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Círculo

Para otros usos de este término, véase Círculo (desambiguación).

Un círculo, en geometría, es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia. En castellano, la palabra círculo^[1] tiene varias acepciones, la primera: es una superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia con área definida, mientras que se denomina circunferencia^[2] a la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud. "Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)."^[3]

Contenido

Etimología

La palabra círculo proviene del latín circulus, que es el diminutivo de circus y significa "redondez".^[4] Según otros autores, "cerco".

Usos del término círculo

En lenguaje coloquial, se utiliza la palabra círculo como sinónimo de circunferencia.^[5]

En la mayoría de los textos de matemática círculo significa superficie plana limitada por una circunferencia. En algunos textos de topología (una rama de la matemática) se utiliza círculo como sinónimo de circunferencia; generalmente son traducciones del inglés, donde dicho término tiene ambas acepciones. En inglés circle significa circunferencia (véase: circle), que por similitud se traduce en algunos textos como círculo; también se traduce disk como disco, para referirse a la «superficie circular». En inglés disc significa círculo (véase: disc).

Elementos del círculo

El círculo, la circunferencia, y sus elementos principales.

El circulo comparte con la circunferencia que lo delimita los siguientes elementos:

Puntos

Centro del circulo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.

Rectas y segmentos

Radio: es el segmento que une el centro y un punto de la circunferencia perimetral.

Diámetro: es el mayor segmento inscrito; pasa por el centro y divide al círculo dos semicírculos; es la mayor de las cuerdas de la circunferencia perimetral.

Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.

Recta secante: es la recta que corta al círculo en dos partes de diferente área.

Recta tangente: es la recta que toca al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.

Recta exterior: es aquella recta que no toca ningún punto.

Curvas

Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo delimita, la circunferencia de radio máximo.

Superficies

El circulo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes elementos: los arcos y sus cuerdas.

Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que contienen sus extremos.

Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su cuerda.

Corona circular: es el espacio comprendido entre dos circunferencias concéntricas.

Ángulos

Ángulos en el círculo.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Existen diversos tipos de ángulos singulares en un círculo. Cuando un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo, recibe el nombre de ángulo central, mientras que cuando los extremos y el vértice están sobre el círculo el ángulo se denomina inscrito. Un ángulo formado por una cuerda y una recta tangente se denomina semi-inscrito.

En un círculo de radio unidad, la amplitud de un ángulo central coincide con la longitud del arco que subtiende, medido en radianes. Así, un ángulo central recto mide π/2 radianes, y la longitud del arco es π/2 si el radio es la unidad; si el radio mide r, el arco medirá r x π/2.

Sin embargo, la longitud de un arco del ángulo central α, dado en grados sexagesimales, medirá 2π x r x α / 360. Así, un ángulo central recto mide 90º, y la longitud del arco es π/2 si el radio es la unidad; si el radio mide r, el arco medirá 2π x r x α / 360.

Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, sin importar la posición del vértice. Un ángulo semi-inscrito mide la mitad del arco que se encuentra entre la cuerda y la tangente (véase arco capaz).

Área del círculo

Un círculo de radio $r \,$ , tendrá un área:

$A = \pi \cdot r^2$ ; en función del radio (r).

$A = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$ ; en función del diámetro (d), pues $r = \frac{d}{2}$

$A = \frac{C^2}{4 \cdot \pi}$ ; en función de la longitud de la circunferencia máxima (C),

pues la longitud de dicha circunferencia es: $C = 2 \cdot \pi \cdot r$

Área del círculo como superficie interior del polígono de infinitos lados

El área del círculo: $A = \pi \cdot r^2$ ,

se deduce, sabiendo que la superficie interior de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema por el perímetro del polígono dividido entre 2, es decir: $A = \frac{p \cdot a}{2}$ .

Considerando la circunferencia como el polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio de la circunferencia, y el perímetro con la longitud, por tanto:

$A = \frac{p \cdot a}{2} = \frac{L \cdot r}{2} = \frac{(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot r}{2} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r^2}{2} = \pi \cdot r^2$

El círculo en topología

En geometría y topología, un círculo es la región del plano acotado por una circunferencia. Se llama cerrado o abierto dependiendo si contiene o no a la circunferencia que lo limita.

En coordenadas cartesianas el círculo abierto con centro $(a, b)$ y radio R será:

$D=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 < R^2\}$ .

El círculo cerrado con el mismo centro y radio es:

$\overline{ D }=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 \le R^2\}$

Una esfera es la palabra usada para indicar un objeto tridimensional consistente en los puntos del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$ que están a una distancia menor o igual a una cantidad fija denominada también radio, radio de la esfera.