Differenciálgép

Charles Babbage differenciálgépének részlete, amit halála után a fia állított össze a Babbage laboratóriumában talált részekből

A differenciálgép (difference engine) egy mechanikus számológép, ami képes polinomfüggvények táblázatait kiszámolni. Mivel számos bonyolultabb függvény, többek között a logaritmus és a trigonometrikus függvények is közelíthetőek hatványsorral, egy ilyen gép sokoldalú számításokra képes.

Tartalomjegyzék

1 Története
2 Működése
3 Matematikai háttér
4 Példa
5 Lásd még
6 Külső hivatkozások

[szerkesztés] Története

Babbage gépének a Science Museum által készített másolata.

Az első ilyen tervet Johann Müller készítette 1786-ban, de nem építette meg a gépet. Az ötlet feledésbe merült, és Charles Babbage fedezte fel újra 1822-ben, a Royal Astronomical Society-hez írt "Note on the application of machinery to the computation of very big mathematical tables." („a nagyon nagy matematikai táblázatok gép általi kiszámításáról”) című cikkében. A gép tizes számrendszert használt, és egy kar tekerésével lehetett működtetni. Babbage az angol kormány anyagi támogatásával elkezdte építeni a gépet, de hamarosan áttért egy sokkal általánosabb analitikus gép terevezésére. Később, 1847–49 között elkészítette egy fejlettebbb differenciálgép, a "Difference Engine No. 2" terveit. Ezekre alapozva 1855 után Per Georg Scheutz, majd Martin Wiberg épített differenciálgépet.

1991-re, Babbage születésének kétszázadik évfordulójára a londoni Science Museum Babbage tervei alapján elkészítette a Difference Engine No. 2 korhű mását, korabeli gyártási technológia felhasználásával. 2000-ben rekonstruálták a Babbage által a géphez tervezett nyomtatót is. Néhány appróbb hibát ki kellett javítaniuk Babbage terveiben, de ezután a gépek tökéletesen működtek, és működnek ma is. Ezzel eldőlt a hosszú ideje tartó vita, hogy lehetséges lett volna-e Babbage tervei alapján működőképes gépet készíteni a korabeli technológiával elérhető pontosság mellett.

[szerkesztés] Működése

Közelkép a Science Museum-beli gép oszlopairól

A differenciálgép egy sor oszlopból áll, minden oszlop egy tízes számrendszerbeli számot tud tárolni. A gép egyetlen műveletre képes, egy oszlop értékének az előző oszlopéhoz való hozzáadására. Az utolsó oszlop csak egy konstanst tud tárolni, az első oszlop jelzi (vagy nyomtatja) ki az eredményt.

A gép programozása az egyes oszlopok kezdeti értékeinek beállításából áll. Az első oszlopba a polinom egy adott helyen felvett értéket kellett állítani, a továbbiakban a deriváltak értékeit. Ezután a gépet meghajtva az oszlopok forogni kezdenek, és az oszlopok értéke négy fázisban (egy a páratlan, egy a páros oszlopoknak, azon belül pedig egy az összeadásnak, egy az átvitelnek) hozzáadódnak az előttük lévőhöz.

[szerkesztés] Matematikai háttér

Mivel a gép nem tud szorozni, nem képes kiszámolni egy polinom értékét. Ha azonban egy adott érték (a deriváltakkal együtt) már rendelkezésre áll, a Newton-módszer alkalmazásával közelítően ki tudja számolni a függvény értékét más helyeken: ha a táblázatot $h$ beosztással kell elkészíteni, legyen

$\Delta_h f(a) = f(a+h)-f(a) \,$ ,

ekkor

$f(a+h) = f(a) + \Delta_h f(a) \,$ .

$\Delta_h f \,$ -re is alkalmazhatjuk ugyanezt az eljárást:

$\Delta_h^2 f(a) = \Delta_h f(a+h) - \Delta_h f(a) = (f(a+2h)-f(a+h)) - (f(a+h)-f(a))$ ,

és

$\Delta_h f(a+h) = \Delta_h f(a) + \Delta_h^2 f(a)$ ,

amiből

$f(a+2h) = f(a) + \Delta_h f(a) + \Delta_h f(a+h) = f(a) + \Delta_h f(a) + (\Delta_h f(a) + \Delta_h^2 f(a))$ .

A különbségeket $f$ -nek $n$ különböző értéke alapján $n$ szintig kiszámolva $\Delta_h^n$ -t vehetjük a-tól független konstansnak, és így közelíthetjük $f (a + k h)$ értékét tetszőleges $k$ -ra; adifferenciálgép éppen ezt teszi, az $i$ -edik tengelyt $\Delta_h^i$ -nek megfeleltetve. (Mai fogalmakkal azt mondhatjuk, hogy a gép Taylor-sorának első $n$ tagjával közelíti a függvényt.)

[szerkesztés] Példa

Vegyük a $p (x) = 2 x 2 - 3 x + 2$ másodfokú polinomot. A $p (0)$ , $p (1)$ , $p (2)$ értékeket kézzel kiszámítva, majd ezekből a differenciákat és azokból a további függvényértékeket kifejezve az alábbi eredményt kapjuk:

$p (0) = 2.0$ *
	$Δ p (0) = 1.72 - 2.0 = - 0.28$ **
$p (0.1) = 1.72$ *		$Δ 2 p (0) = 0.24 - 0.28 = 0.04$ **
	$Δ p (0.1) = 1.48 - 1.72 = - 0.24$ **
$p (0.2) = 1.48$ *		$0.04$ *******
	$- 0.24 + 0.04 = - 0.20$ ********
$p (0.3) = 1.48 - 0.20 = 1.28$ ********		$0.04$ *******
	$- 0.20 + 0.04 = - 0.16$ ********
$p (0.4) = 1.28 - 0.16 = 1.12$ ********

* Kézzel kiszámított érték
: ** A két balra fent és a balra lent található elem különbsége
: *** A fölötte levő elemmel azonos
: **** A fölötte és a tőle jobbra fel található elem összege

Mivel a másodfokú függvény második deriváltja konstans, itt nem keletkezett közelítési hiba azzal, hogy $Δ 2 p$ -t állandónak vettük.