Keresés

Eszközök

Derivált

A derivált a függvénygörbe érintőjének meredeksége, azaz az érintő x tengellyel bezárt szögének tangense. Minél jobban nő a függvény egy adott szakaszon, annál nagyobb a derivált.

A matematikában a derivált (vagy differenciálhányados) a matematikai analízis egyik legalapvetőbb fogalma. A derivált lényegében annak a mértéke, hogy egy egyváltozós valós függvény görbéjéhez rajzolt érintője milyen meredek. Ez a geometriai jellegű fogalom szoros kapcsolatban van a függvény növekedésének elemzésével, a függvényvizsgálattal. A deriváltból következtethetünk a függvény

menetére (azaz, hogy monoton növekvő vagy monoton fogyó-e),
szélsőértékeire (lehet-e az adott pontban maximuma vagy minimuma),
grafikonjának görbületére (konvex vagy konkáv-e a függvénygörbe)
a növekedés mértékére (gyorsan változik-e a függvény vagy lassan)
a függvény közelítő értékére, lineárissal történő közelíthetőségére.

A derivált fogama a XVI. és XVII. században fejlődött ki, geometriai és mechanikai problémák megoldása során. Azóta a differenciálszámítás a matematika nagyon jól feldolgozott témaköre,^[1] alkalmazása számos tudományban nélkülözhetetlen. Szigorú matematikai fogalomként csak a függvények differenciálhatóságának fogalmával együtt tárgyalható, de szemléletes taralma enélkül is megérthető.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Szigorú definíció és jelölések

Legyen f egyváltozós valós függvény, x₀ az értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény x₀-beli deriváltján vagy differenciálhányadosán a

$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

határértéket értjük, ha ez létezik és véges (azaz valós szám).^[2]

Ez a határérték azaz a derivált, ha létezik egyértelmű és jelölése:

$f'(x_0)\,$ , vagy $\frac{df(x_0)}{dx}$ , vagy $\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=x_0}$

Az első a Lagrange-féle jelölés, ő használta először a „derivált” kifejezést. A második a Leibniz-féle, ő differenciálhányadosnak nevezte (később Hamilton differenciálkoeficiensként említi). Newton a deriváltat ponttal jelölte: $\scriptstyle{\dot{v}}$ és fluxiónak nevezte.^[3]

Szokás még a magyar matematikai irodalomban (rögzített x-re) az

$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

hányadosnak külön nevet adni, ezt differenciahányadosnak vagy különbségi hányadosnak nevezik. Ezek után változónak gondolva az x-et, a hányados x₀-beli határértéke (ha létezik és véges) a derivált.

[szerkesztés] Magyarázat

Az x pontbeli differenciálhányadost a számítások során még így is szokták írni:

$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ illetve $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

h -t, illetve Δx -et a független változó növekményének, f(x+h) – f(x) -et, illetve f(x+Δx) – f(x) -et a függvény vagy a függő változó növekményének nevezzük. Ez az írásmód a következő szemléletes tartalmakkal kapcsolatosak.

[szerkesztés] Mechanikai interpretáció

Képzeljük azt, hogy a függvény, amit vizsgálunk egy test s = s(t) út-idő összefüggése. Egy Δt időtartamot véve a t időpont után a következőt kapjuk a különbségi hányadosra:

$\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}\,$

A számlálóban a Δt időtartam alatt megtett út, a nevezőben az ezen út megtételéhez szükséges idő áll, így a hányados a test [t, t + Δt] időintevallumban számított átlagsebességét adja. Ha a test nem túl gyorsan változtatja a sebességét és egyre kisebb Δt időtartamokra számoljuk ki ezt a hányadost, például 0,01, 0,001, ... másodpercre, akkor a hányados értéke már nem nagyon fog változni és leginkább a t időpontra jellemző sebességadatot, a pillanatnyi sebességet kapjuk:

$v_t=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}\,=\dot{s}(t)$

Az $\scriptstyle{\dot{s}(t)}$ pontozott jelölést Newton óta a t változótól függő függvények deriváltjának jelölésére alkalmazzák.

Megjegyezzük, hogy Newton a differenciálszámítást a mechanika alaptörvényeinek felállítására alkalmaza, így ebben a tudományban szinte minden fogalom feltételezi a deriválás eszközét.

[szerkesztés] Geometriai interpretáció

[szerkesztés] Kiszámítása

Alapderiváltak
$f\,$	$f'\,$
$c\,$	$0\,$
$x^n\,$	$n\,x^{n-1}\,$
$x\,$	$1\,$
$\sin x\,$	$\cos x\,$
$\cos x\,$	$- \sin x\,$
$\operatorname{tan}x\,$	$\frac{1}{\cos^2 x}$
$\log_a(x)\,$	$\frac{1}{\ x * {ln}a}\,$
$\operatorname{ln}x\,$	$\frac{1}{\ x}$
e^x	$e^x\,$

$c\,$ konstans

$n\,$ paraméter

Egyszerűbb, például algebrai függvények esetén a deriváltat a függvény értelmezési tartományának minden pontjában "egyszerre", nehézség nélkül kiszámíthatjuk. Példaként tekintsük az

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}; x\mapsto x^3$

függvény deriváltját. A különbségi hányados egy tetszőleges x pontban és nullától különböző Δx-re:

$\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{(x+\Delta x)^3 - (x)^3}{\Delta x} =$

$= \frac{(x^3 + 3 x ^2 \Delta x + 3 x \Delta x ^2 + \Delta x^3) - x^3}{\Delta x} =$

$= \frac{(3 x ^2 \Delta x + 3 x \Delta x ^2 + \Delta x^3)}{\Delta x}$

$= 3 x^2 + 3 x \Delta x + \Delta x^2 \,$

Vagyis a deriváltat az

$f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}(3 x^2 + 3 x \Delta x + \Delta x^2)$

határérték adja. Az egyszerűsítére az ad lehetőséget, hogy míg a differenciahányados a Δx = 0 helyen nem értelmezett, addig a fenti számítás és a másodfokú függvény folytonossága miatt a mindenhol értelmezett

$K:\Delta x \mapsto 3 x^2 + 3 x \Delta x + \Delta x^2$

függvény folytonos kiterjesztése a különbségi hányadosnak, így határértéke egyszerűen egybeeseik a helyettesítési értékével. A különbségi hányados határértékét tehát úgy kaphatjuk, hogy K-ban Δx helyére 0-t írunk:

$f'(x)=\left.K(\Delta x)\right|_{\Delta x = 0}=3x^2$