Impossibilité du clonage quantique

Le théorème d'impossibilité du clonage quantique a d'importantes conséquences en informatique quantique. Par exemple, il fait en sorte qu'il est impossible d'adapter un code quantique directement du code de répétition de la théorie des codes classique. Ceci rend la tâche d'élaborer un code quantique difficile par rapport aux codes classiques.

Dans ce cas dit classique, le « clonage » est trivialement réalisable. C'est d'ailleurs la façon dont l'information de cet article est transmis à son lecteur.

Sommaire

[modifier] Le théorème

[modifier] Enonce

Le théorème d'impossibilité du clonage quantique a été énoncé en 1982 par Wootters, Zurek et Dieks. Il a pour sens qu'il est impossible de faire des copies indentiques (des clones) d'états quantiques inconnus. Si les états sont connus, alors les copier est équivalent à copier des bits classiques, donc faisable, par exemple avec la porte CNOT.

Par conséquent, il est impossible de dupliquer des qubits afin de suivre l'algorithme du code de répétition, un des codes les plus simples de la théorie classique correspondante.

Deux états quantiques peuvent être intriqués indentiquement par une porte CNOT, mais ceci n'est pas du clonage parce que les deux systèmes fourniront le même résultat lorsque mesurés.

[modifier] Demonstration

Soit un systeme quantique A dans l'etat $|a\rangle_A$ . Soit un second systeme quantique B de meme espace d'etats, on le prend initialement dans l'etat quelconque $|b\rangle_B$ . ces deux systemes quantiques forment un systeme total dont l'etat est donne par le produit tensoriel $|a\rangle_A|b\rangle_B$ .

On ne peut pas copier $|a\rangle_A$ en le mesurant directement, sous peine de reduire le systeme a l'un de ses etats propres et perdre une partie de l'information contenue dans l'etat initial que l'on veut copier.

On ne peut donc qu'agir sur l'hamiltonien du systeme et donc sur son operateur d'evolution U. On doit ainsi avoir:

$U |a\rangle_A |b\rangle_B = |a\rangle_A |a\rangle_B$

mais aussi pour tout autre etat $|\alpha\rangle_A$ quelconque de A:

$U |\alpha\rangle_A |b\rangle_B = |\alpha\rangle_A |\alpha\rangle_B$

On a donc pout tout $|a\rangle_A$ et $|\alpha\rangle_A$ quelconques, l'operateur U etant unitaire (i.e $U^{\dagger} U=I$ ):

$\langle b|_B \langle a|_A U^{\dagger} U |\alpha\rangle_A |b\rangle_B = \langle a|_B \langle a|_A |\alpha\rangle_A |\alpha\rangle_B$ i.e $\langle b|_B \langle a|_A|\alpha\rangle_A |b\rangle_B = \langle a|_B \langle a|_A |\alpha\rangle_A |\alpha\rangle_B$

soit

$\langle a | \alpha \rangle = \langle a | \alpha \rangle ^2.$

ce qui n'est possible que si ces deux etats sont orthogonaux ou egaux. On entre en contradiction avec l'hypothese de depart que ces etats sont quelconques, on a montre par l'absurde l'impossibilite de cloner l'etat $|a\rangle_A$ .

[modifier] Impossibilité du code de répétition quantique, sans le théorème

Même si le théorème d'impossibilité du clonage quantique n'avait pas lieu, un code de répétition quantique serait impossible à décoder. Supposons qu'il soit possible d'avoir des copies d'un qubit. Le décodage d'un code de répétition se fait par vote majoritaire. Par conséquent, il est nécessaire de comparer les qubits transmis afin de décoder. Pour ce faire, on effectuerait la délicate opération de la mesure quantique : la première mesure détruirait l'information contenue dans les autres copies.

[modifier] References

W.K. Wootters and W.H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned, Nature 299 (1982), pp. 802-803.

En rapport avec la cryptographie quantique:

Nicolas Gisin, Grégoire Ribordy, Wolfgang Tittel, and Hugo Zbinden, Quantum cryptography, Rev. Mod. Phys. 74, 145 - 195 (2002), (http://prola.aps.org/abstract/RMP/v74/i1/p145_1)