzének és a mátrix inverzének szorzata:

$\left(kA\right)^{-1} = k^{-1}A^{-1}$ .

Ha az $A$ és $B$ mátrixok invertálhatók, akkor $A B$ szorzatuk is és

$\left(AB\right)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

(tehát inverzképzésnél a tényezők sorrendje fordított). Ennek következtében az invertálható n-szer n-es mátrixok csoportot alkotnak, a Gl(n) csoportot.

[szerkesztés] Inverzió

Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szövegét, tartalmát.
Részletek a cikk vitalapján.

Ezt a cikket némileg át kellene dolgozni a wiki jelölőnyelv szabályainak figyelembevételével,
hogy megfeleljen a Wikipédia alapvető stilisztikai és formai követelményeinek.

Gausszi elimináció

A Gaussz-Jordan elimináció egy algoritmus, amely használható arra, hogy bebizonyítsuk, hogy az adott mátrix invertálható-e illetve hogy megtaláljuk az inverzet. Egy alternatíva az LU felbontás, amely létrehoz egy felsőbb és egy alsóbb háromszögű mátrixot, melyeket könnyebb invertálni. Speciális célokra –lehet hogy ez nyilvánvaló- invertálhatunk mátrixokat mn-…-mn mátrixok olyképpen kezelésével, mint bármilyen n-…-n mátrix m-…-m mátrixaként némely formulát visszatérőként alkalmazva ( más méretű mátrixok felduzzaszthatóak mesterséges sorokkal és oszlopokkal). Más célokra a Newton módszer egy fajtája használható (konkrétan amikor kapcsolodó mátrixok családjával foglalkozunk, tehát a korábbi mátrixok inverzeit használhatjuk fel későbbi mátrixok inverzeinek létrhozására.)

Analitikai megoldás

Kofaktorok (közös osztók?) speciális mátrixának írása- adjugát mátrixként ismert – lehet egy másik hatékony módja kis mátrixok inverzének kiszámolására, de ez a visszatérő módszer nem hatékony nagy mátrixoknál. Hogy meghatározzuk az inverzet kiszámoljuk a cofaktorok mátrixát:

$\mathbf{A}^{-1}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}_{ij}\right)^{\mathrm{T}}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}_{ji}\right)={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}} \begin{pmatrix} \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{21} & \cdots & \mathbf{C}_{n1} \\ \mathbf{C}_{12} & \mathbf{C}_{22} & \cdots & \mathbf{C}_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{C}_{1n} & \mathbf{C}_{2n} & \cdots & \mathbf{C}_{nn} \\ \end{pmatrix}$

ahol |A| az A determinánsa, Cij a mátrix cofaktor és AT jelöli a mátrix átvitelt.

A legtöbb praktikus használathoz nem feltétlenül szükséges invertálni a mátrixot ahhoz, hogy megoldjuk az elsőfokú egyenlet rendszerét; de akárhogy is az egyedülálló megoldás eléréséért a mátrixnak köze kell legyen az invertálhatósághoz.

A felbontási technikák, mint pl. az LU felbontás, sokkal gyorsabbak, mint az inverzió és a lineáris rendszer speciális osztályainál különféle gyors algoritmusokat is felfedeztek.

2×2 mátrixok inverziója

A fent említett cofaktor egyenlet a következő eredményt hozza 2×2 mátrixokra. Ezen mátrixok inverziója könnyedén végrehajtható a következők szerint:

^[1]

$\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix}.$

Ez lehetséges, hiszen 1/(ad-bc) a kérdéses mátrix determinánsának reciproka és ugyanez a stratégia használható más méretű mátrixokra is.

Tömbszerű inverzió

A mátrixok invertálhatóak tömbszerűen is a következő analitikai inverziós formula használatával:

$\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}^{-1}+\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{CA}^{-1} & -\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1} \\ -(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{CA}^{-1} & (\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1} \end{bmatrix}$

$(1)\,$

ahol A,B,C és D tetszőleges méretű mátrix altömbök. ( A és D-nek természetesen muszáj négyzet mátrixnak lennie, hogy invertálhatóak legyenek) Ez a stratégia különösen hasznos ha A diagonális és D−CA-1B ( az A Schur kiegészítése ) egy kis mátrix, mivel ezek az egyetlen mátrixok, melyek inverziót igényelnek. Ez a technika több alkalommal is fel lett találva, köszönhető Hans Bolz (1923), aki geodetikus mátrixok inverziójára használta, illetve Tadeusz Banachiewicz, aki egyetemesítette és bebizonyította helyességét.

Az inverziós folyamat, amely az egyenlethez (1) vezetett mátrix tömbműködést hajtott végre, amely először C és D–nél működött. Ehelyett ha A és B van először működtetve az eredmény

$\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} (\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1} & -(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{BD}^{-1} \\ -\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1} & \mathbf{D}^{-1}+\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{BD}^{-1}\end{bmatrix}$

$(2)\,$

Egyenleteket egyesítve (1) és (2) ez következik

$(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1} = \mathbf{A}^{-1}+\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{CA}^{-1}\,$

$(3)\,$

$(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{BD}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\,$

$\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1} = (\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{CA}^{-1}\,$

$\mathbf{D}^{-1}+\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{BD}^{-1} = (\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\,$

ahol a az egyenlet (3) mátrix inverzió lemma, amely egyenértékű a binomiális inverzió tételével.

A mátrix inverzió lemma bizonyítása

Először szorozzuk meg az egyenlet (3) RHS-ét az LHS inverzével, hogy megkapjuk

$\mathbf{I}=\mathbf{I}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{CA}^{-1}+\left(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C}\right)\left(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\right)\left(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B}\right)^{-1}\mathbf{CA}^{-1}$

$\begin{align} &\left(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C}\right)\left(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\right)\left(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B}\right)^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1} \\ =&\left(\mathbf{B}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B}\right)\left(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B}\right)^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1} \\ =&\mathbf{B}\underbrace{\left(\mathbf{I}-\mathbf{D}^{-1}\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B}\right)\left(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B}\right)^{-1}}_\mathbf{P}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1} \end{align}$

Jegyezzük, hogy ha meg tudjuk mutatni, hogy $\mathbf{P}=\mathbf{D}^{-1}$ , akkor a $\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}$ , határ el lenne törölve. Tökéletesítve

$\left(\mathbf{I}-\mathbf{D}^{-1}\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B}\right)\left(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B}\right)^{-1}=\mathbf{D}^{-1}\left(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B}\right)\left(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B}\right)^{-1}=\mathbf{D}^{-1}$