אקסיומת המקבילים

אקסיומת המקבילים היא האקסיומה החמישית והאחרונה בספרו של אוקלידס, "יסודות", שבו פיתח את הגאומטריה האוקלידית מעקרונות היסוד שלה. האקסיומה ידועה גם בשם "האקסיומה החמישית של אוקלידס".

זוג ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי

אוקלידס ניסח את האקסיומה החמישית כך:

אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזוויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו.

טענה זו שקולה לניסוח המקובל של האקסיומה, הקובע כי "דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שמקביל לישר הנתון".

[עריכה] האקסיומה אצל אוקלידס

בספרו של אוקלידס, "יסודות", מופיעות 5 אקסיומות. ארבע הראשונות הן:

• דרך כל שתי נקודות אפשר להעביר קטע ישר.
• כל קטע אפשר להמשיך ללא גבול כקו ישר.
• בהינתן קטע ישר, ניתן להעביר מעגל שמרכזו בנקודת קצהו האחת, ורדיוסו שווה לקטע הנתון.
• כל הזוויות הישרות חופפות זו לזו.

האקסיומה החמישית, היא אקסיומת המקבילים, בולטת בין שאר האקסיומות של הגאומטריה האוקלידית באורכה ובמורכבותה. רמז לכך שאוקלידס עצמו הסתייג ממנה ניתן למצוא בכך שהוא מוכיח את עשרים ושמונה הטענות הראשונות ב"יסודות" בלי להזדקק לה.

[עריכה] המשפט המשלים לאקסיומת המקבילים

אם סכום שתי זוויות פנימיות הוא 180° אזי הישרים מקבילים ולעולם לא ייפגשו

אוקלידס לא ציין את המשפט המשלים לאקסיומת המקבילים, הקובע כי:

אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזוויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים שווה לסכום שתי זוויות ישרות, אזי הישרים מקבילים ולעולם לא ייפגשו.

ב"יסודות" מופיע משפט השקול למשפט זה (ספר I, משפט 17): סכום שתי זוויות במשולש קטן משתי זוויות ישרות. ההוכחה מתבסס על משפט קודם, הקובע: במשולש, זווית חיצונית גדולה מאחת מהזוויות הפנימיות שאינה צמודה לה. ההוכחה של משפט זה מבוססת על הנחה סמויה של אוקלידס ששני ישרים נפגשים בנקודה אחת בלבד.

במילים אחרות, המשפט המשלים לאקסיומת המקבילים נובע מארבע האקסיומות הראשונות של אוקלידס, בתוספת אקסיומה הקובעת ששני ישרים שאינם מקבילים נפגשים בנקודה אחת בלבד.

[עריכה] תכונות שקולות

בגאומטריה האוקלידית ידועות תכונות רבות השקולות לאקסיומת המקבילים. אם מניחים את ארבע האקסיומות הראשונות, אז כל אחת מתכונות אלה נובעת מאקסיומת המקבילים, וגם גוררת אותה.

בין התכונות השקולות לאקסיומת המקבילים, יש כאלה שבמבט ראשון נראה כי אין להן שום קשר לתכונות של ישרים מקבילים. חלקן נחשבו כל-כך מובנות מאליהן, עד שהתפרסמו הוכחות של אקסיומת המקבילים, שהיו מבוססות בלי משים על תכונות כאלה, אף על פי שכולן כאחת אינן נובעות מארבע האקסיומות הראשונות בגאומטריה האוקלידית. להלן כמה דוגמאות:

1. סכום הזוויות במשולש הוא 180°.
2. קיים משולש שסכום זוויותיו הוא 180°.
3. סכום הזוויות זהה בכל המשולשים.
4. קיים זוג משולשים דומים שאינם משולשים חופפים (Wallis, 1693).
5. כל משולש ניתן לחסום במעגל (בוליי, 1851).
6. אם במרובע שלוש זוויות הן זוויות ישרות, אז גם הזווית הרביעית היא זווית ישרה.
7. קיים מרובע בו כל הזוויות הן זוויות ישרות.
8. קיים זוג ישרים שנמצאים במרחק קבוע זה מזה.
9. שני ישרים המקבילים לישר שלישי, מקבילים זה לזה.
10. בהינתן שני ישרים מקבילים, ישר החותך את אחד מהם בהכרח חותך גם את השני.
11. במשולש ישר זווית, ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי שתי הצלעות הנותרות (משפט פיתגורס).
12. אין חסם עליון לשטח של משולש [1] (גאוס, 1799).

למעשה, גם הניסוח המקובל של האקסיומה כיום הוא תכונה השקולה לניסוח הראשוני של אוקלידס. הניסוח המקובל הופיע לראשונה בפירושו של הפילוסוף והמתמטיקאי פרוקלוס לכתביו של אוקלידס. פרוקלוס, בן המאה החמישית, ניסה אף הוא להוכיח את האקסיומה על בסיס האקסיומות האחרות, וכשל בכך.

[עריכה] נסיונות להוכחה

מורכבותה החריגה של אקסיומת המקבילים הביאה למאמצים רבים, במשך כאלפיים שנה, להוכיח שהיא נובעת מהאקסיומות האחרות, כך שלא יהיה צורך להניחה בנפרד.

[עריכה] פיתוח גאומטריות לא אוקלידיות

ערך מורחב – גאומטריה לא אוקלידית

המאמצים להוכחת האקסיומה עלו בתוהו, עד שבראשית המאה התשע-עשרה הבינו בולאי, לובצ'בסקי וגאוס שנדרש כיוון שונה. כתוצאה מכך פותחו גאומטריות לא אוקלידיות, שבהן אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה אחרת, לרוב כזו שאומרת כי אקסיומת המקבילים בוודאות אינה נכונה לגבי שום צורה באותו מרחב. גאומטריות אילו אינן רק מושגים מדעיים מופשטים, אלא הן מתקבלות במידה והמשטח עליו נמצאת הצורה אינו מישורי. בגאומטריה ההיפרבולית- דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה, בגאומטריה פרויקטיבית כל ישר במישור נפגשים בנקודה כלשהי (אין ישרים מקבילים) וכן הלאה.

[עריכה] ראו גם

• הבעיה הרביעית של הילברט

[עריכה] קישורים חיצוניים

• Roberto Bonola (1912) Non-Euclidean Geometry, Open Court, Chicago.
• MacTutor Archive article on non-Euclidean geometry

[עריכה] לקריאה נוספת

• מריו ליביו, שפת הסימטריה - המשוואה שלא נמצא לה פתרון, הוצאת אריה ניר, 2006, עמ' 208-212
• בנו ארבל, קיצור תולדות המתמטיקה, הוצאת מכון מופ"ת, 2005, עמ' 121, 170