Konstruktive Mathematik

Der mathematische Konstruktivismus ist eine Richtung der Philosophie der Mathematik, die den Standpunkt vertritt, dass mathematische Aussagen keine Beschreibung von ontologischen Objekten sind, die unabhängig von unserem Denken existieren, sondern dass diese lediglich über Objekte reden, die sich konstruieren lassen. Mathematische Aussagen der Form "Es gibt ..." (z. B.: "Es gibt irrationale Zahlen a, b, so dass $a b$ rational ist.") seien daher eine uneigentliche Ausdrucksweise und durch Sätze der Form "Wir können ... konstruieren" zu ersetzen.^[1] Man kann diese Position als eine spezifische Variante eines wissenschaftstheoretischen Antirealismus oder eines Nominalismus bzw. Konzeptualismus verstehen: mathematische Rede ist nicht ontologisch realistisch zu nehmen, sie spricht nur über Worte, nicht platonische Entitäten, bzw. nur über Begriffe im Geiste, nicht ontologische Objekte.

Die klassische Formulierung des mathematischen Konstruktivismus geht zurück auf L. E. J. Brouwer und war eine Reaktion auf idealistische Positionen der Mathematikphilosophie des 19. Jahrhunderts. Nichtformale Formulierungen wurden u. a. auch von Hermann Weyl, Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow und Erret A. Bishop vorgeschlagen, formale Systeme u. a. von Arend Heyting, Solomon Feferman, Michael J. Beeson und Anne Sjerp Troelstra. Der insb. durch Weyl vertretene Konstruktivismus war eine der Positionen, die sich Anfang des 20. Jahrhundert im Grundlagenstreit der Mathematik gegenüberstanden, er konnte sich dabei aber nicht durchsetzen.

In der Praxis besteht der wesentliche Kernpunkt des Konstruktivismus in der Forderung, nur jene Sätze zu formulieren, für deren Objekte Konstruktionsweisen oder Beweisverfahren denkbar sind. Um "P oder Q" zu behaupten, muss daher zumindest P oder Q beweisbar sein. Dieser Anspruch führt dazu, Anwendungen des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten sowie des Auswahlaxioms abzulehnen, da mit beiden Sätzen^[2] auch Aussagen über mathematische Objekte hergeleitet werden können, ohne anzugeben, wie sie konstruiert werden können. Dazu gehören insbesondere indirekte Beweise bei der die Annahme der Nichtexistenz eines Objekts zum Widerspruch geführt wird.

Der mathematische Konstruktivismus bedient sich gern einer intuitionistischen Logik. Es bestehen zudem aus philosophischer Sicht Gemeinsamkeiten mit der Grundidee des insb. durch Brouwer ausgearbeiteten Intuitionismus. Ihm zufolge existiert ein mathematisches Objekt genau dann, wenn es sich im Geiste konstruieren lässt. Die Ausdrücke "Konstruktivismus" und "Intuitionismus" sind aber in technischer Verwendung nicht deckungsgleich.^[3]

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Konstruktive Mathematik

Die konstruktive Mathematik benutzt die intuitionistische Logik, bei der Wahrheit in enger Verbindung mit Beweisbarkeit steht. Um $P \or Q$ konstruktiv zu beweisen, wird eins (oder beide) von P und Q bewiesen. Um $\exists_{x\in X} P(x)$ konstruktiv zu beweisen, wird ein $a\in X$ zusammen mit einem Beweis für $P (a)$ angegeben. Um $\forall_{x\in X} P(x)$ konstruktiv zu beweisen, wird ein Algorithmus angegeben, der für jedes $a \in X$ einen Beweis von $P (a)$ konstruiert.

Im Konstruktivismus sind unendliche Objekte (wie unendliche Mengen und Folgen) nur unter der Bedingung zulässig, dass sie konstruierbar sind. Konstruktivisten bezeichnen dies als potentielle Unendlichkeit dieser Objekte. Noch einschränkender ist der Finitismus, der nur endlich viele Konstruktionsschritte zulässt, also keine unendlichen Objekte als existent betrachtet, sowie der Ultrafinitismus, der nur das zulässt, was darüber hinaus physikalisch möglich ist.

[Bearbeiten] Beispiele aus der Analysis

Von dem konstruktiven Mathematiker Errett Bishop werden reelle Zahlen als Konstruktionsanweisung $f$ repräsentiert, die aus einer positiven natürlichen Zahl $n$ ein Paar rationale Zahlen $(f_\ell(n), f_r(n))$ konstruiert, so dass

$m \le n \implies f_\ell(m) \le f_\ell(n)$

$m \le n \implies f_r(n) \le f_r(m)$

$0 \le f_r(n) - f_\ell(n) \le {1\over n}$

und für größere $n$ das Intervall $[f_\ell(n), f_r(n)]$ kleiner wird, sowie die Schnittmenge der ersten $n$ Intervalle nicht leer ist. $f$ kann benutzt werden, um eine beliebig genaue rationale Annäherung an die dadurch repräsentierte reelle Zahl zu konstruieren.

Analog kann die reelle Zahl $\sqrt{2}$ durch die Konstruktionsanweisung repräsentiert werden, die für alle $0 \le i \le n$ die größte natürliche Zahl $a i$ konstruiert, so dass $a_i^2 \le 2i^2$ , und dann das Paar $\left(\mathrm{max}\left\{{a_i \over i}\right\}, \mathrm{min}\left\{{a_i+1 \over i}\right\}\right)$ ausgibt.

Entsprechend der Definition der reellen Zahlen lassen sich mit der zusätzlichen Einschränkung der Konstruierbarkeit der Cauchy-Folgen die konstruktivistischen reellen Zahlen definieren. Diese Zahlen bilden die Grundlage für die konstruktivistische Analysis und Algebra. Da die Menge der konstruktivistischen reellen Zahlen selbst jedoch nicht konstruierbar ist, betrachten Konstruktivisten immer nur konstruierbare Teilmengen davon.

Da jede Konstruktionsanweisung $ξ$ notwendigerweise eine endliche Folge von Anweisungen aus einer endlichen Menge $Σ$ ist, gibt es eine bijektive Funktion $f: \Sigma^* \rightarrow \mathbb N$ . Also sind die konstruktivistischen reellen Zahlen eine abzählbare Menge. Aus Cantors Diagonalbeweis folgt, dass die konstruktivistischen reellen Zahlen eine niedrigere Kardinalität haben als die Menge der reellen Zahlen und somit eine echte Teilmenge von ihnen sind. Konstruktivisten vertreten den Standpunkt, diese Teilmenge enthielte alle reellen Zahlen, die man für Anwendungen braucht.

[Bearbeiten] Standpunkt der Mathematiker

Traditionell sind die meisten Mathematiker misstrauisch, wenn nicht sogar kritisch gegenüber dem mathematischen Konstruktivismus eingestellt, größtenteils wegen der Einschränkungen, welche die konstruktive Analysis fordert. Diese Ansichten wurden von David Hilbert deutlich zur Sprache gebracht: "Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können." Die konstruktivistische Mathematik enthält auf dem Gebiet der Mengenlehre nicht den ganzen Satzbestand der Mathematik. Insbesondere lässt sich die Existenz überabzählbarer Mengen nicht beweisen, weil dazu der Satz vom ausgeschlossenen Dritten notwendig wäre. Andere Beweise benötigen das Auswahlaxiom.

Errett Bishop versuchte 1967 in seiner Arbeit Foundations of Constructive Analysis, diese Zweifel durch die Entwicklung eines großen Teils der Analysis nach konstruktivistischen Prinzipien zu entkräften. Jedoch sind nicht alle Mathematiker der Meinung, dass Bishop damit erfolgreich war, da das Buch notwendigerweise komplizierter war als klassische Texte über Analysis.

In Deutschland arbeitete Paul Lorenzen an einer operativ-konstruktiven Mathematik einschließlich Analysis und Algebra. Diesem mathematisch-philosophischen Ansatz, der auch in den Erlanger Konstruktivismus einfloss, geht es (im Vergleich zum deduktiven axiomatischen Ansatz) um einen induktiven Aufbau durch die auf Symbole bezogene ausübende und kalkulierende Tätigkeit des Mathematikers.

Unabhängig davon sehen jedoch nahezu alle Mathematiker keine Notwendigkeit, sich auf konstruktivistische Verfahren zu beschränken, selbst wenn dies möglich wäre.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Schriften konstruktiver Mathematiker

Kronecker, Leopold: Vorlesungen über die Theorie der einfachen und der vielfachen Integrale. hrsg: Netto, Eugen, Leipzig Teubner 1894
du Bois-Reymond, Paul: Allgemeine Functionentheorie, Tübingen 1882
Lorenzen, Paul: *1951 Maß und Integral in der konstruktiven Analysis. Mathematische Zeitung 54: 275
Lorenzen, Paul: Einführung in die operative Logik und Mathematik, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1955
Lorenzen, Paul: Metamathematik, Mannheim 1962
Lorenzen, Paul: Differential und Integral. Eine konstruktive Einführung in die klassische Analysis, Frankfurt 1965
Beeson, Michael, 1985, Foundations of Constructive Mathematics, Heidelberg: Springer-Verlag.
Bishop, Errett, 1967, Foundations of Constructive Analysis, New York: McGraw-Hill.
Bridges, D., and Richman, F., 1987, Varieties of Constructive Mathematics, London Math. Soc. Lecture Notes 97, Cambridge: Cambridge University Press.
Martin-Löf, P., 1968, Notes on Constructive Analysis, Almquist & Wixsell, Stockholm.
Lorenzen, Paul: Konstruktive Wissenschaftstheorie, Frankfurt 1974
Lorenzen, Paul: Lehrbuch der konstruktiven Wissenschaftstheorie, Zürich 1987, Stuttgart 2000 ISBN 3-476-01784-2
Lorenzen, Paul: Elementargeometrie als Fundament der Analytischen Geometrie, Mannheim/Zürich/Wien 1983 ISBN 3-411-00400-2
Zahn, Peter: Ein konstruktiver Weg zur Masstheorie und Funktionalanalysis. (Broschiert) 1978; ISBN 3534077679

[Bearbeiten] Literatur

Diane Loring Souvaine: Paul Lorenzen and constructive mathematics ASIN B0007BQW9K
Eric Schechter, Constructivism is difficult, American Mathematical Monthly 108 (2001), 50–54.
David Hilbert, Über das Unendliche, Mathematische Annalen 95 (1926), 161–190.
Solomon Feferman, Relationships between Constructive, Predicative and Classical Systems of Analysis, ibid., 221–236.
J J O'Connor und E F Robertson: Errett Albert Bishop. MacTutor History of Mathematics, November 2004.

[Bearbeiten] Weblinks

Eintrag in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inkl. Literaturangaben)
Der Mengenbegriff in den Mathematiken - Diskussion der klassischen und konstruktivistischen Standpunkte

[Bearbeiten] Anmerkungen

↑
- Douglas Bridges: „Constructive Mathematics“ in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inkl. Literaturangaben)
↑ Vgl. Bridges, l.c. Ohnehin impliziert bereits das Auswahlaxiom den Satz von ausgeschlossenen Dritten: N.D. Goodman / J. Myhill (1978): Choice Implies Excluded Middle, in: Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 24, 461.
↑ Eine kurze Problematisierung des Punkts, die aber nicht alle Verwendungsweisen beider Ausdrücke diskutiert, findet sich bei Matthias Baaz and Rosalie Iemhoff: Konstruktivismus und Intuitionismus, in: Internationale Mathematische Nachrichten 201 (2006)