Límite de una sucesión

$a_{n} = \begin{cases} 16 & \mbox{si } n = 0 \\ \cfrac{a_{n-1}}{2} & \mbox{si } n > 0 \end{cases}$

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una secuencia que converge hacia un punto llamado límite.

En forma intuitiva, suponiendo que se tiene una sucesión de puntos (por ejemplo un conjunto infinito de puntos numerados utilizando los números naturales) en algún tipo de objeto matemático (por ejemplo los números reales o un espacio vectorial) que admite el concepto de entorno (en el sentido de "todos los puntos dentro de una cierta distancia de un dado punto fijo"). Un punto L es el límite de la sucesión si para todo entorno que se defina, todos los puntos de la sucesión (con la posible excepción de un número finito de puntos) están próximos a L. Esto puede ser interpretado como si hubiera un conjunto de esferas de tamaños decrecientes hasta cero, todas centradas en L, y para cualquiera de estas esferas, solo existiera un número finito de números fuera de ella.

Contenido

[editar] Definición formal

Para una sucesión de puntos $\{x_n|n\in \mathbb{N}\}\;$ en un espacio métrico M con función de distancia d

(como por ejemplo, una sucesión de números racionales, números reales, números complejos, puntos en un espacio normado, etc.):

Si $L\ en M\;$ se dice que L es el límite de la sucesión y se escribe

$L =\ lim_{n \to \infty} x_n$

$\Longleftrightarrow \forall \epsilon>0\;, \exist N \in \mathbb{N}: n>N \rightarrow d(x_n,L)<\epsilon.\;$

i.e.:si y solo si para todo (hodap) número real $\epsilon>0\;$ , existe un número natural N tal que para cada $n>N\;$ , se satisface que $d(x_n,L)<\epsilon.\;$

Una generalización de esta relación, para una sucesión de puntos $\{x_n|n\in \mathbb{N}\}\;$ en un espacio topológico T:

Si $L\in T\;$ se dice que L es un límite de esta sucesión y se escribe

$L = \lim_{n \to \infty} x_n$

si y solo si para todo entorno S de L existe un número natural N tal que $x_n\in S\;$ para todo $n>N.\;$

Si una sucesión tiene límite, se dice que la sucesión es convergente, y que la sucesión converge al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

[editar] Comentarios

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como querramos al valor límite. (La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no, implica en general, que la sucesión tenga un límite. Véase sucesión de Cauchy).

Es posible también que una sucesión en un espacio topológico general, pueda tener varios límites diferentes, pero una sucesión convergente posee un único límite si T es un espacio de Hausdorff, por ejemplo la recta real (extendida), el plano complejo, sus subconjuntos (R, Q, Z...) y productos cartesianos (Rⁿ...).

[editar] Ejemplos

La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... de números reales converge al límite 0.
La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1. Este es un ejemplo de una serie infinita.
Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión aⁿ posee limite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a^1/n posee límite 1.

También:

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \hbox{ si } p > 0$
$\lim_{n\to\infty} a^n = 0 \hbox{ si } |a| < 1$
$\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1$
$\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \hbox{ si } a>0$