חיפוש

תיבת כלים

שפות אחרות

סימון מתמטי

במתמטיקה ובלוגיקה נהוג לסמן עצמים, יחסים ואף מילות קישור בסימנים מיוחדים, על-מנת לקצר ולחסוך אי-הבנות בכתיבה ובקריאה. בערך זה מובאת רשימה של סימונים שכיחים.

קריאתם של ביטויים מתמטיים נעשית משמאל לימין, גם כאשר הם משולבים בטקסט עברי.

תוכן עניינים

1 שימוש באותיות
2 סימונים אריתמטיים בסיסיים
3 יחסים
4 לוגיקה פורמלית
5 תורת הקבוצות
- 5.1 בניית קבוצות
- 5.2 סימונים מקובלים
6 קבוצות חשובות
7 סימונים חשובים נוספים
8 דוגמה
9 ראו גם
10 קישורים חיצוניים

[עריכה] שימוש באותיות

יש כמה מערכות מספרים וקבועים מספריים שקיבלו סימן קבוע משלהם (ראו להלן).

מלבד אלה, נהוגה היררכיה של סוגי אותיות, הנמצאת בהתאמת-מה לגודלו של האובייקט המסומן. לדוגמה, מרחב וקטורי יסומן באות לטינית גדולה כגון $\ V$ , בעוד שאבריו יסומנו באותיות קטנות $\ u,v\in V$ , ומשפחה של מרחבים תסומן באות מעוטרת כגון $\ \mathcal V$ . אלו אינם כללים מחייבים, ויש להם יוצאי דופן רבים. לדוגמה, טופולוגיה מקובל לסמן באות היוונית טאו, בעוד שאת הקבוצות הפתוחות השייכות לטופולוגיה מסמנים באותיות לטיניות גדולות, למשל $\ U\in \tau$ .

[עריכה] סימונים אריתמטיים בסיסיים

סימון	שם	דוגמה	הערות
$\ +$	פלוס / חיבור	$\ 1 + 3 = 4$	משמש גם לחיבור קבוצות
$\ -$	מינוס / חיסור	$\ 4 - 1 = 3$
$\ \cdot$ או $\ \times$	כפל	$\ 2 \cdot 4 = 4 \times 2 = 8$	בדרך כלל, אפשר להשתמש בסימון $\cdot$ ובסימון $\times$ להביע את אותה הפעולה. אך כאשר מדובר ב-וקטורים, לשני הסימונים יש כוונות שונות. הביטוי ${\vec A}\cdot{\vec B}$ הוא מכפלה סקלרית, אבל ${\vec A}\times{\vec B}$ הוא מכפלה וקטורית.
$\ \frac{a}{b}$ או $\ a/b$	חילוק	$\ \frac{8}{4} = 2 = 8/4$
$\left(~~\right)$	סוגריים	$3\times\left(5-1\right)=12$ ${5\choose3}=\frac{5!}{3!\cdot\left(5-3\right)!}$	הסוגריים קובעים את סדר הפעולות: לביטוי שבתוך הסוגריים ערך מספרי שאותו יש לחשב בנפרד. בקומבינטוריקה, הסוגריים משמשים לסימון המקדמים הבינומיים: ${5\choose3} = \frac{5!}{3!2!}$ . הסוגריים מסמנים גם זוגות סדורים, שבהם חשיבות לסדר (בניגוד לקבוצות): $\left(5, 4\right)$ .
$\%$	אחוז	$34/100=0.34=34\%$
$\ a^b$	חזקה	$\ 2^3 = 8$
$\ \sqrt{a}$	שורש ריבועי	$\ \sqrt{4} = 2$
$\ \sqrt[n]{a}$	שורש מסדר n	$\ \sqrt[3]{8} =2$
$\ \left\|a\right\|$	ערך מוחלט (או דטרמיננטה אם $\displaystyle a$ הוא מטריצה)	$\ \|1\| = \|-1\| = 1$	הערך המוחלט של מספר ממשי או מרוכב הוא המרחק שלו מאפס. הסימון משמש גם לדטרמיננטה של מטריצה.
$\ !$	עצרת	$\ 5! = 1\times2\times3\times4\times5 = 120$
$\ \pm$	פלוס מינוס	$\ x=\pm3$ $41\%\pm2\%$	שני שימושים עיקריים: 1. לציון שכל אחד משני הסימנים (פלוס או מינוס) אפשרי, כגון "פתרונות המשוואה $\ x^2=9$ הם $\ x=\pm 3$ ". מקובל שאם התו מופיע פעמיים באותו ביטוי, הוא מתייחס לאותו סימן: $\ 4\cdot \sqrt{9} = 4\cdot (\pm 3) = \pm 12$ ; כדי לתאר סימנים הפוכים, משתמשים בתו ההפוך $\ \mp$ , כגון $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ . 2. לציון טווח (כגון בסטטיסטיקה, $\ 41\%\pm 2\%$ , היינו בין $\ 39\%$ ל- $\ 43\%$ )

[עריכה] יחסים

סימון	שם	משמעות	דוגמה	דוגמה במילים	הערות
$\ =$	שווה	הביטויים בשני צדי הסימון שווים זה לזה	$\ A=B$	$\ A$ שווה ל- $\ B$
$\ >$	גדול מ-	הביטוי בצד שמאל גדול מהביטוי בצד ימין	$\ A > B$	$\ A$ גדול מ- $\ B$	קיים סימון הפוך: $\ <$
$\ \geq$	גדול מ- או שווה ל-	הביטוי בצד שמאל גדול או שווה לביטוי בצד ימין	$\ A \geq B$	$\ A$ גדול מ או שווה ל- $\ B$	קיים סימון הפוך: $\ \leq$
$\gg$	הרבה יותר גדול מ-	הביטוי בצד שמאל הרבה יותר גדול (כך שזה כבר לא באותו סדר גודל) מהבטוי בצד ימין	$A\gg B$	$\ A$ הרבה יותר גדול מ- $\ B$	קיים סימון הפוך: $\ \ll$
$\ \sim$	דומה ל-	הביטויים משני צידי הסימון הם באותו סדר גודל	$\ A \sim B$	$\ A$ דומה ל- $\ B$
$\ \approx$	שווה בקירוב ל-	הביטויים שווים בערכם המקורב זה לזה	$\ A \approx B$	$\ A$ שווה בקירוב ל - $\ B$
$\ /$	אינו (סימון)	היחס אינו מתקיים	$\ A \neq B$	$\ A$ אינו שווה ל - $\ B$	מגיע כשלילה למגוון סימונים שונים
$\propto$	יחס ישר	לביטוי בצד שמאל יש יחס ישיר לביטוי בצד ימין.	$A\propto B$	אם מכפילים את $\displaystyle B$ ב- $\displaystyle2$ אז גם $\displaystyle A$ מוכפל ב- $\displaystyle2$

[עריכה] לוגיקה פורמלית

משפטים מורכבים לעתים מחלקים, אשר גוררים לוגית זה את זה. למשל המשפט "בכל מחשב יש מעבד", גורר שאם קיים מחשב, אזי קיים מעבד. הוא אינו גורר שקיים מחשב, או שאם יש מעבד, הוא בהכרח נמצא בתוך מחשב. המשפט "כל מעבד נמצא במחשב" אינו נובע מהמשפט הנ"ל. כמו כן, ישנם משפטים השקולים זה לזה, למשל "כל העטים כחולים, ורק הם כחולים", ו - "אם משהו הוא כחול, אזי הוא עט, ואם משהו הוא עט, אזי הוא כחול". בקיצור, אפשר לומר ש"x הוא עט אם ורק אם הוא כחול".

סימון	שם	משמעות	דוגמה	דוגמה במילים	הערות
$\ \Rightarrow$	גורר ש-	הביטוי / ההסק הלוגי מצד שמאל גורר את זה שמצד ימין	$\ A = B \Rightarrow B = A$	$\ A = B$ גורר ש - $\ B = A$
$\ \Leftrightarrow$	אם ורק אם / שקילות	הביטויים גוררים זה את זה	$\ A = B \Leftrightarrow B = A$	$\ A = B$ אם ורק אם - $\ B = A$
$\ \forall$	לכל	לכל איבר המקיים [...]	$\ \forall a > 10 : a > 9$	לכל a הגדול מ-10, a גדול מ-9
$\ \exist$	קיים	קיים איבר המקיים [...]	$\ \exist~a < 3$	קיים a הקטן מ-3.
$\ \exist !$	קיים יחיד	קיים איבר יחיד המקיים [...]	$\ \exist ! L \in \mathbb{N}: 7 < L < 9$	קיים מספר טבעי יחיד $\ L$ בין 7 ל- 9.
$\ \equiv$	מוגדר בתור / שווה ערך ל -	הביטוי בצד שמאל מוגדר כביטוי בצד ימין	$\ A \equiv B$	$\ A$ מוגדר בתור / שווה ערך ל - $\ B$	הסימון משמש למספר דברים שונים במתמטיקה

[עריכה] תורת הקבוצות

[עריכה] בניית קבוצות

באופן כללי, קבוצות מסומנות בסוגריים מסולסלים, כאשר איברי הקבוצה מנויים בין הסוגריים. כך ניתן גם להגדיר את הקבוצה, באופן חד משמעי: תחילה נסמן את האיברים, ואחר כך את התנאי שהם מקיימים, כאשר קיימת הפרדה ביניהם. למשל, קבוצת כל המספרים הממשיים הקטנים מ-2 אך הגדולים מ-1 תסומן: $\ A = \{ a \mid 1<a<2 \}$ או: $\ A = \{ a \mid 1<a,a<2 \}$ .

[עריכה] סימונים מקובלים

סימון	שם	הסבר	דוגמה	דוגמה במילים	הערות
$\ \in$	נמצא ב - / שייך ל -	הביטוי בצד שמאל נמצא כאיבר בקבוצה שבצד ימין	$\ A \in B$	$\ A$ נמצא ב- $\ B$
$\ \subset$	מוכל ב-	הקבוצה בצדו השמאלי של הסימן מוכלת בקבוצה שבצדו הימני של הסימן	$\ A \subset B$	$\ A$ מוכל ב- $\ B$	אפשר גם כך: הקבוצה בצד הימני מוכלת בקבוצה שבצד השמאלי: $\ \supset$
$\ \subseteq$	מוכל או שווה ל-	הקבוצה בצדו השמאלי של הסימן מוכלת בקבוצה בצדו הימני של הסימן או שווה לה	$\ A \subseteq B$	$\ A$ מוכל ב- או שווה ל- $\ B$	אפשר גם כך: הקבוצה בצד הימני מוכלת בקבוצה בצד השמאלי, או שווה לה: $\ \supseteq$
$\ \cup$	איחוד	איחוד של שתי קבוצות $\ A$ ו- $\ B$ הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים של שתי הקבוצות	$\ A\cup B$	$\ A$ איחוד $\ B$
$\ \cap$	חיתוך	חיתוך של שתי קבוצות $\ A$ ו- $\ B$ הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב- $\ A$ ששייכים גם ל- $\ B$	$\ A\cap B$	$\ A$ חיתוך $\ B$
$\ \Delta$	הפרש סימטרי	הפרש סימטרי של שתי קבוצות הוא קבוצת כל האיברים השייכים בדיוק לאחת משתי הקבוצות	$\ A\Delta B$
$\displaystyle\aleph_0$	עוצמת המספרים הטבעיים - האינסוף הקטן ביותר, כמשמעותו של מושג זה בתורת הקבוצות
$\!\, \aleph$	אלף - עוצמת הרצף	עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים ושל קבוצת הנקודות על קו ישר או על קטע.

[עריכה] קבוצות חשובות

סימון	שם	הגדרה
$\ \mathbb{N}$	המספרים הטבעיים	$\ \mathbb{N} = \{ 1,2,3,... \}$
$\ \mathbb{Z}$	המספרים השלמים	$\ \mathbb{Z} = \{ 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,... \}$
$\ \mathbb{Q}$	המספרים הרציונלים	$\ \mathbb{Q} = \{\frac{n}{m} \mid n,m\in \mathbb{Z},m\ne 0 \}$
$\ \mathbb{R}$	המספרים הממשיים	$\ \mathbb{R} = (- \infty , \infty)$
$\ \mathbb{C}$	המספרים המרוכבים	$\ \mathbb{C} = \{ x+yi \mid x,y \in \mathbb{R} \}$ כאשר $\ i^2 = -1$

[עריכה] סימונים חשובים נוספים

סימונים חשובים נוספים הלקוחים מתחומי האנליזה, האלגברה, הפיזיקה ועוד:

סימון	שם	הסבר	דוגמה
$\ c_i$	אינדקס	האיבר במקום ה[אינדקס] בקבוצה כלשהי	$\ c_3 , a_4 , F_{42} , \alpha_{\beta_{\gamma}}$
$\ a_n$	איבר בסדרה $\ \{ a_n \}$	כל איבר בסדרה מיוצג על ידי שם הסדרה ומספר האינדקס שלו בסדרה	$\ \{ a_n \} = a_1 , a_2 , a_3 , ... , a_n$
$\ \sum_{i=a}^{n}$	סכום	סכום האיברים בעלי האינדקסים a עד n	$\ \sum_{i=0}^{n} {q^i} = q^0+q^1+\dots+q^n= \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$ (סכום סדרה הנדסית)
$\ \prod_{i=a}^{n}$	מכפלה	מכפלת האיברים בעלי האינדקסים a עד n	$\ \prod_{i=0}^{4} {a_i} = a_0 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4$
$\ f(x)$	פונקציה	הפעלת הפונקציה $\ f$ על המשתנה $\ x$	$\ f(x)= \sin (x) , f(\frac{\pi}{2} ) = \sin{( \frac{\pi}{2})} = 1$
$\ \vec{v} \backslash \bar{v}$	וקטור	שתי הצורות מקובלות, לעתים נהוג אף לסמן וקטור באות דגושה.	$\ \vec{r} = (-1,4,2),\bar{A}=\mathbf{A}$
$\ f ^ \prime$ או $\ \dot {f}$	נגזרת	סימון לנגזרת. הסימון הימני הוא המקובל יותר בקרב המתמטיקאים ואילו השמאלי נפוץ יותר בקרב פיזקאים ובעיקר כאשר הנגזרת היא לפי הזמן.	$\ \dot{r} = v , (x^2)^ \prime =2x$
$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$	נגזרת חלקית	הנגזרת החלקית של הפונקציה $\displaystyle f(x,y)$ יחסית ל- $\displaystyle x$ אבל לא ל- $\displaystyle y$	$\frac{\partial}{\partial x} x^3y=3x^2y$
$\ \int$	אינטגרל	סימון לאינטגרל.	$\int_a^b{f(x)dx}$
$\oint_{C}$		אינטגרל קווי על מסלול סגור (כלומר אין למסלול התחלה או סוף) וה- $C$ הוא קיצור למילה האנגלית contour
$\ \hat {u}$	וקטור יחידה	וקטור בעל אורך יחידה	$\ \hat{x} = (1,0,0) , \hat{y} = (0,1,0) , \hat{z} = (0,0,1)$
$\ \mathbb{F}^n (n \in \mathbb{N})$	מרחב וקטורי מעל שדה $\ \mathbb{F}$ , בעל $\ n$ רכיבים לקואורדינטה	ראו מרחב וקטורי	$\ \mathbb{V} = \mathbb{R}^n$
$\ \langle a,b\rangle$	מכפלה פנימית של a ב- b	ראו מרחב מכפלה פנימית
$\imath$	מספר מדומה (קיצור באנגלית של המלה imaginary)	$\sqrt{-1}$	$\imath^2=-1$
$\Re$	החלק הממשי של מספר מרוכב	$\Re\left\{5-2\imath\right\}=5$	5 זה החלק הממשי של המספר המורכב $5-2\imath$
$\Im$	החלק המדומה של מספר מרוכב	$\Im\left\{5-2\imath\right\}=-2$	2- זה החלק הדומה של המספר המורכב $5-2\imath$
$\ \lim_{x \rightarrow a} f(x)$	גבול	גבול של f (לרוב פונקציה או סדרה) כאשר המשתנה לפיו מחושב הגבול שואף ל- a	$\ \lim_{x \rightarrow 1}3x=3$
$\ \infty$	אינסוף (במשמעותו בחשבון אינפיניטסימלי)	משמש לשם הצגת שאיפה לאינסוף של משתנים, סדרות ופונקציות	$\ \lim_{n \rightarrow \infty} n^2=\infty$
$\nabla$	נבלה	וקטור דיפרנציאלי	הגרדיאנט של פונקציה סקלארית $\displaystyle f(x)$ $~~~~$ — $~~~~$ $\nabla f(x)~~~~~~~~~$ הדיברגנץ של פונקציה וקטורית $\displaystyle {\vec f(x)}$ $~~~~$ — $~~~~$ $\nabla \cdot {\vec f(x)}$ הרוטור של פונקציה וקטורית $\displaystyle {\vec f(x)}$ $~~~~$ — $~~~~$ $\nabla \times {\vec f(x)}$ הלפלסיאן של פונקציה סקלארית $\displaystyle f(x)$ $~~~~$ — $~~~~$ $\nabla^2 f(x)$
$\ (f*g)(x)$	קונבולוציה	הקונבולוציה של הפונקציה $\displaystyle f(x)$ עם הפונקציה $\displaystyle g(x)$
$F(\omega)={\mathcal F}\left\{f(t)\right\}$	התמרת פורייה	התמרת פורייה של הפונקציה $\ f$ מתחום המשתנה $\ t$ לתחום המשתנה $\ \omega$
$F(s)={\mathcal{L}}\left\{f(t)\right\}$	התמרת לפלס	התמרת לפלס של הפונקציה $\ f$ מתחום המשתנה $\ t$ לתחום המשתנה $\ s$
$\lceil~~\rceil$	פונקציית גג	המספר השלם הכי קטן אשר גדול או שווה למספר הנוכחי	$\lceil7.1\rceil=8,~~\lceil-7.1\rceil=-7$
$\lfloor~~\rfloor$	פונקציית רצפה	המספר השלם הכי גדול אשר קטן או שווה למספר הנוכחי	$\lfloor7.9\rfloor=7,~~\lfloor-7.9\rfloor=-8$

[עריכה] דוגמה

נכתוב את דרישות הגבול לסדרות בטקסט ובסימונים לוגיים:
בטקסט: נאמר כי הסדרה $\ a_n$ מתכנסת לגבול $\ L\in \mathbb{R}$ אם ורק אם מתקיים: לכל $\ \varepsilon > 0$ קיים $\ n_0$ טבעי, כך שלכל $\ n$ גדול ממנו מתקיים: $\ |a_n-L|< \varepsilon$
בסימונים: $\ (\forall \varepsilon > 0 , \exist n_0 \in \mathbb{N} , \forall n > n_0 , (n \in \mathbb{N} \rightarrow |a_n-L| < \varepsilon)) \Leftrightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L$

עיינו גם בפורטל

פורטל המתמטיקה הוא שער לכל הנושאים הקשורים במתמטיקה. ניתן למצוא בו קישורים אל תחומי המשנה של ענף המתמטיקה, מושגי יסוד בתחום, היסטוריה של המתמטיקה, מתמטיקאים חשובים ועוד.