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Alpha-stabile Verteilungen

Die Familie der α-stabilen Verteilungen ist eine Verteilungsklasse von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik, die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind $X_1,X_2, \ldots, X_n, X$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und gilt

$X_1+X_2+ \dotsb+X_n \sim c_n X$ für alle $n \in \mathbb{N}$ und eine Folge

(c n)

,

so nennt man $X$ stabil verteilt. Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl $c_n=n^{1/\alpha}, \alpha \in (0,2]$ ist. Die reelle Zahl $α$ nennt man hierbei den Formparameter.

Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy stabile Verteilungen.

[Bearbeiten] Beispiele

Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes $α$ des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:

Die Normalverteilung mit Erwartungswert 0 ist stabil mit Formparameter $α = 2$ , denn bekanntlich gilt

$X_1, X_2, \ldots, X_n \sim \mathcal{N} (0,\sigma^2) \Rightarrow \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{N} (0,n \sigma^2) \sim n^{1/2} \mathcal{N} (0,\sigma^2)$ Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung mit dem Formparameter

α = 2

.

Die zentrierte Cauchy-Verteilung erfüllt die Gleichung

$X_1, X_2, \ldots, X_n \sim {\rm Cauchy} (0,a) \Rightarrow \sum_{i=1}^n X_i \sim n \, {\rm Cauchy} (0,a)$

sie ist also stabil mit Formparameter

α = 1

.

Die (eigentliche) Standard-Lévy-Verteilung ist stabil mit $\alpha=\frac{1}{2}$ .

[Bearbeiten] Eigenschaften

Die charakteristische Funktion einer α-stabilen Verteilung ist gegeben durch

$\psi_{\alpha, \beta}(u)=\exp\left(-|u|^\alpha \left(1-i \beta \tan\left(\frac{\pi \alpha}{2}\right) \sgn(u)\right)\right)$

Der Parameter $\beta \in [-1,1]$ ist hierbei frei wählbar und heißt Schiefeparameter.

Endliche Varianz existiert nur für $α = 2$ . Dies folgt unmittelbar aus dem Zentralen Grenzwertsatz.
Für $1<\alpha\leq2$ hat die Verteilung den Erwartungswert 0, für $\alpha\leq1$ existiert kein Erwartungswert. Dies folgt mit dem Gesetz der großen Zahlen.
Alle Alpha-stabilen Verteilungen sind unendlich teilbar und selbstähnlich („selfdecomposable“).

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli-Verteilung | Binomialverteilung | Kategoriale | Hypergeometrische Verteilung | Rademacher | Zipfsche | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | Negative Binomialverteilung | Erweiterte negative Binomial | Compound Poisson | Diskret uniform | Discrete phase-type | Gauss-Kuzmin | Geometrische | Logarithmische | Parabolisch-fraktale | Poisson | Skellam | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Kumaraswamy | Raised Cosine | Dreiecks | U-quadratisch | Stetige Gleichverteilung | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Burr | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | F | Fermi-Dirac | Folded Normal | Fréchet | Gamma | Extremwert | Verallgemeinerte inverse Gausssche | Halblogistische | Halbnormale | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | Inverse Chi-Quadrat | Scale Inverse Chi-Quadrat | Inverse Normal | Inverse Gamma | Lévy | Log-normal | Log-logistische | Maxwell-Boltzmann | Maxwell speed | Nakagami | nichtzentrierte Chi-Quadrat | Pareto | Phase-type | Rayleigh | relativistische Breit–Wigner | Rice | Rosin–Rammler | Shifted Gompertz | Truncated Normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | Exponential Power | Fisher’s z | Fisher-Tippett (Gumbel) | Generalized Hyperbolic | Hyperbolic Secant | Landau | Laplace | Alpha stabile | logistisch | Normal (Gauss) | Normal-inverse Gausssche | Skew normal | Studentsche t | Type-1 Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Ewen's | Multinomial | Dirichlet Multinomial

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | Generalized Dirichlet | Multivariate Normal | Multivariate Student | Normalskalierte inverse Gamma | Normal-Gamma

Multivariate Matrixverteilungen:
Inverse-Wishart | Matrix Normal | Wishart

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Alpha-stabile_Verteilungen“

Kategorie: Wahrscheinlichkeitsverteilung

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