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Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

Esta ecuación admite dos soluciones reales y diferentes, una sola raíz real de multiplicidad dos o bien dos soluciones complejas conjugadas, de acuerdo a que su discriminante:

$\Delta = b^2 - 4ac \,$

sea positivo, cero o negativo respectivamente.

Tabla de contenidos

[editar] Solución mediante cambio de variable

Una manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (y también de tercer y cuarto grado) es aplicar un cambio de variable. En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo $a x^2 + b x + c = 0 \,$ , el cambio de variable necesario es del tipo $x = t + n \,$ .

Aplicando el cambio de variable anterior, obtenemos la ecuación $a (t+n)^2 + b (t+n) +c = 0 \,$

y, desarrollándola, queda $a t^2 + (2 a n + b) t + a n^2 + b n +c = 0 \,$ (1).

Ahora debemos reducir la ecuación obtenida a un caso conocido que sepamos resolver. Es evidente que las ecuaciones de segundo grado del tipo $x^2 = K \,$ se resuelven de forma directa extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos y cuya solución general es del tipo $x = \pm \sqrt {K} \,$ .

Para poder transformar nuestra ecuación (1) en una ecuación con el término de primer grado igual a cero, debemos forzar a que $2 a n + b = 0 \,$ , es decir $n = -\frac {b} {2 a} \,$

Sustituyendo en (1) queda $a t^2 -\frac {b^2} {4 a} + c =0 \,$ . (2)

Esta nueva ecuación está en la forma $t^2 = K \,$ que era lo que pretendíamos lograr con el cambio de variable, y que, como ya se ha dicho, tiene una solución inmediata del tipo $t = \pm \sqrt {K} \,$

Por tanto, despejando la variable $t \,$ en la ecuación (2), queda $t = \pm \frac { \sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$

Dado que $x = t + n \,$ , y que $n = -\frac {b} {2 a} \,$ , obtenemos la solución de la ecuación original con variable en $x \,$ , que es

$x = -\frac {b} {2 a} \ \pm \frac {\sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$

El "truco" de esta demostración, consiste, por tanto, en aplicar un cambio de variable que reduce la ecuación de segundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata.

Conjunto Solución(C.S): Son las raices(x sub1 y x sub2)que se presenta en una ecuacion de segundo grado ,a estas soluciones pertenecen al conjunto de los reales.

[editar] Obtención de la abscisa del vértice por derivadas

Tomando en cuenta el concepto de tangente y derivadas, podemos hallar el valor de abcisas correspondiente al vértice de dicha función cuadrática.

Sabiendo la representación gráfica de una parábola, afirmamos que dada una función $a x^2 + b x + c = f(b) \,$ su derivada prima $f ' (x) \,$ será igual a cero.

Derivando dicha función obtenemos:

$f ' (x) = 2 a x + b \,$

si $0 = 2 a x + b \,$ entonces $\frac {-b} {2 a} = X$

Entonces el punto en que la función cuadrática posee una recta tangente de pendiente 0 (conocido como mínimo/máximo relativo) será $\frac {-b} {2 a} = X$

[editar] Obtención de la fórmula de segundo grado

[editar] Método 1

Sea $a x 2 + b x + c = 0$

Restamos $c$ a ambos miembros: $a x 2 + b x = - c$

Multiplicamos la igualdad por $4 a$ : $4 a 2 x 2 + 4 a b x = - 4 a c$

Sumamos $b 2$ a ambos miembros: $4 a 2 x 2 + 4 a b x + b 2 = - 4 a c + b 2$

El primer miembro de la ecuación es un producto notable: $(2 a x + b) 2 = b 2 - 4 a c$

Realizando la raíz cuadrada en ambos miembros resulta: $2ax+b=\pm \sqrt {b^2 - 4 a c}$

Restando $b$ a ambos miembros y multiplicando por $\frac{1}{2a}$ obtenemos la solución:

$x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$

[editar] Método 2

Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática) podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula resolvente de dicha ecuación. Considerando,

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

donde $a \neq 0$ para forzar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo grado.

Dividimos todo por a:

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

Pasamos restando el término independiente del otro lado de la igualdad:

$x^2 + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a}$

Completamos cuadrados para llegar a un binomio cuadrado perfecto y sumamos a ambos lados de la igualdad para mantener la misma:

$x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = - \frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$

$(x + \frac{b}{2a})^2 = - \frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$

Despejamos x:

$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt {- \frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2 }$

$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt {- \frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} }$

$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt { \frac{-c4a + b^2}{4a^2} }$

$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ \sqrt{4a^2} }$

$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a }$

$x = - \frac{b}{2a} \pm \frac { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a }$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a }$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } \wedge x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a }$

[editar] Truco para resolver ecuaciones de segundo grado inmediatamente

Cuando tenemos una ecuación de segundo grado tal que $a x 2 + b x + c = 0$ y siendo $a = 1$ , obtenemos que $x_1 \cdot x_2=c/a$ (como a es 1, queda solamente c) y además $- (x 1 + x 2) = b$ (porque $x 1 + x 2 = - b$ ).Siendo $x 1$ y $x 2$ las soluciones de nuestra ecuación de segundo grado, lógicamente halladas por tanteo. Donde: Δ=Discriminante Δ=b²-4ac