Formale Begriffsanalyse

Die Formale Begriffsanalyse ist eine mathematische Theorie aus dem Gebiet der Algebra. Sie wurde bereits 1940 von Garrett Birkhoff begründet und seit 1982 von der Darmstädter Gruppe um Rudolf Wille weiterentwickelt. Der Gegenstand der formalen Begriffsanalyse sind binäre Relationen und zu ihnen in enger Verbindung stehende vollständige Verbände. Anwendungen der formalen Begriffsanalyse untersuchen Relationen aus ihrem Gebiet mittels der Begriffsanalyse. Die Ergebnisse in Form von Verbänden werden dann im Bereich der Anwendung interpretiert und können zu neuen Einsichten verhelfen.

Mathematische Grundlage für die Formale Begriffsanalyse ist immer ein formaler Kontext $K : = (G, M, I)$ , wobei G eine Menge von Gegenständen, M eine Menge von Merkmalen und I eine Inzidenzrelation ist, so dass ein Gegenstand g aus der Gegenstandsmenge G in Relation I zu einem Merkmal m aus der Merkmalsmenge steht, wenn der Gegenstand g das Merkmal m besitzt, man schreibt: gIm

Solche Kontexte finden sich als sog. Kreuzchentabellen (Datentabellen) in vielen Lebensbereichen wieder. Aus diesen (formalen) Kontexten lassen sich nun die (formalen) Begriffe ableiten. Die Begriffe sind dabei Zusammenfassungen von Gegenständen und Merkmalen zu größeren Einheiten ("Makros") in einer ganz bestimmten Weise: So besteht ein Begriff immer aus einem Umfang (einer Menge von Gegenständen) und einem Inhalt (eine Menge von Merkmalen) und zwar genau so, dass alle Gegenstände erfasst werden, die die ausgewählten Merkmale gemeinsam haben, und auch alle Merkmale genommen werden, die den Gegenständen gemein sind.

Etwas formaler: Ein formaler Begriff ist ein Paar (A,B) mit A Teilmenge der Gegenstandsmenge G und B Teilmenge der Merkmalsmenge M. Außerdem müssen die folgenden Abschlusseigenschaften gelten: A' = B und A = B', wobei die Ableitungsoperatoren folgendermaßen definiert sind:

$A' = \{ m \in M | \; gIm \; \forall g \in A \}$ und dual $B' = \{ g \in G | \; gIm \; \forall m \in B \}$ .

Die daraus resultierenden Begriffe können mit der Oberbegriffs- Unterbegriffs-Ordnung natürlich geordnet werden, wobei ein Oberbegriff immer einen größeren Umfang (und einen kleineren Inhalt) als der Unterbegriff hat.

Die Sammlung aller Begriffe ergibt mit der eben beschriebenen Ordnung die mathematische Struktur eines vollständigen Verbandes. Solche Verbände können als Liniendiagramm dargestellt werden und entfalten so die Daten in ihrer Struktur und ihren Zusammenhängen.

So lässt sich die Methode der Formalen Begriffsanalyse als qualitative Methode zu Datenanalyse einsetzen. Dabei werden die ursprünglichen Daten lediglich strukturiert und anders repräsentiert.

[Bearbeiten] Literatur

Bernhard Ganter, Rudolf Wille: Formale Begriffsanalyse. Springer, 1996, ISBN 3-540-60868-0
R. Missaoui, Jürg Schmid: Formal Concept Analysis. Springer, 2006, ISBN 3540322035