דרגות חופש

במודלים מתמטיים, מספר דרגות החופש של מערכת הוא מספר הערכים הבלתי-תלויים המאפשר לתאר את המצב באופן חד משמעי. מקורו של המושג בסטטיסטיקה, שם הוא משמש באופן טכני יותר לתאור מספר הפרמטרים המעורבים בקביעת התפלגות, או מספר המשתנים החופשיים בחישוב. בהשאלה, המונח "מספר דרגות החופש" משמש בכל תחומי המדע, במשמעות דומה לזו של ממד מתמטי או ממד פיזיקלי.

בדרך כלל, כל אחת מדרגות החופש מיוצגת על ידי מספר ממשי (או קטע). לדוגמה: למרות שכל נקודה במישור יכולה להיות מיוצגת על ידי מספר מרוכב אחד, נקודות במישור הכלול במודל יתרמו שתי דרגות חופש למודל.

[עריכה] דוגמאות

כדי לתאר חלקיק נע, יש צורך בשלושה רכיבי מקום (בקואורדינטות קרטזיות), ובשלושה רכיבי מהירות. אם כל אלה בלתי תלויים זה בזה, אומרים שלחלקיק יש 6 דרגות חופש. למיכל גז שיש בו N חלקיקים, יש 6N דרגות חופש - 6 לכל חלקיק. העובדה שהחלקיקים חסומים בתחום מרחבי מסוים אינה פוגעת במספר דרגות החופש. לעומת זאת, חלקיק שתנועתו מוגבלת על ידי משוואות, מפסיד דרגות חופש. למשל, לכלי רכב יבשתי יש 4 דרגות חופש (שתיים לתאור המקום, ושתיים לתאור המהירות), ואילו לעץ תפוחים הנטוע במקום אחד יש רק שתי דרגות חופש. לדיסקית במשחק הוקי קרח יש 5 דרגות חופש: 4 לתאור המקום והתנועה על המשטח הדו-ממדי, ועוד אחת לתאור תנועת הסיבוב של הדיסקית סביב עצמה.

במקרים רבים, מספר דרגות החופש תלוי בחלק של המערכת שאותו מבקשים לתאר. לדוגמה, כדי להבין תאונת דרכים, ייתכן שיש צורך במשתנים רבים נוספים על המקום והמהירות: לחץ האוויר בכל גלגל, המסה הכוללת, הטמפרטורה, ועוד. אם מבקשים לדייק, מספר דרגות החופש מתאר את המודל המתמטי של המערכת הפיזיקלית (ובפרט, את החלק שאותו מעוניינים למדל), ולא את המערכת הפיזיקלית כולה.

לפי משפט העדר השיער, לחור שחור יש שלוש דרגות חופש: המסה, התנע הזוויתי, והמטען החשמלי.

[עריכה] דרגות חופש בסטטיסטיקה

המושג "דרגות חופש" הופיע לראשונה במאמר של פישר מ-1922 על מבחן חי-בריבוע של טבלאות תלות. למשתנה מקרי המוגדר כסכום $\ X=Z_1^2+\dots+Z_n^2$ , כאשר $\ Z_1,\dots,Z_n$ משתנים מקריים נורמליים סטנדרטיים ובלתי תלויים, יש התפלגות הקרויה "התפלגות חי-בריבוע עם n דרגות חופש". אם המשתנים קשורים על ידי המשוואה $\ Z_1+\dots+Z_n = 0$ (כפי שקורה למשל אם מחסירים מכל אחד מהם את הממוצע), אז X מתפלג חי-בריבוע עם n-1 דרגות חופש.