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Kettenbruch

Ein Kettenbruch ist ein Ausdruck der Form

$b_0 + \frac{a_1}{\displaystyle b_1+\frac{a_2}{\displaystyle b_2+\frac{a_3}{\displaystyle b_3+\frac{a_4}{b_4+\cdots}}}} = b_0 + \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \frac{a_4|}{|b_4} + \ldots$

Ein Kettenbruch heißt einfach oder regulär, wenn $a_1 = a_2 = \ldots = 1$ , andernfalls allgemein. Bei Untersuchungen von Kettenbrüchen wird $b 0$ oft weggelassen, da es sich hierbei nur um einen ganzzahligen Summanden handelt.

[Bearbeiten] Historie

Bekannt ist, dass Kettenbrüche seit altersher dazu dienen, Zahlen durch sie anzunähern. Dies geschieht etwa bei

Annäherung von Verhältnisgrößen in Form von Brüchen in großer Genauigkeit
Beweis der Irrationalität spezieller Zahlen
Ermittlung von Schaltjahren durch Kettenbruchnäherungen
Erstellung von Zeitrechnungstafeln und Kalendern in verschiedenen Kulturen
Annäherung natürlicher Konstanten wie $e$ und $π$

Aus dem Bedürfnis heraus, diese großen Brüche und natürlichen Konstanten zu approximieren, beschäftigte sich zunächst Christiaan Huygens und unabhängig davon auch Leonhard Euler und Johann Heinrich Lambert mit Kettenbrüchen.^[1] Beispielsweise berechnete Christiaan Huygens damit aus den Umlaufzeiten der Planeten das Übersetzungsverhältnis der Zahnräder für sein Zahnradmodell des Sonnensystems. Huygens musste für die Bewegung des Saturns das Verhältnis

$\frac{77\,708\,491}{2\,640\,858}= [29;2,2,1,5,1,6,1,1,1,1,9,1,1,14,2,2] = 29.425471\dots$

berechnen. Mit nur drei Kettengliedern beträgt der relative Fehler hierbei ungefähr 0,01 %:

$29 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1}}} = \frac{206}{7} = 29.428571\dots$

In Eulers Korrespondenz^[2] treten Kettenbrüche hingegen zuerst in einem ganz und gar anderen Zusammenhang auf, nämlich in Verbindung mit der Riccatischen Differentialgleichung. Bald jedoch interessierte sich Euler für die Kettenbrüche um ihrer selbst willen, da er nebenbei bemerkte, dass rationale Zahlen Kettenbrüche haben (man kann sie durch ein Verfahren, identisch dem euklidischem Algorithmus bestimmen), dass periodische Kettenbrüche quadratische Irrationalitäten darstellen, und dass die Entwicklung irgendeiner reellen Zahl in einen Kettenbruch die besten rationalen Approximationen für diese Zahl liefert. Einige dieser Erkenntnisse hatte bereits Huygens gewonnen, dessen Arbeit war Euler aber gänzlich unbekannt.^[3]

Neben Euler lieferte ein Algorithmus von Lord William Brouncker eine rationale Approximation. Euler zeigte um 1759, dass die beiden Algorithmen identisch sind. Lambert hingegen benutzte Kettenbrüche in seiner Arbeit von 1766 dazu, die Irrationalität von $π$ zu zeigen.

[Bearbeiten] Definition

[Bearbeiten] Begriff des Kettenbruchs

Ein fortgesetzter Bruch der Form

$\frac{a_1}{\displaystyle b_1+\frac{a_2}{\displaystyle b_2+\frac{a_3}{\displaystyle b_3+\frac{a_4}{b_4+\cdots}}}}$ oder $\frac{1}{\displaystyle b_1+\frac{1}{\displaystyle b_2+\frac{1}{\displaystyle b_3+\frac{1}{b_4+\cdots}}}}$

heißt ein Kettenbruch^[4] Die Brüche $\frac{a_i}{b_i}$ und $\frac{1}{b_i}$ werden Teilbrüche genannt, $a i$ heißt der Teilzähler und $b i$ Teilnenner. In älterer Literatur werden $a$ und $b$ oft vertauscht, so dass in der zweiten Form die Teilnenner $a$ heißen.

Da die beiden Formen von Kettenbrüchen ineinander überführt werden können, genügt es die zweite Art von Kettenbrüchen zu betrachten, bei denen alle Teilnenner positiv und ganzzahlig sind. Abgekürzt lässt sich der Kettenbruch dann schreiben als

$[b_1,b_2,b_3,b_4,\ldots]$ .

[Bearbeiten] Sequenz von Funktionen

Kettenbrüche^[5] sind ein geordnetes Paar $(({a n},{b n}),{f n})$ mit $\{a_n\}^{\infty}_{n=1}$ , $\{b_n\}^{\infty}_{n=1}$ als Folgen komplexer Zahlen, wobei $a_n \not= 0$ für alle $n$ . Und $\{f_n\}^{\infty}_{n=1}$ ist eine Folge in der erweiterten komplexen Ebene $\mathbb{C}_\infty$ mit

$f_n = s_1 \circ s_2 \circ \ldots \circ s_n(0)$

Die $s k$ sind Möbiustransformationen

$s_k:\mathbb{C}_\infty \rightarrow \mathbb{C}_\infty, z \mapsto \frac{a_k}{b_k + z} \qquad (k=1,2,\ldots)$

Somit ist

$f_n = \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \ldots + \frac{a_n|}{|b_n}.$

$a n$ heißt der $n$ -te Teilzähler und $b n$ der $n$ -te Teilnenner sowie $f n$ die $n$ -te Annäherung des Kettenbruchs.

In Anlehnung an $\sum$ und $\prod$ wird oft geschrieben

$\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i} = \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \frac{a_4|}{|b_4} + \ldots$

und

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i} = \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \ldots + \frac{a_n|}{|b_n}$

für endliche Kettenbrüche.

[Bearbeiten] Typen von Kettenbrüchen

[Bearbeiten] Endliche Kettenbrüche

Ein Kettenbruch heißt endlich, wenn er nach einer festen Zahl $n \in \mathbb{N}$ abbricht. Ein einfaches Beispiel für einen endlichen Kettenbruch ist

$\frac{1729}{314} = [5;1,1,38,1,3] = 5 + \frac{1|}{|1}+\frac{1|}{|1}+\frac{1|}{|38}+\frac{1|}{|1}+\frac{1|}{|3},$

wobei die Entwicklung nach dem euklidischen Algorithmus geschieht.

[Bearbeiten] Unendliche Kettenbrüche

Setzt sich die Teilbrüche eines Kettenbruchs unbegrenzt fort, so heißt der Kettenbruch unendlich. Bilden die Nenner der Teilbrüche Perioden und sind die $a n = 1$ für alle $n$ , so ist ein unendlicher Kettenbruch periodisch. Unendliche Kettenbrüche stellen stets irrationale Zahlen dar.

[Bearbeiten] Irrationalität

Sei $b 0 = 0$ und mithin der Wert des Kettenbruchs kleiner eins. Wir betrachten hier die Irrationalität von einfachen Kettenbrüchen. Im Abschnitt Äquivalente Kettenbrüche, wird gezeigt, wie Kettenbrüche ineinander transformiert werden können, also aus einem allgemeinen ein einfacher Kettenbruch gemacht werden kann, ohne dass sich sein Wert verändert. Weiterhin sei

$\frac{u_0}{v_0} = \underset{i=r}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i}$

$\frac{u_1}{v_1} = \underset{i=r+1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i}$

$\frac{u_2}{v_2} = \underset{i=r+2}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i}$

usw. Damit ist

$\frac{u_k}{v_k} = \frac{1|}{|b_r} + \frac{u_{k+1}|}{|v_{k+1}}$ also $\frac{u_{k+1}}{v_{k+1}} = \frac{v_k - u_k b_r}{u_k}$

weswegen wiederum $v k + 1 = u k$ . Da die Teilbrüche $\frac{u_k}{v_k}<1$ folgt jetzt die Beziehung $v_0 > u_0 > u_1 > u_2 > u_3 \ldots$ . Wäre nun ein Kettenbruch von einem bestimmten Teilbruch ab genommen rational, d.h. $u, v$ endlich rationale Zahlen, so müssten die $u_1, u_2, u_3, \ldots$ sich der Grenze Null nähern. Somit wäre der Kettenbruch aber kein endlicher mehr, bzw. ein unendlicher Kettenbruch kann von einem bestimmten Teilbruch an nicht als rationaler Bruch dargestellt werden, und damit ist dies für den Kettenbruch selbst nicht möglich. Jeder unendliche Kettenbruch ist also irrational.

[Bearbeiten] Periodische Kettenbrüche

Ein Kettenbruch wird periodisch genannt, wenn es Zahlen $k, l$ gibt mit $x λ + k = x λ$ für alle $\lambda \geq l + 1$ . Das minimale $k$ mit dieser Eigenschaft nennt man die Periode des Kettenbruchs^[6], der dann in der Form

$x = [x_0;x_1,\ldots,x_l,\overline{x_{l+1},\ldots,x_{l+k}}]$

geschrieben wird. Ist auch $l$ minimal gewählt, heißt die Folge $x_0, \ldots, x_l$ die Vorperiode und $l + 1$ ihre Länge. Nach einem Satz von Joseph-Louis Lagrange ist die Kettenbruchentwicklung einer Zahl genau dann periodisch, wenn die Zahl eine quadratische Irrationalzahl ist.

[Bearbeiten] Satz von Lagrange

Der Kettenbruch einer reellen Zahl $x$ ist genau dann periodisch, wenn $x$ eine quadratische Irrationalzahl ist.

[Bearbeiten] Beispiele

Sei $x = [1;\overline{1,2}]$ . Wir betrachten $y : = x - 1$ . Dann ist

$y = (x - 1) = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + y}}$ . Auflösen der Doppelbrüche ergibt $y= \frac{2+y}{3+y}$ , also

$y 2 + 2 y + 1 = 3$ , daher $y+1 = \pm\sqrt{3}$ . Da $y > 0$ gilt, muss $x = y+1= \sqrt{3}$ sein.

Analog kann gezeigt werden, dass $\sqrt{2} = [1;2,2,2,2,\ldots]$ ist. Sei $x = \sqrt{2}$ der zu entwickelnde Kettenbruch. Da $\sqrt{2} > 1$ zerlegen wir $x = 1+ \sqrt{2} - 1$ . Nun bilden wir das Reziproke des Reziproken von $\sqrt{2} - 1$ und erhalten

$x = 1+ \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2} - 1}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$

weil allgemein $\frac{1}{a-b} = \frac{a+b}{a^2-b^2}$ gilt, speziell also $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2-1}$ . Da $x = \sqrt{2}$ schreiben wir $x = 1 + \frac{1}{1 + x}$ bzw. $(x - 1) =\frac{1}{2 + (x - 1)}$ . Also ist der Kettenbruch von $(x-1) = (\sqrt{2}-1) = [0;2,2,\ldots]$ und wir brauchen nun nur noch 1 zu addieren.

Eine besondere Form periodischer unendlicher Kettenbrüche beschreibt die noblen Zahlen.

[Bearbeiten] Unperiodische Kettenbrüche

Die unendlichen, nichtperiodischen Kettenbrüche entsprechen den transzendenten Zahlen sowie den algebraischen Zahlen, die nicht Nullstelle eines rationalen Polynoms zweiten Grades sind. Beispielsweise ist der Kettenbruch für die dritte Wurzel von $2$ unendlich und nichtperiodisch:

$\sqrt[3]{2}$ $= [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, \dots]$ .

Eine Besonderheit bietet der Kettenbruch für die Eulersche Zahl $e$ :

$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots],$

das hier erkennbare Muster setzt sich bis ins Unendliche fort, weist aber keine Periode auf.

Der Kettenbruch zur Kreiszahl $π$ hat eine besondere Funktion zum Beweis der Irrationalität von $π$ und zur bestmöglichen Approximation der Kreiszahl^[7]^[8]. In regulärer Schreibweise ist kein besonderes Muster zu erkennen

$\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, \dots]$

und ein Bildungsgesetz für die regelmäßige Kettenbruchform von $π$ ist unbekannt. Die angegebenen und weitere Werte erhält man algorithmisch aus der Dezimalbruchentwicklung von $π$ .

Lambert fand für die Tangensfunktion den unendlichen Kettenbruch

$\tan z = \frac{z|}{|1} + \frac{z^2|}{|3} + \frac{z^3|}{|5} + \frac{z^4|}{|7} + \ldots = \underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{z^i}{2i-1}$

und folgerte daraus die Irrationalität von $tan z$ für alle rationalen Argumente $z \not= 0$ . Es sei bemerkt, dass er insbesondere aus $\tan \frac{1}{4}\pi = 1$ und einem Hilfssatz von Adrien Marie Legendre von 1806^[9] die Irrationalität von $π$ erhielt. Eine allgemeine Kettenbruchdarstellung von

$\pi = \frac{1|}{|1} + \frac{1^2|}{|2} + \frac{3^2|}{|2} + \frac{5^2|}{|2} + \ldots$

fand 1656 Lord William Brouncker^[10] durch Umwandlung des Wallisschen Produktes. Der Brounckersche Kettenbruch konvergiert jedoch sehr schlecht, anders als regelmäßige Kettenbrüche, welche sehr gut konvergieren. Mehr zur Konvergenzgeschwindigkeit im entsprechenden Abschnitt.

[Bearbeiten] Entwicklung

Man erhält die Kettenbruchentwicklung^[11] einer reellen Zahl, indem man den euklidischen Algorithmus auf beliebige reelle Zahlen ausweitet. Sei $\lfloor x \rfloor$ die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist und $x - \lfloor x \rfloor$ der gebrochene Anteil zu $x = \lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x \rfloor)$ . Wir setzen $x 0 = x$ und definieren für $n = 0, 1, 2, \ldots$

$a_n = \lfloor x \rfloor$

$x_{n+1} = \frac {1}{x_n - \lfloor x_n \rfloor}$

bis $a n = x n$ . Man nennt dies den Kettenbruchalgorithmus und erhält daraus

$[a_0;a_1,a_2,\ldots].$

Offensichtlich gilt immer $x n > 0$ für $n > 0$ . Der Algorithmus bricht genau dann irgendwann ab, wenn $x$ rational ist. Aus dem Algorithmus erhält man zusätzlich, dass die Kettenbruchentwicklung von $x n$ für $n = 0,1,2,\ldots$ durch

$[a_n;a_{n+1},a_{n+1},\ldots]$

gegeben ist. Man nennt $x n$ den $k$ -ten vollständigen Quotienten^[12] des Kettenbruchs.

[Bearbeiten] Pseudocode

$x_0 = x;\qquad n = 0$

$\mathsf{while}~\langle x_n \rangle \not= 0$

$a_n = \lfloor x_n \rfloor$

$x_{n+1} = 1 / (x_n - \lfloor x_n \rfloor)$

n = n + 1

$\mathsf{end}$

a n = x n

[Bearbeiten] Implementierung

Bei dieser Implementierung in Python sei angemerkt, dass Python oft Fehler in der Darstellung von Gleitkommazahlen aufgrund der Rechnerarchitektur macht.

from math import floor
def kettenbruch(x):
    a = []
    while (x - floor(x) != 0):
        a.append(floor(x))
        x = 1. / (x - floor(x))
    a.append(x)
    return a

[Bearbeiten] Auswertung

Bei der Auswertung eines unendlichen Kettenbruchs, kann die $n$ -te Näherung auf zwei verschiedene Möglichkeiten berechnet werden - für einen endlichen Kettenbruch ist es möglich, den exakten Wert zu berechnen.

[Bearbeiten] Aufsteigende Methode

Der Kettenbruch wird von unten her aufgelöst.

$f_{n,n} = \frac{a_n}{b_n}, f_{j,n} = s_j (f_{j+1,n}) = \frac{a_j}{b_j + f_{j+1,n}}$

für $j=n-1, n-2, \ldots, 1$ .

[Bearbeiten] Absteigende Methode

Beginnend mit dem ersten Teilbruch wird der Kettenbruch von Anfang an ausgewertet. Für einen endlichen Kettenbruch bilden die Näherungen $f n$ eine Intervallschachtelung.

$\begin{pmatrix}p_{-1} & p_0\\ q_{-1} & q_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix},{p_n \choose q_n} = a_n {p_{n-2} \choose q_{n-2}} + b_n {p_{n-1} \choose q_{n-1}}$

mit $n = 1,2, \ldots$ . Dann ist $f_n = \frac{p_n}{q_n}$ die $n$ -te Annäherung an den Kettenbruch.

[Bearbeiten] Konvergenz

Ein Kettenbruch heißt konvergent, wenn

$\lim_{n \rightarrow \infty} f_n = f$

existiert. In diesem Fall ist $f$ der Wert des Kettenbruchs. Ist hingegen $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n = \infty$ derart, dass für alle $C$ ein $n 0$ existiert, so dass $|f_n| \geq C$ für alle $n \geq n_0$ , so heißt der Kettenbruch uneigentlich konvergent.

[Bearbeiten] Äquivalente Kettenbrüche

Zwei Kettenbrüche $\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i}$ und $\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a^*_i}{b^*_i}$ heißen äquivalent, wenn alle ihre Näherungen identisch sind.

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i} = \underset{i=1}{\overset{n}{\mathbf{K}}} \frac{a^*_i}{b^*_i}$ für alle

n

Sei $\{c_n\}_{n \geq 0} \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\}, c_0 = 1$ . Da es sich hier um Teilbrüche, also keine echten Brüche handelt, darf insbesondere in einzelnen Teilbrüchen nicht gekürzt werden. Dann gelten folgende Äquivalenzbeziehungen

$\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i}$ ist äquivalent zu $\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{c_{i-1} c_i a_i}{c_i b_i}$

Daraus folgt unmittelbar

$\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i}$ ist äquivalent zu $\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{b_{i-1}^{-1} b_i^{-1} a_i}{1}$

wenn $b_n \not= 0$ für alle $n$ und

$\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i}$ ist äquivalent zu $\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i c_i}$

mit $c_1 = a_1^{-1}, c_n = (a_n c_{n-1})^{-1}$ für $n=2,3,\ldots$

[Bearbeiten] Konvergenzkriterien

Aus der absteigenden Auswertungsmethode folgt

$p_{n-1}q_n-p_nq_{n-1} = (-1)^n a_1 a_2 \cdots a_n$

für $n=1,2,\ldots$ . Damit ergibt sich für die Differenz zweier Kettenbrüche

$f_n - f_{n-1} = (-1)^{n+1} \frac{a_1 a_2 \cdots a_n}{q_{n-1} q_n},$

dass die Näherungswerte eines Kettenbruchs abwechslungsweise kleiner und größer als der wirkliche Wert desselben sind^[13]. Hieraus folgt, das der $n$ -te Näherungswert $f n$ des Kettenbruchs $\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i}$ gleich der $n$ -ten Partialsumme der Folge

$\sum_{i=1}^\infty (-1)^{i+1} \frac{a_1 a_2 \cdots a_n}{q_{n-1} q_n}$

ist. $\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i}$ konvergiert also genau dann, wenn diese Folge konvergiert.

[Bearbeiten] Konvergenzsatz für reguläre Kettenbrüche

Sei $b n > 0$ für alle $n$ . Dann konvergiert der Kettenbruch $\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i}$ genau dann, wenn die Reihe $\sum_{i=1}^\infty b_i$ divergiert.

[Bearbeiten] Anwendungen

[Bearbeiten] Rationale und irrationale Zahlen

Kettenbrüche werden u.a. zur Bestimmung von rationalen Näherungen von vorgegebenen reellen Zahlen verwendet. Man kann zeigen, dass die teilweise Auswertung der Kettenbruchdarstellung einer reellen Zahl einen Bruch liefert, der in dem Sinne die genaueste mögliche rationale Annäherung an die reelle Zahl ist, als man die Annäherung nur genauer machen kann, wenn man den Nenner des Bruchs größer macht. Der Fehler ist von der Größenordnung des reziproken Quadrats des Nenners

Beispielsweise liefert die oben angeführte Kettenbruchdarstellung für

$\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, \dots]$

nacheinander mit zunehmendem Nenner und zunehmender Genauigkeit für $π = 3,1415926535...$ die Näherungswerte $3$ , $\frac{22}{7} \approx 3{,}143$ , $\frac{333}{106} \approx 3{,}14151$ , $\frac{355}{113} \approx 3{,}1415929$ , $\frac{103\,993}{33\,102} \approx 3{,}1415926530$ , usw. Diese sind abwechselnd ein bisschen zu klein und ein bisschen zu groß, wobei der absolute Fehler immer kleiner wird.

Am Wachstum der Folge a_n kann man ablesen, wie gut die Zahl α=[a₀;a₁, ...] durch rationale Zahlen approximierbar ist, was sich etwa zur Unterscheidung von algebraische Zahlen und transzendenten Zahlen verwenden lässt: falls die Folge a_n schnell genug wächst, ist α eine Liouvillesche Zahl und daher transzendent.

Kettenbrüche eignen sich kaum zur praktischen Rechnung, da keine schnellen Algorithmen zur Berechnung der Summe, Differenz, Produkt oder Quotient zweier Zahlen in Kettenbruchdarstellung bekannt sind, und es für die Berechnung transzendenter und algebraischer Zahlen effektivere und schneller konvergierende Verfahren gibt.

Die Kettenbruchmethode, ein Faktorisierungsverfahren für ganze Zahlen $n$ , die keine Quadratzahl sind, basiert auf der Kettenbruchzerlegung von $\sqrt{n}$ .

1834 gab Vincent^[14] eine Methode an, mittels Kettenbruchentwicklungen die reellen Nullstellen eines ganzzahligen quadratfreien Polynoms zu trennen, d.h. für jede Nullstelle ein Intervall mit rationalen Endpunkten zu finden, welches keine weitere Nullstelle enthält und auf welchem das Newton-Verfahren gegen diese Nullstelle konvergiert. Eine Variante dieses Verfahrens ist der Uspensky-Algorithmus, jedoch eine moderne Umsetzung erst das Verfahren nach Collins/Akritas.

[Bearbeiten] Eine Resolventen-Entwicklung

In Mathematik und Physik kommt häufig die Aufgabe vor, Funktionen folgender Form zu berechnen:

$R(z) :=\langle\varphi_0|{(z-\hat A)}^{-1}|\varphi_0\rangle\,.$

Der Operator $(z-\hat A)^{-1}$ wird als Resolvente bezeichnet.

Dabei ist z eine beliebige komplexe (nicht-reelle!) Zahl und $\hat A$ ein beliebiger selbstadjungierter Operator, d.h. mit reellem Spektrum, in einem Hilbertraum aufgespannt durch orthonormierte Zustände $\varphi_\nu$ , $ν = 0,1,2,3,...$ , s.u.; $\langle ...|...\rangle$ ist das Skalarprodukt in diesem Hilbertraum und $\varphi_0$ einer seiner Zustände.

Es ist bekannt, dass R(z) in einen Kettenbruch entwickelt werden kann,

$R(z)=1/(z-a_1-|b_1|^2/(z-a_2-|b_2|^2/(z-a_3-|b_3|^2/(z-...\,\,,$

wobei die $a n$ und $b n$ sehr schnell und effektiv durch folgende Rekursion berechnet werden können: Es sei $\varphi_0$ gegeben und $b 0 : = 0$ . Wir berechnen dann für $n = 0,1,2,...$ zunächst die Größe $a_{n+1}:=\langle\varphi_{n}|\hat A\varphi_{n}\rangle$ und den Vektor $\phi_{n+1}:=\hat A\varphi_n$ ; $| b n + 1 |$ ist die Länge dieses Vektors, so dass nunmehr der nächste Einheitszustand berechnet werden kann: $\varphi_{n+1}:=\phi_{n+1}/|b_{n+1}|$ .

Man kann zeigen, dass man so, von $\varphi_0$ ausgehend, eine Orthonormalbasis erhält ( $\{\varphi_\nu | \nu = 0, 1, 2, ...\}$ ), und dass der Operator $\hat A$ in dieser Basis tridiagonal ist (d.h. nur Haupt- und Nebendiagonalen sind von Null verschieden).

Der angegebene Algorithmus wird als Lanczos-Verfahren bezeichnet. Es kommt also nur darauf an, dieses Verfahren numerisch genau genug durchzuführen und den Kettenbruch in geeigneter Weise ins Unendliche zu extrapolieren, das heißt die Terme ... „möglichst gut“ abzubrechen oder abzuschließen.

[Bearbeiten] Literatur

Peter Henrici: Applied and Computational Complex Analysis Volume 2. John Wiley & Sons Inc, 1991, ISBN 0-471-54289-X
http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFraction.html
Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Leipzig, Berlin 1913
Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Teubner, 3. verb. u. erw. Aufl., Stuttgart, Band 1: Elementare Kettenbrüche (1954), Band 2: Analytisch-funktionstheoretische Kettenbrüche (1957)
Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2002, ISBN 3-540-43579-4
Alexander Jakowlewitsch Chintschin: Kettenbrüche. Teubner, Leipzig 1956
Benedikt Sporer: Niedere Analysis. 2 verb. Auflage. Göschensche Verlagshandlung, Berlin und Leipzig 1917
Ebbinghaus et al.: Zahlen. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 1992, Kapitel Irrationalität von $π$ , Kettenbruchentwicklung derselben. ISBN 3-540-55654-0

[Bearbeiten] Einzelnachweise

↑ André Weil: Number Theory. Birkhäuser Verlag, Boston Inc., Cambridge 1984
↑ L. Euler und Chr. Goldbach, Briefwechsel
↑ vgl. Weil, Number Theory
↑ Sporer, erster Abschnitt.
↑ vgl. Henrici, Band 2
↑ vgl. Wüstholz, Seite 92
↑ vgl. Ebbinghaus, Seite 121ff Irrationalität von $π$ und Kettenbruchentwicklung
↑ Johann Heinrich Lambert: Vorläufige Kenntnisse für die, so die Quadratur und Rectification des Circuls suchen. (1766), Werke I., Seiten 194-212
↑ Adrien Marie Legendre: Éléments de Géometrie. 1806
↑ vgl. Ebbinghaus, Seite 123
↑ Gisbert Wüstholz: Algebra. Fried. Vieweg & Sohn Verlag, Wiesbaden 2004
↑ vgl. Wüstholz, Seite 92
↑ vgl. Sporer, Seite 8f Näherungswerte
↑ Vincent, Mémoire sur la résolution des équations numériques. Mém. Soc. R. des Sc. de Lille (1834), pp. 1-34.

[Bearbeiten] Weblinks

Arbeit von Bill Gosper
Kettenbrüche online berechnen auf den Matheseiten von Arndt Brünner
Beispiel (für Pi) für das Schema, um aus den Kettenbruch-Zahlen die Folge der Näherungsbrüche zu berechnen

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch“

Kategorie: Arithmetik

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