ארכימדס

ארכימדס
Άρχιμήδης
287 לפנה"ס – 212 לפנה"ס

"ארכימדס מהורהר", ציור של דומניקו פטי

תרומות עיקריות

לאחד מהמדענים המובילים של העת העתיקה. בנוסף לתגליות בתחומי המתמטיקה והגאומטריה, תכנן מכונות רבות. הוא הוביל את הבנת יסודות ההידרוסטטיקה, ותיאר את החוק עליו מבוסס המנוף. הפיתוחים בחשבון אינפיניטסימלי

נתונים נוספים
ענף מדעי	פיזיקה,מתמטיקה,הנדסה
ארצות מגורים	יוון העתיקה

ארכימדס (ביוונית: Άρχιμήδης ‏287‏‏‏ - ‏‏212 לפנה"ס) היה מתמטיקאי, פיזיקאי ומהנדס יווני. אף על פי שמעט ידוע על חייו, הוא נחשב לאחד מהמדענים המובילים של העת העתיקה. בנוסף לתגליות בתחומי המתמטיקה והגאומטריה, תכנן מכונות רבות שנחשבו לחדשניות מאוד בתקופתו. הוא הוביל את הבנת יסודות ההידרוסטטיקה, ותיאר את החוק עליו מבוסס המנוף, המכשיר עליו מבוססת המכניקה. הפיתוחים המוקדמים שלו בחשבון אינפיניטסימלי כללו את הסיכום הידוע הראשון של טור אינסופי בשיטה שעדיין בשימוש כיום. ההיסטוריונים של רומא העתיקה הראו עניין רב בארכימדס וחיברו דוחות רבים על חייו ועבודתו, וזאת באמצעות ההעתקים הספורים של חיבוריו ששרדו במהלך ימי הביניים, ואשר היוו מקור משפיע של רעיונות עבור מדענים במהלך הרנסאנס.

מותו של ארכימדס אירע במהלך המצור על סירקוסאי, הרג אותו חייל רומאי שפעל בניגוד לפקודות לפיהם אסור היה לפגוע בו. היסטוריון המתמטיקה אריק טמפל בל מנה את ארכימדס כאחד משלושת המתמטיקאים הגדולים בכל הזמנים, יחד עם סיר אייזק ניוטון וקרל פרידריך גאוס.

[עריכה] ביוגרפיה

ארכימדס נולד בשנת 287 לפנה"ס בעיר הנמל של סירקוסאי, סיציליה. תאריך מותו המשוער בשנת 212 לפנה"ס מבוסס על טיעוניהם של היסטוריונים כי חי 75 שנה. בחיבורו מחשב החול, מזכיר ארכימדס את שם אביו פידיאס, אסטרונום עליו לא ידוע דבר. פלוטארכוס כתב בחיבורו שארכימדס היה קרוב משפחה של המלך היירון השני, טיראן סירקוסאי. הביוגרפיה של ארכימדס נכתבה על ידי חברו היריקלידס אבל עבודה זו אבדה, והשאירה את פרטי חייו מעורפלים. לא ידוע אם הוא נישא אי פעם או אם היו לו ילדים. ארכימדס בילה חלק משנות חייו המקודמות באלכסנדריה שבמצרים, שהייתה אז מרכז חשוב של התרבות הלניסטית, שם הוא למד אצל ממשיכיו של אוקלידס.

ממצרים שב לסירקוסאי ופעל בה במשך שנים רבות, בה גם מצא את מותו, בעת כיבוש העיר על ידי הרומאים. על־פי המסופר הורה מרקוס קלאודיוס מרקלוס, מפקד כוחות הרומאים, שלא לפגוע בארכימדס. אחד מחייליו של מרקלוס נתקל בארכימדס, שהיה עסוק בפתרון בעיה גאומטרית ששירטט בחול. "אל תמחק את המעגלים שלי" (ביוונית: μή μου τούς κύκλους τάραττε; בלטינית: nuli turbare circulos meos), אמר ארכימדס לחייל, שלא ידע בפני מי הוא עומד, וזה הרגו בכעסו. על מצבתו של ארכימדס חרות הישגו המתמטי המועדף של ארכימדס - כדור החסום בגליל בעל גובה וקוטר זהים. ארכימדס הוכיח שנפחו ושטח פניו של הכדור מהווים 2/3 מאלו של הגליל.

עם מותו נשכח גאון המתמטיקה היווני, ורק בתקופת המאה ה-16 שב לתודעת העולם המדעי.

[עריכה] אאורקה

ערך מורחב – אאורקה

על פי אנקדוטה מפורסמת שסופרה על ידי ויטרוביוס בכרך התשיעי של הספר "על אודות האדריכלות", נתבקש ארכימדס לקבוע האם הכתר של המלך היירון השני עשוי מזהב טהור. כדי למצוא את הרכב הכתר היה צריך להשוות את נפחו לנפח של כתר זהב באותו משקל, אולם אז לא ידעו איך למדוד את נפח הכתר. בעת שארכימדס רחץ באמבט ציבורי הוא הבין שגופו השקוע באמבט דוחה כמות מים השווה לנפח גופו. בדרך זו הוא למד כיצד למדוד נפח של גוף כלשהו. מרוב התלהבות יצא בריצה לרחוב כשהוא עירום וצועק "אאורקה!" (מצאתי). הסיפור ככל הנראה לא מדויק משום שהבדלי הנפח בין כתר זהב לכתר מזויף באותו משקל, יגרמו לעליית פני המים בהפרש קטן מדי מכדי שיבחינו בו במכשירי המדידה של אותם ימים.

[עריכה] תגליות והמצאות

בורג ארכימדס - אמצעי יעיל לשאיבת מים

"קרני החום" של ארכימדס

הסיפור הזה על הכתר המוזהב אינו מופיע בעבודותיו הידועות של ארכימדס, אבל בחיבורו "על גופים צפים" הוא תיאר את החוק הידוע בהידרוסטטיקה כחוק ארכימדס. חוק זה קובע שעל גוף השקוע בנוזל פועל כוח עילוי השווה למשקל המים הנדחים על ידי הגוף.

אף על פי שארכימדס לא המציא את המנוף, הוא רשם את ההסבר הידוע המוקדם ביותר של החוק המעורב בתהליכי מנוף, כמו גם את התיאור המוקדם ביותר של המושג מרכז כובד. לפי פאפוס מאלכסנדריה, עבודתו על מנופים גרמה לו לקבוע: "תנו לי נקודת משען ואניף את העולם". פלוטארכוס מתאר כיצד ארכימדס תיכנן מערכות משיכה המורכבות מגלגלות, אשר איפשרו למלחים להיעזר בעוצמתם של מנופים כדי להרים דברים שהיו כבדים מדי להרמה.

חלק נכבד מיצירותיו ההנדסיות של ארכימדס מוקדש היה לצרכיה של עיר הולדתו סירקוסאי. הסופר היווני אתנוס תיאר איך הפקיד הירון השני בידי ארכימדס את תכנונה של הספינה סירקוסיה, שיעשה בה שימוש לטיולי מותרות, הובלת אספקות של צרכים שונים, וכספינת מלחמה ימית. ארכימדס נענה לבקשתו, וזו הפכה לספינה הגדולה ביותר שנבנתה בתקופת העת העתיקה. לפי אתנוס, הספינה הייתה מסוגלת להוביל 600 אנשים וכללה קישוטי גינה, גימנסיון ומקדש שהוקדש לאלילה אפרודיטה. לתחזוקת הספינה תכנן אמצעי לשאיבת מים שהמציא: בורג ארכימדס שמטרתו הייתה לשאוב את המים הרבים שדלפו לתוך ספינה בגודל כזה. מתקנים על בסיס בורג ארכימדס משמשים עד היום להובלת נוזלים, גרעינים ואבקות.

כושר ההמצאה של ארכימדס ויכולתו ההנדסית באו לידי ביטוי באופן מיוחד בפעולותיו לשם הגנת סירקוסאי מפני הרומאים במלחמה הפונית השנייה. פלוטארכוס העיד, שהמצאותיו הצבאיות של ארכימדס מנעו את נחיתת הצי הרומי, בפיקודו של מרקלוס. ארכימדס שיפר את העוצמה והדיוק של הקטפולטה, המציא בליסטראות שהמטירו על הרומאים סלעים שמשקלם רבע טון לפחות, ומכונות אימתניות ששלחו "מקלות וציפורניים" מברזל אל מעבר לחומות העיר, תפסו את הספינות וסחררו אותן אל הסלעים. כלי נשק חדשני אחר שהמציא היה מעין "קרן מוות". זה היה מכשיר הנעזר במראות ענק כדי למקד את קרינת השמש על ספינות בים כדי להביא להתחממותן עד לנקודת שריפה. האמינות ההיסטורית של קיום המכשיר היוותה נושא לדיון מתמשך מאז ימי הרנסאנס. אחרי כישלונו הראשון לכבוש את סירקוסאי כינה מרקלוס את ארכימדס: "בריארוס (מפלצת מיתולוגית בעלת 100 זרועות) הנדסי, המשתמש בספינותיו כתרווד לשאיבת מי הים".

ארכימדס גם המציא "מד מרחק" המבוסס על נפילת כדור בכל מיל נסיעה של עגלה. לפי פאפוס מאלכסנדריה, ארכימדס תיאר גם את בנייתו של מצפה כוכבים בחיבורו "על הכנת כדור" שאבד.

[עריכה] מתמטיקה

נוסף לפרסומו כמתכנן של מכשירים מכניים, נודע ארכימדס גם בזכות הישגיו במתמטיקה. השגים אלה מעידים על יצירתיות וחזון. פלוטארכוס כתב עליו: "הוא הפנה את מלוא החיבה והשאיפה שלו לתחומים הטהורים הללו אשר אין להם קשר לצרכים הרגילים של החיים".

ארכימדס היה הראשון שהשתמש בגדלים אינפיניטסימלים באמצעות חלוקת קבוצה לאינסוף תת קבוצות השואפים בגודלם לאפס, הוא הגיע לדיוק המרבי האפשרי לגבי גודל הקבוצה. שיטה זו ידועה בשם "שיטת המיצוי", והיא מהווה צעד ראשון לקראת החשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. ארכימדס נעזר בשיטה זו כדי לחשב את שטחו של מעגל, בכך גילה את הנוסחה המפורסמת לשטח מעגל המיוחסת לו $S = \pi\cdot R^2$ כאשר S הוא שטח המעגל, $π$ הוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו ו-R הוא רדיוס המעגל . הוא אף הציג שיטה לחישוב $π$ בכל דיוק רצוי, וחישב את ערכו בין הסכום 1/7 + 3 לסכום 10/71 + 3.

ארכימדס השתמש בשיטת המיצוי כדי לאמוד את ערכו של

π

ארכימדס לא הסתפק בחישוב שטחו של עיגול. הוא נעזר שוב בשיטת המיצוי והמציא שיטות לחישוב שטחים ונפחים, חישב שטחים החסומים בפרבולות ובספירלות, נפחי גלילים, פרבולואידים ומקטעים כדוריים. הוא הוכיח ששטחו ונפחו של כדור הוא ביחס של 2:3 לשטחו ונפחו של גליל החוסם כדור זה. כיוון שנוסחאות לחישוב שטח ונפח של גליל היו ידועות, הוכחתו של ארכימדס סיפקה לראשונה נוסחאות לחישוב שטח ונפח של כדור.

ארכימדס היה הראשון, ואולי אף היחיד, מבין המתמטיקאים היוונים שעסק בעקומים מכניים (כאלה שנוצרים על ידי נקודה נעה), בראותו עקומים אלה כנושא ראוי לחקירה, בניגוד לדבקותם של המתמטיקאים היוונים בבנייה בסרגל ומחוגה בלבד. במסגרת חקירתו זו השתמש בספירלת ארכימדס לשם תרבוע העיגול.

בחיבורו "המדידה של המעגל", מצא ארכימדס את השורש הריבועי של 3 כגדול מ-265/153 וקטן מ-1351/780. הערך המחושב של גודל זה הוא 1.7320508076, ולכן אומדן זה מדויק מאוד. ככל הנראה הוא הגיע להערכה זאת באמצעות שיטות חדשות למציאת שורשים שהמציא, אך הוא לא תיאר ולא הסביר את שיטותיו.

בחיבורו "תרבוע הפרבולה", הוכיח ארכימדס שהשטח הכלוא על ידי פרבולה וקו ישר שווה ל-4/3 כפול שטחו של המשולש בעל גובה ובסיס שווים. במהלך הפתרון הוא סיכם לראשונה את הטור גאומטרי האינסופי בעל מנה 1/4:

$\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3} \; .$ .

ב"מחשב החול", ניסה ארכימדס לחשב את מספר גרגירי החול שהיקום עשוי להכיל. במטרה להראות שמספר גרגירי החול ביקום אמנם גדול מאוד אבל סופי. כדי לספור את גרגירי החול, ארכימדס המציא שיטה חדשה שהתבססה על הסמל היווני לרבבה (10,000) לרישום מספרים גדולים עד ‏ $10^{8\cdot 10^{16}}$ .

כתבים חדשים שנכתבו על ידי ארכימדס ונחשפו בזמננו גרמו להרמת קרנו בעיני היסטוריוני המתמטיקה. בכתבים הללו נתגלו תובנות עמוקות של מושג האינסוף, תובנות אשר לא הושגו עד לזמנו של גאורג קנטור, שחי 2300 שנה אחרי ארכימדס.

[עריכה] חיבורים

כיכר ארכימדס בסירקוזה

ארכימדס כתב חיבורים רבים על תוצאות מחקריו. חלק מהם השתמר במקור היווני, אחדים נותרו רק בתרגומם לערבית, ואחדים נעלמו (הידיעה על קיומם הגיעה אלינו באמצעות כתבים של אנשי מדע אחרים, שהסתמכו על כתבי ארכימדס). בין חיבורים אלה: