Festkommazahl

Eine Festkommazahl ist eine Zahl, die aus einer festen Anzahl von Ziffern besteht. Die Position des Dezimalkommas ist dabei fest vorgegeben, daher der Name.

Der Grundgedanke hinter Festkommazahlen ist die exakte Darstellung ohne Rundungsfehler eines Ausschnitts der rationalen Zahlen. Üblicherweise sind per Definition die ersten $n \leq k$ Stellen Vorkommastellen und die restlichen $m = k - n$ Nachkommastellen. Aufgrund der exakten Darstellung ist die Menge aller Festkommazahlen einer vorgegebenen Länge $k$ im Vergleich zu den Gleitkommazahlen sehr gering.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Performance-Betrachtung

Durch die feste Position des Dezimalkommas fällt Rechenaufwand im Vergleich zur Rechnung mit Gleitkommazahlen weg. Wird in einem Computerprogramm eine binäre Festkommadarstellung gewählt, können zudem die zur Umrechnung und Korrektur notwendigen Multiplikationen und Divisionen durch schnelle Schiebeoperationen ersetzt werden.

[Bearbeiten] Beispiele

Alle binären Festkommazahlen der Länge $k = 2$ mit $n \in \{0,1,2\}$ Vorkommastellen: (Man beachte, dass jedes der aufgelisteten binären Muster für jeweils drei unterschiedliche Zahlen steht, je nachdem für welche Stelle das Komma impliziert wird.)

Da die Anzahl der Vorkommastellen ja bereits per Definition fest liegt, ist es unnötig, das sonst übliche Komma zu schreiben beziehungsweise zu speichern.

[Bearbeiten] Rechnen mit Festkommazahlen

Bei der Rechnung mit Festkommazahlen wird verfahren wie bei der Rechnung mit ganzen Zahlen. Die Position des Kommas ist bei der Addition und Subtraktion nicht von Belang. Bei der Multiplikation und der Division muss jedoch eine Korrektur durchgeführt werden.

[Bearbeiten] Anwendungsbeispiele

Die folgenden Beispiele gehen von einer dezimalen Festkommadarstellung aus, bei der zwei Nachkommastellen vorgesehen sind. Dies wird durch den Faktor 100 ausgedrückt, mit denen die ursprünglichen Werte multipliziert wurden, um die Festkommadarstellung zu erhalten.

Addition: $6{,}3\times{}100 + 2,1\times{}100 = 8{,}4\times{}100$
Subtraktion: $6{,}3\times{}100 - 2,1\times{}100 = 4{,}2\times{}100$
Multiplikation: $6{,}3\times{}100 \times{} 2,1\times{}100 = 13{,}23\times{}100\times{}100$; Hier ist das Ergebnis keine Festkommazahl nach den selben Kriterien wie die beiden Faktoren; eine Korrektur ist notwendig (hier: Division durch 100).
Division: $\frac{6{,}3\times{}100}{2{,}1\times{}100} = 3$; Hier ist das Ergebnis keine Festkommazahl nach den selben Kriterien wie Dividend und Divisor; eine Korrektur ist notwendig (hier: Multiplikation mit 100).

[Bearbeiten] Probleme

Bei der Darstellung einer reellen Zahl $z$ kann es einige Probleme geben. Im folgenden hat die Festkommazahl (angelehnt an die Darstellung in einem Rechner) eine Länge von $k = 8$ und $n = m = 4$ Vor- und Nachkommastellen. Der Ziffernvorrat sei ${0,1}$ - also eine binäre Festkommazahl der Länge eines Bytes mit gleich vielen Vor- und Nachkommastellen. Der tiefgestellte Index bezeichnet die Darstellung der Zahl: $X R$ für eine reelle Zahl in üblicher Dezimaldarstellung und $X F$ für eine derartige Festkommazahl.

$0 R = 00000000 F$
$1 R = 00010000 F$
$10 R = 10100000 F$
$0,5 R = 00001000 F$
$0,625 R = 00001010 F$
$0,0625 R = 00000001 F$
$15,9375 R = 11111111 F$
$16 R > 11111111 F$
$0,06 R < 00000001 F$
$7,7_R \approx 01111011_F$

Wie man sieht, können also mit 8 Bits und 4 Vor- und Nachkommastellen nur Festkommazahlen zwischen $0 R$ und $15,9375 R$ (bei einer Auflösung von $0,0625 R$ ) dargestellt werden. Dieser geringe Darstellungsbereich ist auch der entscheidende Nachteil gegenüber Gleitkommazahlen.

Weiterhin entstehen wie auch bei Gleitkommazahlen Rundungsfehler bei der Umwandlung der dezimalen, reellen Zahlen in eine binäre Festkommadarstellung. $7 R = 01110000 F$ kann im Gegensatz zu $0,7_R \approx 00001011_F$ exakt dargestellt werden. $0,7 R$ kann allerdings bei noch so vielen Nachkommastellen nicht als Summe von Zweierpotenzen dargestellt werden. Um diese Probleme zu umgehen, kann aber bei Bedarf eine dezimale Festkommadarstellung eingesetzt werden.